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2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2

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3.3 空间两点间的距离公式

1.会推导和应用长方体对角线长公式.(重点) 2.会推导空间两点间的距离公式.(重点) 3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题.(难点)

[基础·初探] 教材整理 空间两点间的距离公式 阅读教材 P92“练习”以下至 P94“例 4”以上部分,完成下列问题. 1.长方体的对角线: (1)连线长方体两个顶点 A,C′的线段 AC′称为长方体的对角线.(如图 2?3?9)
图 2?3?9 (2)如果长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,那么对角线长 d= a2+b2+c2. 2.空间两点间的距离公式: (1)空间任意一点 P(x0,y0,z0)与原点的距离 |OP|= x20+y02+z20. (2)空间两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离 |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.
1

空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)和点 B(2,-1,6)的距离是( )

A.2 43 B.2 21

C.9

D. 86

【解析】 |AB|= (-3-2)2+(4+1)2+(0-6)2= 86.

【答案】 D

[小组合作型]

求空间两点间的距离

已知△ABC 的三个顶点 A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5). (1)求△ABC 中最短边的边长; (2)求 AC 边上中线的长度. 【精彩点拨】 本题考查空间两点间的距离公式的运用,直接运用公式计算即可. 【自主解答】 (1)由空间两点间距离公式得

|AB|= (1-2)2+(5-3)2+(2-4)2=3,

|BC|= (2-3)2+(3-1)2+(4-5)2= 6,

|AC|= (1-3)2+(5-1)2+(2-5)2= 29,

∴△ABC 中最短边是|BC|,其长度为 6.

(2)由中点坐标公式得,AC 的中点坐标为???2,3,72???,

∴AC 边上中线的长度为

2
(2-2)2+(3-3)2+???4-27??? =12.

1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,其中确定点的坐标 或合理设出点的坐标是关键.
2.若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间 的距离公式计算.
[再练一题] 1.如果点 P 在 z 轴上,且满足|PO|=1(O 是坐标原点),则点 P 到点 A(1,1,1)的距离是 ________. 【解析】 由题意得 P(0,0,1)或 P(0,0,-1),
2

所以|PA|= (0-1)2+(0-1)2+(1-1)2= 2, 或|PA|= (0-1)2+(0-1)2+(1+1)2= 6. 【答案】 2或 6
求空间中点的坐标 已知 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),求|AB|取最小值时 A、B 两点的坐 标,并求此时的|AB|.
【导学号:39292123】 【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于 x 的函数,由函数的性质 求 x,再确定坐标. 【自主解答】 由空间两点的距离公式得|AB|=
(1-x)2+[(x+2)-(5-x)]2+[(2-x)-(2x-1)]2 = 14x2-32x+19
2
= 14???x-78??? +57, 当 x=87时,|AB|有最小值 57= 735. 此时 A???87,277,79???,B???1,272,67???.
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征,应用空间两点间的距离公式建立已知与未 知的关系,结合已知条件确定点的坐标.
[再练一题] 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1),B(1,0,-3).在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 【解】 假设在 y 轴上存在点 M(0,y,0),使△MAB 为等边三角形. 由题意可知 y 轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立, 所以只要再满足|MA|=|AB|,就可以使△MAB 为等边三角形. 因为|MA|= 32+(-y)2+12= 10+y2, |AB|=2 5. 于是 10+y2=2 5,解得 y=± 10. 故 y 轴上存在点 M,使△MAB 为等边三角形,此时点 M 的坐标为(0, 10,0)或(0,- 10, 0).
3

[探究共研型] 空间两点间距离公式的应用
探究 1 如图 2?3?10,以棱长为 a 的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直 角坐标系 O?xyz,点 P 在正方体的体对角线 AB 上,点 Q 在正方体的棱 CD 上.
当点 P 为体对角线 AB 的中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,探究|PQ|的最小值.

图 2?3?10
【提示】 当点 P 为体对角线 AB 的中点时,点 P 的坐标是???a2,a2,a2???. 因为点 Q 在线段 CD 上, 故设 Q(0,a,z).

则|PQ|=

2

2

2

???a2??? +???2a-a??? +???a2-z???

2
= ???a2-z??? +12a2.

当 z=a2时,|PQ|取得最小值,且最小值为 22a.

即当点 Q 为棱 CD 的中点时,|PQ|有最小值,且最小值为 22a. 探究 2 在上述问题中,当点 Q 为棱 CD 的中点,点 P 在体对角线 AB 上运动时,探究|PQ| 的最小值. 【提示】 因为点 P 在体对角线 AB 上运动,点 Q 是定点,所以当 PQ⊥AB 时,|PQ|最短. 连接 AQ,BQ,因为点 Q 为棱 CD 的中点,所以|AQ|=|BQ|,所以△QAB 是等腰三角形,

所以当 P 是线段 AB 的中点时,|PQ|取得最小值,由(1)知最小值为 22a.

已知正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直,

点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2). (1)MN 的长;(2)a 为何值时,MN 的长最小. 【精彩点拨】 本例中有两两垂直的直线,可以以它们为坐标轴建系求解,(2)问可利
用函数知识来解决. 【自主解答】 (1)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,AB⊥BE,

4

∴BE⊥平面 ABCD, ∴AB、BC、BE 两两垂直. 以 B 为原点,以 BA,BE,BC 所在直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如图所示空间直角坐 标系.

则 M??? 22a,0,1- 22a???,N??? 22a, 22a,0???,

∴|MN|=

2

2

2

??? 22a- 22a??? +???0- 22a??? +???1- 22a-0???

= a2- 2a+1.

(2)∵|MN|= a2- 2a+1=

2

???a-

22???

1 +2,

∴当 a= 22时,|MN|min= 22.

合理地建立空间直角坐标系是解决问题的关键,而研究某量的最值的问题通常将这个量 表示为某一个未知量的函数,通过研究函数的最值而得到.
[再练一题] 3.如图 2?3?11,在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,AB=AD=2,AA1=3,M,N 分别是 AB,B1C1 的中点,点 P 是 DM 上的点,DP=a,当 a 为何值时,NP 的长最小?

图 2?3?11 【解】 如图,以点 D 为原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建 立空间直角坐标系.
5

则 D(0,0,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3),A(2,0,0),B(2,2,0),M(2,1,0),N(1,2,3), 设点 P 的坐标为(x,y,0),

则 x=2y(0≤y≤1).

|NP|= (x-1)2+(y-2)2+(0-3)2

= (2y-1)2+(y-2)2+(0-3)2

= 5y2-8y+14

2



5???y-45???

54 +5,

所以当

y=45时,|NP|取最小值3

30 5,

此时 a= x2+y2

2

2

= ???85??? +???45??? =4 5 5,

所以当 a=4 5 5时,NP 的长最小.

1.在空间直角坐标系中,设 A(1,2,a),B(2,3,4),若|AB|= 3,则实数 a 的值是( )

A.3 或 5

B.-3 或-5

C.3 或-5

D.-3 或 5

【解析】 由题意得|AB|= (1-2)2+(2-3)2+(a-4)2= 3,解得 a=3 或 5,故选

A.

【答案】 A

2.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是( )

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

【解析】 由距离公式得:

6

|AB|= (1-4)2+(-2-2)2+(11-3)2= 89, |AC|= (1-6)2+(-2+1)2+(11-4)2= 75, |BC|= (4-6)2+(2+1)2+(3-4)2= 14, ∴|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC 为直角三角形. 【答案】 C 3.已知 A(1,-2,1),B(2,2,2),点 P 在 z 轴上,且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为________. 【解析】 ∵P 在 z 轴上,可设 P(0,0,z),由|PA|=|PB|, ∴ (1-0)2+(-2-0)2+(1-z)2=
(2-0)2+(2-0)2+(2-z)2,解得 z=3. 【答案】 (0,0,3) 4.点 A(1,t,0)和点 B(1-t,2,1)的距离的最小值为______. 【解析】 |AB|= t2+(t-2)2+1= 2(t-1)2+3, ∴当 t=1 时,|AB|的最小值为 3. 【答案】 3 5.如图 2?3?12,已知正方体 ABCD?A′B′C′D′的棱长为 a,M 为 BD′的中点,点 N 在 A′C′上,且 A′N=3NC′,试求 MN 的长.
【导学号:39292124】
图 2?3?12 【解】 以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为 a, 所以 B(a,a,0),A′(a,0,a),C′(0,a,a),D′(0,0,a).
由于 M 为 BD′的中点,取 A′C′的中点 O′,所以 M???a2,a2,a2???,O′???a2,a2,a???. 因为 A′N=3NC′,所以 N 为 A′C′的四等分点,从而 N 为 O′C′的中点,故 N???a4,34a,a???.
根据空间两点间距离公式,可得:
7

|MN|= = 46a.

2

2

2

???a2-a4??? +???a2-34a??? +???a2-a???

8


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