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高三数学一轮复习必备 第92-93课时 第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法

课题:数列的极限、数学归纳法 一知识要点 (一)数列的极限 1.定义:对于无穷数列{an},若存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数 ? , 都能在数列中找到一项 aN,使得当 n>N 时,|an-A|< ? 恒成立,则称常数 A 为数列 {an}的极限,记作 lim a n ? A . n ?? 2.运算法则:若 lim an 、 lim bn 存在,则有 n ?? n ?? lim(an ? bn ) ? lim an ? lim bn ; lim(an ? bn ) ? lim an ? lim bn n ?? n ?? n ?? n ?? n ?? n ?? lim an an n ? ?? ( lim bn ? 0) n?? b lim bn n?? n lim n?? ?0 ( a ? 1) ? 3.两种基本类型的极限:<1> S= lim a n ? ?1 (a ? 1) n ?? ?不存在 ( a ? 1或a ? ?1) ? <2>设 f (n) 、 g (n) 分别是关于 n 的一元多项式,次数分别是 p、q,最高次项系数 ?0 ( p ? q) ? f ( n) ? a p 分别为 a p 、 bp 且 g (n) ? 0(n ? N ) ,则 lim ?? ( p ? q) n ?? g ( n) ? bq ?不存在 ( p ? q) ? 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式: S ? a1 (|q|<1) 1? q n ?? 无穷数列{an}的所有项和: S ? lim S n (当 lim S n 存在时) n ?? (二)数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的一种常用方法,其证题步骤为: ①验证命题对于第一个自然数 n ? n 0 成立。 ②假设命题对 n=k(k≥ n0 )时成立,证明 n=k+1 时命题也成立. 则由①②,对于一切 n≥ n0 的自然数,命题都成立。 二、例题(数学的极限) 例 1.(1) lim n?? 3n 2 ? 2n ? 1 = n2 ? 1 用心 爱心 ; 专心 -1- 2) .数列{an}和{bn}都是公差不为 0 的等差数列,且 lim an a ? a ? ? an =3,则 lim 1 2 = n ?? n ?? b nb2 n n (3.) lim m i (l (4) . n?? 1 ? a n ?1 (a>1)= 2 ? an 3 2 1n ? ?2 ? ? ) n ?1 n ? 1 n 2 1? 1 2 ; = ; ; n ?? (5). lim( n 2 ? 2n ? n) = n?? (6) .等比数列{an}的公比为 q=─1/3,则 lim ? ? a1 ? a2 ? ? ? an = n?? a ? a ? ? ? a 2 4 2n ; 例 2.将无限循环小数 0.1 2 ;1.32 1 2 化为分数. ?? 例 3.已知 lim( n ?? n2 ?1 ? an ? b) ? 1 ,求实数 a,b 的值; n ?1 例 4.数列{an},{bn}满足 lim (2an+bn)=1, lim (an─2bn)=1,试判断数列{an},{bn}的 n?? n?? 极限是否存在,说明理由并求 lim (anbn)的值. n?? 例 5.设首项为 a,公差为 d 的等差数列前 n 项的和为 An ,又首项为 a,公比为 r 的 等比数列前 n 项和为 Gn ,其中 a≠0,|r|<1.令 Sn=G1+G2+…+Gn,若有 lim( n ?? An n ? S n ) =a, 求 r 的值. 例 6 . 设 首 项 为 1 , 公 比 为 q(q>0) 的 等 比 数 列 的 前 n 项 之 和 为 Sn, 又 设 Tn= Sn Sn ?1 (n ? 1, 2, ) ,求 lim Tn . n ?? 1 例 7.{an}的相邻两项 an,an+1 是方程 x2─cnx+ ( ) n =0 的两根,又 a1=2,求无穷等比 3 c1,c2,…cn, …的各项和. 用心 爱心 专心 -2- 例 8.在半径为 R 的圆内作内接正方形,在这个正方形内作内切圆,又在圆内作内 接正方形,如此无限次地作下去,试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面 积总和。 rn an rn+1 例 9.如图,B1,B2,…,Bn,…顺次为曲线 y=1/x(x>0)上的点,A1,A2,…,An… 顺次为 ox 轴上的点,且三角形 OB1A1,三角形 A1B2A2,三角形 An─1BnAn 为等腰三角形 (其中? Bn 为直角),如果 An 的坐标为(xn,0). (1)求出 An 的横坐标的表达式; (2)求 lim | An An?1 | . n?? | A n ?1 An | y B1 B2 O A1 A2 B3 Bn x An─1 An 二.例题(数学归纳法) 例 1.用数学归纳法证明 2n>n2 (n∈N,n?5),则第一步应验证 n= ; 1 1 1 ? n, (n ? N , n ? 1) ,第一步验证不等式 例 2.用数学归纳法证明 1 ? ? ? ? ? 2 3 2n ? 1 成立; 例 3.是否存在常数 a,b,c,使得等式 1·2 +2·3 +……+n(n+1) = +bn+c)对一切自然数 n 成立?并证明你的结论.(89 年) 2 2 2 2 n(n ? 1) (an 12 例 4. 已知数列 {an}= 1 ? Sn=(n+1)an-n. 1 1 1 ? ? ? ? , 记 Sn=a1+a2+a3+ … +an, 用数学归纳法证明 2 3 n 用心 爱心 专心 -3- 例 5.证明: 1 ? 1 1 1 n?2 ? ??? n > (n∈N,n?2) 2 3 2 2 例 6.证明:xn─nan─1x+(n─1)an

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