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第1讲 集合的概念与运算1-1


板块一 知识梳理· 自主学习

[必备知识] 考点 1 集合与元素
确定性、互异性、无序性. 1.集合中元素的三个特征:

2. 元素与集合的关系是 属于 或 不属于 两种, 用符号
∈ 或 ? 表示.

3.集合的表示法: 列举法、描述法、图示法.

4.常见数集的记法 集合 符号 自然 数集 N 正整数集
N*(或 N+)

整数 有理 实数 集 Z 数集 Q 集 R

考点 2 关系 相等 子集

集合间的基本关系 文字语言 符号语言

表示

集合 A 与集合 B 中的所 A?B 且 B?A 有元素 相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元素
A?B 或 B?A

?A=B

表示 关系

文字语言 A 中任意一个元素均为

符号语言

真子集

B 中的元素,且 B 中至 少有一个元素不是 A 中 的元素 空集是 任何集合 的子
A B或B A

空集

集,是任何非空集合 的 ??A? B(B≠?) 真子集

考点 3

集合的基本运算

[必会结论] 1.若有限集 A 中有 n 个元素, 则集合 A 的子集个数为 2n, 真子集的个数为 2n-1,非空真子集的个数为 2n-2. 2.A?B?A∩B=A?A∪B=B. 3.A∩(?UA)=?;A∪(?UA)=U;?U(?UA)=A.

[考点自测] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打 “×”) (1) 集合 {x|y = x-1} 与集合 {y|y = x-1} 是同一个集 合.( × ) (2)已知集合 A={x|mx=1},B={1,2},且 A?B,则实数 1 m=1 或 m= .( × ) 2

(3)M={x|x≤1},N={x|x>ρ},要使 M∩N=?,则 ρ 所满 足的条件是 ρ≥1.( √ ) (4)若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x ∈A,y∈B}中有 4 个元素.( × ) (5)若 5∈{1,m+2,m2+4},则 m 的取值集合为{1,- 1,3}.( × )

2.[2017· 北京高考]若集合 A={x|-2<x<1},B={x|x <-1 或 x>3},则 A∩B=( A.{x|-2<x<-1} C.{x|-1<x<1}
解析

)

B.{x|-2<x<3} D.{x|1<x<3}

∵A={x|-2<x<1},B={x|x<-1 或 x>3},

∴A∩B={x|-2<x<-1}.故选 A.

3 . [ 课本改编 ] 已知集合 A = {x|x2 - 2x - 3≤0} , B = {x|0<x≤4},则 A∪B=( A.[-1,4] C.(-1,0]∪(1,4]
=[-1,4].选 A.

) B.(0,3] D.[-1,0]∪(1,4]

解析 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},故 A∪B

4.[2017· 全国卷Ⅰ]已知集合 A={x|x<1},B={x|3x<1}, 则( ) A.A∩B={x|x<0} C.A∪B={x|x>1}
解析

B.A∪B=R D.A∩B=?

∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.

又 A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}. 故选 A.

5. [2018· 重庆模拟]已知集合 A={x∈N|πx<16}, B={x|x2 -5x+4<0},则 A∩(?RB)的真子集的个数为( A.1 C.4
解析

)

B.3 D.7
因为 A={x∈N|πx<16}={0,1,2},B={x|x2-5x

+4<0}={x|1<x<4}, 故?RB={x|x≤1 或 x≥4}, 故 A∩(?RB) ={0,1},故 A∩(?RB)的真子集的个数为 3.故选 B.

板块二 典例探究· 考向突破

考向 例1 ( ) A.1 C.5 B.3 D.7

集合的基本概念

(1)[2017· 郑州模拟]已知集合 A={x|y= 1-x2,x

∈Z},B={p-q|p∈A,q∈A},则集合 B 中元素的个数为

解析 由题意知 A={-1,0,1},当 p=-1,q=-1, 0,1 时,p-q=0,-1,-2;当 p=0,q=-1,0,1 时,p- q=1,0,-1;当 p=1,q=-1,0,1 时,p-q=2,1,0.根据集 合中元素的互异性可知, 集合 B 中的元素为-2, -1, 0,1,2, 共计 5 个,选 C.

(2)已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,
-1 a2+1},若 A∩B={-3},则 a=________.
解析 由 A∩B={-3}知,-3∈B.

又 a2+1≥1,故只有 a-3,a-2 可能等于-3. ①当 a-3=-3 时, a=0, 此时 A={0,1, -3}, B ={ - 3,-2,1},A∩B={1,-3}.故 a=0 舍去. ②当 a-2=-3 时,a=-1, 此时 A={1,0,-3},B={-4,-3,2}, 满足 A∩B={-3},故 a=-1.

触类旁通 解决集合概念问题的一般思路 (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后 再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其 元素表示的意义是什么.本例(1)集合 B 中的代表元素为实 数 p-q. (2)要深刻理解元素的互异性,在解决集合中含有字母 的问题时,一定要返回代入验证,防止与集合中元素的互异 性相矛盾.

【变式训练 1】
*
? ? ? ? ? ?

(1)[2018· 昆明模拟]若集合 A={x|x2-

4 9x<0,x∈N },B= y ∈N*,y∈N*,则 A∩B 中元素的个 y
3 数为________ .
解析 解不等式 x2 - 9x<0 可得 0<x<9 ,所以 A =
*

4 {x|0<x<9,x∈N }={1,2,3,4,5,6,7,8},又 ∈N*,y∈N*,所 y 以 y 可以为 1,2,4,所以 B={1,2,4},所以 A∩B=B,A∩B 中元素的个数为 3.

(2)已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值
3 - 2 为________ .

解析 因为 3∈A,所以 m+2=3 或 2m2+m=3. 当 m+2=3,即 m=1 时,2m2+m=3, 此时集合 A 中有重复元素 3, 所以 m=1 不符合题意,舍去; 3 当 2m +m=3 时,解得 m=- 或 m=1(舍去), 2
2

3 1 此时当 m=- 时,m+2= ≠3 符合题意. 2 2 3 所以 m=- . 2

考向 例 2

集合间的基本关系

已知集合 A={x|x<-3 或 x>7},B={x|x<2m- (-∞,-1] . 1},若 B?A,则实数 m 的取值范围是______________
解析 由题意知 2m-1≤-3,m≤-1,∴m 的取值范 围是(-∞,-1].

本例中的 B 改为 B={x|m+1≤x≤2m- 1},其余不变,该如何求解?
解 当 B=?时,有 m+1>2m-1,则 m<2.
? ? ?m+1≤2m-1, ?m+1≤2m-1, 当 B≠?时,? 或? ? ? ?2m-1<-3 ?m+1>7,

解得 m>6.综上可知 m 的取值范围是(-∞,2)∪(6,+ ∞).

本例中的 A 改为 A={x|-3≤x≤7},B 改为 B={x|m+1≤x≤2m-1},又该如何求解?
解 当 B=?时,满足 B?A,此时有 m+1>2m-1,即 解得
?m+1≥-3, ? m<2;当 B≠?时,要使 B?A,则有?2m-1≤7, ? ?m≥2,

2≤m≤4. 综上可知 m 的取值范围是(-∞,4].

触类旁通 根据两集合的关系求参数的方法 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须 优先考虑空集的情况,否则会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转 化为元素或区间端点间的关系, 进而转化为参数所满足的关 系,常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.

【变式训练 2】 -1=0}.

设 A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax

1 (1)若 a= ,试判定集合 A 与 B 的关系; 5 (2)若 B A,求实数 a 组成的集合 C.
解 (1)由 x2-8x+15=0,

得 x=3 或 x=5,∴A={3,5}. 1 1 若 a= ,由 ax-1=0,得 x-1=0,即 x=5. 5 5 ∴B={5}.∴B A.

(2)∵A={3,5},又 B A, 故若 B=?,则方程 ax-1=0 无解,有 a=0; 1 若 B≠?,则 a≠0,由 ax-1=0,得 x= . a 1 1 1 1 ∴ =3 或 =5,即 a= 或 a= . a a 3 5 故
? ? 1 1? ? ? C=?0,3,5? . ? ? ?

考向 例

集合的基本运算

命题角度 1 集合的交集及运算 3 [2017· 山东高考]设集合 M={x||x-1|<1},N= ) B.(-1,2) D.(1,2) {x|x<2},则 M∩N=( A.(-1,1) C.(0,2)
解析

∵M={x|0<x<2},N={x|x<2},

∴M∩N={x|0<x<2}∩{x|x<2}={x|0<x<2}. 故选 C.

命题角度 2 例 4

集合的并集及运算 )

[2018· 武汉模拟]设全集 U=R,集合 A={x|2x B.{x|1<x<2} D.{x|x>0}

-x2>0},B={y|y=ex+1},则 A∪B 等于( A.{x|x<2} C.{x|x>1}
解析 选 D.

由 2x-x2>0 得 0<x<2,故 A={x|0<x<2},由 y

=ex+1 得 y>1,故 B={y|y>1},所以 A∪B={x|x>0}.故

命题角度 3 例 5

集合的补集及运算 )

[2016· 浙江高考]已知集合 P={x∈R|1≤x≤3},

Q={x∈R|x2≥4},则 P∪(?RQ)=( A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
解析

∵Q=(-∞, -2]∪[2, +∞), ∴?RQ=(-2,2),

∴P∪(?RQ)=(-2,3].故选 B.

命题角度 4 例 6

抽象集合的运算
? ? ?

? x [2018· 唐山统一测试]若全集 U=R, 集合 A= ? ?

x+1 ≤0 , B = {x|2x<1} ,则下图中阴影部分表示的集合是 x-6 ( )

A.{x|2<x<3} C.{x|0≤x<6}

B.{x|-1≤x<0} D.{x|1≤x≤6}

解析

A = {x| - 1≤x<6} , B = {x|x<0} , A∩( ? UB) =

{x|0≤x<6}.选 C 项.

触类旁通 集合的基本运算的关注点 (1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中 元素的构成入手是解决集合运算问题的前提. (2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进 行运算,可使问题简单明了,易于解决. (3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有 数轴、坐标系和 Venn 图.

核心规律 解决集合问题, 要正确理解有关集合的含义, 认清集合 元素的属性; 再依据元素的不同属性, 采用不同的方法对集 合进行化简求解,一般的规律为: (1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴来解; (2)若给定的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若给定的集合是抽象集合,用 Venn 图求解.

满分策略 1.元素的属性:描述法表示集合问题时,认清集合中元 素的属性(是点集、数集或其他情形)是正确求解集合问题的 先决条件. 2.元素的互异性:在解决含参数的集合问题时,要注意 检验集合中元素的互异性, 否则很可能会因为不满足“互异 性”而导致解题错误. 3.空集的特殊性:在解决有关 A∩B=?,A?B 等集合 问题时,要先考虑?是否成立,以防漏解.

板块三 启智培优· 破译高考

创新交汇系列 1——集合中的创新性问题 [2018· 吉林模拟]设全集 U={1,2,3,4,5,6},且 U 的子集 可表示由 0,1 组成的 6 位字符串,如:{2,4}表示的是自左向 右的第 2 个字符为 1,第 4 个字符为 1,其余字符均为 0 的 6 位字符串 010100,并规定空集表示的字符串为 000000. (1) 若 M = {2,3,6} , 则 ? UM 表 示 的 6 位 字 符 串 为 ________ 100110 ; (2)已知 A={1,3},B?U,若集合 A∪B 表示的字符串
4 为 101001,则满足条件的集合 B 的个数是________ .

解题视点

考查新定义问题, 关键是正确理解题目中的

新定义,利用集合间的关系及运算解决问题.
解析 (1)由已知得,?UM={1,4,5},

则?UM 表示的 6 位字符串为 100110. (2)由题意可知 A∪B={1,3,6}, 而 A={1,3},B?U, 则 B 可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的 集合 B 的个数是 4.

答题启示

解决以集合为背景的新定义问题, 要抓住两

点:?1?紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙 述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之 中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在; ?2?用好 集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质 的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.

跟踪训练 设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k- 1?A 且 k+1?A,那么 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 A= {1,2,3,4,5},则 A 的所有子集中,只有一个“孤立元”的集 合共有( ) B.11 个 D.13 个 A.10 个 C.12 个

解析 {1,3,4,5}.

“孤立元”是 1 的集合:{1},{1,3,4},{1,4,5},

“孤立元”是 2 的集合:{2},{2,4,5}. “孤立元”是 3 的集合:{3}. “孤立元”是 4 的集合:{4},{1,2,4}. “ 孤立元 ” 是 5 的集合: {5} , {1,2,5} , {2,3,5} , {1,2,3,5}.共有 13 个.故选 D.

板块四 模拟演练· 提能增分


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