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2014高考数学离心率专题


高考数学离心率
离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点,对于求圆锥曲线离心率的问题,通常有两类:一是求椭圆和双曲 线的离心率;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围,属于中低档次的题型,对大多数学生来说是没什么难度的。 一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率,只需要由条件得到一个关于基本量 a,b,c,e 的一个方程,就可以从 中求出离心率.但如果选择方法不恰当,则极可能“小题”大作,误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级” 结论可以使结果马上水落石出,一针见血,其实不然,对于这类题,用最淳朴的定义来解题是最好的,此时无招胜 有招! 【例 1】

(05全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P, 若?F1 PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( A. 2 2 B. 2-1 2 C. 2- 2 D. )

2-1

[解法一](大多数学生的解法) 解:由于 ?F1 PF2 为等腰直角三角形,故有

F1 F2 ? PF2 ,而 F1 F2 ? 2c , PF2 ?

b2 a

所以 2c ?

b2 2 2 2 ,整理得 2ac ? b ? a ? c a
2 2 2

等式两边同时除以 a ,得 2e ? 1 ? e ,即 e ? 2e ? 1 ? 0 , 解得 e ?

?2 ? 8 ? ?1 ? 2 ,舍去 e ? ?1 ? 2 2

因此 e ? ?1 ? 2 ,选 D [解法二](采用离心率的定义以及椭圆的定义求解) 解:如右图所示,有

e

离心率的定义

?

c 2c 椭圆的定义 2c ? ? a 2a | PF1 | ? | PF2 |

?
故选 D [评]

2c 1 ? ? 2 ?1 2 2c ? 2 c 2 ?1

以上两种方法都是很好的方法,解法一是高手的解法,灵活运用了“通径”这个二级结论,使题目迎刃而解, 但计算量偏大,耗时较长;而解法二则是老手,整个过程没有任何高级结论,只运用了最最最简单的、人人皆知的
-1-

“定义” ,通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法! 一、用定义求离心率问题 1. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆 的离心率是( )D (A)

2 2

(B)

2 ?1 2

(C) 2 ? 2

(D) 2 ? 1

2.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 是正三角形,则 这个椭圆的离心率是( A. )A

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2

3. 在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?

7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 18

e?



3 8

4、已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_________; 解析:设 c=1,则

b2 c 1 ? 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a ? a ? 1 ? 2 ? e ? ? ? 2 ?1 a a 2 ?1


5、已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为 解析:由已知 C=2,

b2 c 2 1 ? 3 ? b 2 ? 3a ? a 2 ? 4 ? 3a ? a ? 4, e ? ? ? a a 4 2

6.过椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? ,则椭 2 a b

圆的离心率为 B A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

7.已知 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若边 MF1 的中点在 a2 b2
)D C.

双曲线上,则双曲线的离心率是( A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1

3 ?1 2

D. 3 ? 1

8.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30? 的直线交双曲 2 a b

线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(

)B

-2-

A. 6

B. 3

C. 2

D.

3 3

9、设 F1,F2 分别是双曲线 双曲线离心率为 (A)

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90?,且|AF1|=3|AF2|,则 a 2 b2

5 2

(B)

10 2

(C)

15 2

(D)

5

解.设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90?,且|AF1|=3|AF2|,设 a 2 b2
2 2

|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 2 , 2c ? | AF1 | ? | AF2 | ? 10 ,∴ 离心率 e ?

10 ,选 B。 2

x2 y 2 10、如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个 a b
为圆心, 以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, 且△ 则双曲线的离心率为 (A) 3 (B) 5 (C)

焦点, A 和 B 是以 O

F2 AB 是等边三角形,

5 2

(D) 1 ? 3

解析:如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 O F1 为半径 a 2 b2
连接 AF1, ∠AF2F1=30°,

的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形, |AF1|=c,|AF2|= 3 c,∴ 2a ? ( 3 ? 1)c ,双曲线的离心率为 11.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满

1 ? 3 ,选 D。

PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,则曲线 r 的离心率等于 A
A. 或

1 2

3 2

B.

2 或2 3

C. 或 2

1 2

D. 或

2 3

3 2

二、列方程求离心率问题 1.方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 解:方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根分别为 2,

1 ,故选 A 2


2、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于(
-3-

A.

1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2 c 3 ,选 D。 ? a 2

解.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,∴ a ? 2b ,椭圆的离心率 e ?

3、设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍, 则 C 的离心率为 B (A) 2 (B) 3
2 2

(C)2

(D)3

x y 4.在平面直角坐标系中,椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦距为 2c,以 O 为圆心,a 为半 a2 径的圆,过点( c ,0)作圆的两切线互相垂直,则离心率 e= .e ?

2 2
5 (A)3

5 .已知双曲线 4 (B)3

4 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y = 3 x ,则双曲线的离心率为 2 a b 5 (C)4 3 (D)2

b 4 c 32 ? 42 5 ? ,故选 A 解析:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 ? , 可得e ? ? a 3 a 3 3
6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率 为( ) A. 5 解析:由 B.

5 2

C. 3 选A

D. 2

a 1 c ? 得b ? 2a c ? a 2 ? b 2 ? 5a , e ? ? 5 b 2 a

7.已知双曲线

π x2 y 2 ( a > 2) 的两条渐近线的夹角为 ? ? 1 3 ,则双曲线的离心率为 a2 2 B. 3 2 6 C. 3 2 3 D. 3

A.2

解:双曲线 选 D.

π 2 3 2 ? 3 x2 y 2 ,∴ a2=6,双曲线的离心率为 3 , ? ? 1 (a> 2)的两条渐近线的夹角为3 ,则 ? tan ? 2 a 6 3 a 2

x2 y 2 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y=kx(k>0),离心率 e= 5k ,则双曲线方程为 a b



)C
x2 y2 - =1 a2 4a 2

(A)

(B)

x2 y 2 x2 y 2 (C) ? ? 1 ? ?1 a 2 5a 2 4b 2 b 2
-4-

(D)

x2 y 2 ? ?1 5b 2 b 2

9 设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于( ) 2 a b
(B)2 (C) 5
'

(A) 3

(D) 6

解:设切点 P ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y

|x ? x0 ? 2 x0 .由题意有

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x0 2 ? 1 x0

解得: x0 ? 1,?
2

b b ? 2, e ? 1 ? ( ) 2 ? 5 . 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以 a a

及直线与抛物线的位置关系 ,只有一个公共点 ,则解方程组有唯一解 .本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技 能. 10、设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线 的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2 b b b b 则 一 个 焦 点 为 F (c,0), B (0, b ) 一 条 渐 近 线 斜 率 为 : , 直 线 FB 的 斜 率 为 : ? , ? ? (? ) ? ?1 , a c a c
解析:选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为:

? b 2 ? ac ? c 2 ? a 2 ? ac,? e 2 ? e ? 1 ? 0 ? e ?

5 ?1 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为其右焦点, a 2 b2
为线段 OT 的中

11.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

直线 A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T, 线段 OT 与椭圆的交点 M 恰 点,则该椭圆的离心率为 .

【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的 线的方程。 直线 A1 B2 的方程为:

计算等。以及直

x y ? ? 1; ?a b
x y ? ?1 。 二 者 联 立 解 得 : c ?b

直 线 B1 F 的 方 程 为 :

T(

2ac b( a ? c) , ), a?c a?c
x2 y 2 ac b(a ? c) , ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, a b a ? c 2(a ? c)

则M(

c2 (a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e 2 ? 10e ? 3 ? 0 , 2 2 (a ? c) 4(a ? c)
-5-

解得: e ? 2 7 ? 5

3 x2 y 2 12 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线于 C 相交于 A、B 两 2 a b
点,若 AF ? 3FB 。则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

????

??? ?

3 ???? ??? ? e? A ( x , y ), B ( x , y ) y ? ? 3 y 1 1 2 2 ,∵ AF ? 3FB ,∴ 1 2, ∵ 2 ,设 a ? 2t , c ? 3t , b ? t ,∴ 【解析】B:
x 2 ? 4 y 2 ? 4t 2 ? 0 , 直 线 AB 方 程 为 x ? sy ? 3t 。 代 入 消 去 x , ∴ ( s 2 ? 4) y 2 ? 2 3sty ? t 2 ? 0 , ∴

y1 ? y2 ? ?

2 3st t2 , y y ? ? 1 2 s2 ? 4 s2 ? 4 ,

1 2 3st t2 2 s2 ? ?2 y2 ? ? 2 , ?3 y2 ? ? 2 2 ,k ? 2 s ?4 s ? 4 ,解得
13 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,且 BF ? 2FD ,则 C 的离 心率为 答案:

uu r

uur

2 3

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二 义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本题 解析几何的特点: “数研究形,形助数” ,利用几何性质可寻 简化问题的捷径. 【解析】如图, | BF |? b 2 ? c 2 ? a ,

y
B

定 凸显 求到

uu r uur 作 DD1 ? y 轴于点 D1,则由 BF ? 2FD ,得
3 3 | OF | | BF | 2 ? ? ,所以 | DD1 |? | OF |? c , 2 2 | DD1 | | BD | 3
即 xD ?

O D1

F

x
D

3c a 2 3c 3c 2 ,由椭圆的第二定义得 | FD |? e( ? ) ? a ? 2 c 2 2a
3c 2 2 2 ,整理得 3c ? 2a ? ac ? 0 . a

又由 | BF |? 2 | FD | ,得 c ? 2a ?
2 2

两边都除以 a ,得 3e ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? ?1(舍去),或 e ? 14.过双曲线 M: x ?
2

2 . 3

y2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于 B、C,且 b2
-6-

|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5

) C.

10 3

D.

5 2

解析:过双曲线 M : x 2 ?

y2 ? 1 的左顶点 A (1,0)作斜率为 1 的直线 l :y=x-1, 若 l 与双曲线 M 的两条渐近线 b2
联 立 方 程 组 代 入 消 元 得 (b 2 ? 1) x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , ∴

y2 x ? 2 ? 0 分 别 相 交 于 点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) , b
2

2 1 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? 2 ? ? ? ? 1? b 4 ,x1+x2=2x1x2,又 | AB |?| BC | ,则 B 为 AC 中点,2x1=1+x2,代入解得 ? ,∴ b2=9,双曲线 M ? ? x ?x ? 1 ?x ? ? 1 2 ? ? 1 2 1 ? b2 ? 2 ?
c ? 10 ,选 A. a x2 y 2 15.过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别 a b ??? ? 1 ??? ? 为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 ( ) 2
的离心率 e= A. 2 答案:C 【解析】对于 A ? a, 0 ? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C, B. 3 C. 5 D. 10

? a2 ab ? a2 ab B? , ,? ) ,则有 ? , C( a ?b a ?b ? a?b a?b?

??? ? ? ? ab ??? ? ??? ? 2a 2b 2a 2b ??? ab ? 2 2 BC ? ( 2 2 , ? 2 2 ), AB ? ? ? , ? ,因 2 AB ? BC ,? 4a ? b ,? e ? 5 . a ?b a ?b ? a?b a?b ?
16. 已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F , 过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点,若 b2
.

AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
A.

m

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5
AM ? l


解:设双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 的右准线为 l , 过 A、B 分 别作 b2

M , BN ? l 于 N , BD ? AM 于D ,由直线 AB 的斜率为 3 ,
-7-

知直线 AB 的倾斜角为

60???BAD ? 60?,| AD |?

1 | AB | ,由双曲线的第二定义有 2

? ??? ? ??? ? 1 ??? 1 1 ???? | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2
又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |?

1 e

??? ?

? 5 ??? 6 | FB |? e ? 2 5

故选 A

一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率的取值范围,通常可以从两个方面来研究:一是考虑几何的大小,例如线 段的长度、角的大小等;二是通过设椭圆(或双曲线)点的坐标,利用椭圆(或双曲线)本身的范围,列出不 等式. 离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量, 它是一个比值, 它与圆锥曲线的大小无关, 只与其形状有关. 在 椭圆中,离心率越大,椭圆越扁平,离心率越小,椭圆越圆,椭圆离心率的取值范围 e∈(0,1);在双曲线中, 离心率越大, 双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔, 即双曲线的“张口”逐渐增大, 双曲线离心率的取值范围 e∈(1, +∞);在抛物线中,离心率 e=1. x2 y2 已知椭圆 a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的焦 F2,若该椭圆上存在一点 P,使 60°,则椭圆离心率的取值范 是 .

y B1 P F2 x

点分别为 F1, 得 ∠ F1PF2 = 围

F1
分析:如果我们考虑几何的大小, 为椭圆的短轴的顶点 B1(或 B2) 大(需要证明) ,从而有 0<∠ B1F2.根据条件可得∠F1 B1F2≥ 1 1 ≥2.故2≤e<1.

O B2

我们发现当 M 时 ∠ F1PF2 最 F1PF2 ≤ ∠ F1 c 60 °,易得 a

证明,在△F1PF2 中,由余弦定理得,

cos ?F1 PF2 ?
2

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2

2

2

2

2 1 ? PF1 ? PF2 ? ? F1 F2 2 ? 2 1 PF1 ? PF2 ? ? 2

a 2 ? 2c 2 ? a2

当且仅当 PF1=PF2 时,等号成立,即当 M 与椭圆的短轴的顶点 B1(或 B2)时∠F1MF2 最大. 如果通过设椭圆上的点 P(x,y),利用椭圆本身的范围,也可以求出离心率 e 的范围.在本题中,运用此 法可以做,但比较复杂(关键是点 P 的坐标不易表示) .因此,在解题过程中要注意方法的选择.
-8-

三、离心率范围问题 x2 y2 1.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1,F2,若该椭圆上存在一点 P,使得∠F1PF2 =60°,则椭圆离心率的取值范围是 . [ ,1)

1 2

x2 y 2 2 .已知双 曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,若双曲线上存在一点 P 使 a b
sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c
答案:(1, .

2 ? 1)

???? ? ????? 3.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范
围是( )C
1 B. (0, ] 2

A. (0,1)

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

4、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N ,若 MN ≤ ? F1 F2 ,则 a 2 b2


该椭圆离心率的取值范围是( A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

B. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ?

? 2 ? , 1? ? 2 ? ?

x2 y 2 a2 ? ? 1( a ? b ? 0) | MN | ? 2 x 解析:椭圆 2 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 轴的交点分别为 M ,N ,若 , a b2 c
? 2 ? a2 2 ,取值范围是 ? | F1 F2 |? 2c , MN ≤ ? F1 F2 ,则 ? 2c ,该椭圆离心率 e≥ , 1? ? ,选 D。 c 2 ? 2 ?

x2 y2 ? 1 的离心率 e 的取值范围是( )B 5.设 a ? 1 ,则双曲线 2 ? a (a ? 1) 2
A. ( 2, 2) B. ( 2,5) C. (2, 5) D. (2,5)

x2 y 2 6. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1, ( a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 | PF1 |? 4 | PF2 | , a b
则此双曲线的离心率 e 的最大值为: ( )B A.

4 3

B.

5 3

C. 2

D.

7 3

-9-

7.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线 a 2 b2
)B B. ?1,3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

离心率的取值范围为( A.(1,3)

x2 y2 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个 a b
交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] 解析:双曲线 D.(2,+∞)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60o 的直线与双曲线的右支有且只有一 2 a b c2 a 2 ? b2 b b ≥ 4 ,∴ e ,∴ ≥ 3 ,离心率 e2= 2 ? a a2 a a

个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ≥2,选 C

- 10 -


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