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陕西省西安市第八十三中2019届高三第二次模拟考试题数学理

西安市第八十三中学 2019 届高三年级第二次模拟考试试卷 理科数学

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A=B= {( x, y) x ? R, y ? R} ,从 A 到 B 的映射 f : ( x, y) ? ( x ? 2 y, 2 x ? y) ,则在 映射 f 下 B 中的元素(1,1)对应的 A 中元素为(
3 1 C. ( , ) 5 5 2.已知 p : x ? 2 ? x ? 3 ? 0 , q : x ? 3 ,则 p 是 q 的(


1 1 D. ( , ) 2 2

A.(3,1)

B.(1,1)



B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 m 3.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? nb 与 a ? 2b 共线,则 等于( n 1 1 A. ? 2 ; B. 2 C. ? D. 2 2

A.充分不必要条件 C.充要条件



4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a3 ? a7 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时, n 等 于( A.9 ) B.8 C.7 D.6 )

5.设 b 、 c 表示两条直线, ? 、 ? 表示两个平面,下列命题中真命题是( A.若 b

? , c / /? 则 b / / c ,

B.若 b

? , b / / c ,则 c / /?

C.若 c / /? ,? ? ? ,则 c ? ?

D.若 c / /? , c ? ? ,则 ? ? ?

6. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 ( x ? 2) f ?( x) ? 0, 又 a ? f (log1 3) ,
2

1 b ? f (( ) 0.3 ), c ? f (ln 3), 则 3 A. c ? b ? a B. b ? c ? a

( C. c ? a ? b

) D. a ? b ? c

y 2 x2 7.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 ? ? 1 的一个焦点重合,则该抛物线 5 4

的标准方程可能是

(

)
·1·

A.x2 = 4y B.x2 = – 4y C.y2 = –12x D.x2 = –12y 8.如图,某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b .则 中午 12 点时最接近的温度为:( ) A. 26 C B. 27 C C. 28 C D. 29 C

9.过点(0,1)且与曲线 y ? A. 2 x ? y ? 1 ? 0

x ?1 在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( x ?1

)

B. 2 x ? y ? 1 ? 0

C. x ? 2 y ? 2 ? 0

D. x ? 2 y ? 2 ? 0

10. 已知 R 上的不间断函数 g ( x) 满足:①当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 恒成立;②对任意的
x ? R 都 有 g ( x) ? g ( ? x) 。 又 函 数 f ( x )

满 足 : 对 任 意 的 x?R , 都 有

f ( 3 ? x) ? ? f ( x) 成立, 当 x ? [0, 3] 时, f ( x) ? x 3 ? 3x 。若关 于 x 的不 等式
g[ f ( x)] ? g (a 2 ? a ? 2) 对 x ? [?3,3] 恒成立,则 a 的取值范围(
A. a ? 0或a ? 1 B. 0 ? a ? 1 C. ? 1 ? a ? 1 ) D. a ? R

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应的横线 上) 11.在△ABC 中,B=
? ,且 BA ? BC ? 4 3 ,则△ABC 的面积是____ 3

12.已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若

?

1 ?1

f ( x) dx ? 2 f (a) 成立,则 a=

?2 x ? y ? 0 ? 1 13.已知 ? x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则 ( ) x ? y?2 的最大值是__________; 2 ?y ? 1 ?

14. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l 2 : x ? 0 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是 .

15.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规律排列:

·2·

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , , , , , , , 有如下运算和结论: 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n 3 ① a24 ? ; ②数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 , 是等比数列; 8

③数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 ,

n2 ? n ; 的前 n 项和为 Tn ? 4

5 ④若存在正整数 k ,使 Sk ? 10, Sk ?1 ? 10, 则ak ? . 7

其中正确的结论有

.(将你认为正确的结论序号都填上)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. ) 16.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ? x ?2 ? x ? 5? , B ? ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? . (1)当 m=3 时,求集合 A B , A ? B ; (2)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围。
Ks5u

17.(本小题满分 12 分) x x x x x x 已知 AC =(cos2+sin2,-sin2), BC =(cos2-sin2,2cos2). (1)设 f(x)= AC · BC ,求 f(x)的最小正周期和单调递减区间;
π π? (2)设有不相等的两个实数 x1,x2∈? ?-2,2?,且 f(x1)=f(x2)=1,求 x1+x2 的值.
C

18. (本小题满分 12 分) 如图,多面体 ABCDS 中,面 ABCD 为矩形,

B

SD ? AD, 且SD ? AB, AD ? 1,
(1)求证:CD ? 平面ADS ;

AB ? 2 , SD ? 3.
D

(2)求 AD 与 SB 所成角的余弦值; (3)求二面角 A—SB—D 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)
·3·

A

S
第 18 题

已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足:a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 和 a4 的等差中 项. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 令 bn ? an log1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 S n ? n ? 2 n?1 ? 50 成立的最小的正整
2

数n. 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C: 1 3 x2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 ,且经过点 P(1, 2 )。 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 是椭圆 C 的右焦点,M 为椭圆上一点,以 M 为圆心,MF 为半径作圆 M。问 点 M 满足什么条件时,圆 M 与 y 轴有两个交点? (3)设圆 M 与 y 轴交于 D、E 两点,求点 D、E 距离的最大值。 21. (本小题满分 14 分) 1 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (a ? 1) x ( a ? R 且 a ? 0 ). 2 (1)求函数 f ( x) 的单调区间;Ks5u (2) 记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两点. 如果在曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 ?
x1 ? x2 ;②曲线 C 在点 M 处的切 2

线平行于直线 AB ,则称函数 F ( x) 存在“中值相依切线”. 试问:函数 f ( x) 是否 存在“中值相依切线” ,请说明理由.

西安市第八十三中学 2019 届高三年级第二次模拟考试试卷 理科数学答案
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C

A

C

D

D

A

D

B

A

A

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应的横线上)
·4·

11.6 14.1

12.

1 , ?1 3

13. 8

15.①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)

已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 . (1)当 m=3 时,求集合 A B , A ? B ; (2)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围。 解: (1)当 m=3 时,A={ x | ?2 ? x ? 5 } ,B={ x | 4 ? x ? 5 }……….1 分 ∴A ? B={ x | 4 ? x ? 5 } ,……………3 分 Ks5u A ? B ={ x | ?2 ? x ? 5 }…………….5 分 (2)当 B= ? 即 m+1>2m-1 时 m<2 适合条件 B ? A ……………7 分

?

?

?

?

?m ? 2 ? 当 B ? ? 时 由 ? m ? 1 ? ?2 ?2 m ? 1 ? 5 ?

得 2 ? m ? 3 ………………11 分

综上可得:若 B ? A 则实数 m 的取值范围(- ? ,3】……………12 分

17.(本小题满分 12 分) x x x x x x 已知 AC =(cos +sin ,-sin ), BC =(cos -sin ,2cos ). 2 2 2 2 2 2

BC ,求 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (1)设 f(x)= AC ·
π π? (2)设有不相等的两个实数 x1,x2∈? ?-2,2?,且 f(x1)=f(x2)=1,求 x1+x2 的值.

BC 得 解:(1)由 f(x)= AC ·
x x x x x x f(x)=(cos +sin )· (cos -sin )+(-sin )· 2cos 2 2 2 2 2 2 x x x x π =cos2 -sin2 -2sin cos =cosx-sinx= 2cos(x+ ),..................4 分 2 2 2 2 4
·5·

所以 f(x)的最小正周期 T=2π..................6 分 π 又由 2kπ≤x+ ≤π+2kπ,k∈Z, 4 π 3π 得- +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 4 4 π 3π 故 f(x)的单调递减区间是[- +2kπ, +2kπ](k∈Z) 4 4 π π 2 (2)由 f(x)=1 得 2cos(x+ )=1,故 cos(x+ )= 4 4 2 ……………..8 分 ………10 分

π π? π ? π 3 ? π 又 x∈? ?-2,2?,于是有 x+4∈?-4,4π?,得 x1=0,x2=-2, π 所以 x1+x2=- 2 ……….12 分

18. (本小题满分 12 分) 如图,多面体 ABCDS 中,面 ABCD 为矩形, (1)求证:CD ? 平面ADS ; (2)求 AD 与 SB 所成角的余弦值; (3)求二面角 A—SB—D 的余弦值.Ks5u

SD ? AD, 且SD ? AB, AD ? 1, AB ? 2 , SD ? 3.
C

B

D

A
源:Ks5u.com]

解: (1)? ABCD 是矩形,? CD ? AD 又 SD ? AB, AB // CD, 则CD ? SD

S
第 17 题

AD

SD ? D ? CD ? 平面ADS

z
C

--------3 分

(2)DA、DC、DS 两两互相垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系

? S ( 3,0,0), A(0,1,0), B(0,1,2),C(0,0,2), D(0,0,0)
? AD ? (0,?1,0), SB ? (? 3,1,2)
? cos ? AD , SB ?? AD ? SB | AD | ? | SB | ?? 2 4
S

B

--------5 分
D

---------7 分
A

2 . ? AD 与 SB 所成的角的余弦为 4

---------8 分

y

x
·6·

(3) DS ? ( 3,0,0), DB ? (0,1,2) 设面 SBD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

?

? ? ? 3x ? 0 ? ?n ? DS ? 0 ??? ?? ? 取n ? (0,?2,1), ? ? y ? 2z ? 0 ?n ? DB ? 6
又? AB ? (0,0,2), SA ? (? 3,1,0) ∴设面 DAB 的一个法向量为 m ? ( x, y, z)

--------9 分

所以所求的二面角的余弦为 19. (本小题满分 12 分)

15 5

----------12 分

已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 和 a4 的等差中项. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 令 bn ? an log 1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 S n ? n ? 2 n?1 ? 50 成立的最小的正整数 n . 解:(1) 设 ?an ? 的公比为 q ,由已知,得
2

? a1 q 2 ? 8 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? 28 ? a3 ? 8 ?a1 ? 2 , ?? ?? ? ? ? 3 q ? 2 2 ( a ? 2 ) ? a ? a a ? a ? 20 a q ? a q ? 20 ? 2 4 4 ? 2 ? 3 1 ? 1 n?1 n ∴ an ? a1q ? 2 ; --------------5 分
(2) bn ? 2 log1 2 ? ?n ? 2 ,
n n n 2

设 则 ①-② 得 ∴ 故

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n
2Tn ?
2 3

……………………… ①

1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ……… ②
--------------10
n?1

? Tn ? (2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? ?(n ? 1) ? 2n?1 ? 2
n?1

S n ? ?Tn ? ?(n ? 1) ? 2n?1 ? 2
Sn ? n ? 2 ? 50


? (n ? 1) ? 2

? 2 ? n?2

n?1

? 50 ,
-----12 分

2 n ? 26 , ∴ 满足不等式的最小的正整数 n 为 5.
20. (本小题满分 13 分)

x2 y2 1 3 已知椭圆 C: a2 + b2 =1(a>b>0)的离心率为 2 ,且经过点 P(1, 2 )。 (1)求椭圆 C 的方程;
·7·

(2)设 F 是椭圆 C 的右焦点,M 为椭圆上一点,以 M 为圆心,MF 为半径作圆 M。问 点 M 满足什么条件时,圆 M 与 y 轴有两个交点? (3)设圆 M 与 y 轴交于 D、E 两点,求点 D、E 距离的最大值。 x2 y2 1 3 解:(1)∵椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的离心率为 2 ,且经过点 P(1, 2 ), a -b 1 ? ? a =2 ∴? ,即 1 9 ? ? a2 + 4b2 =1
2 2 2 2 ? 2 ?3a -4b =0 ?a =4 ? 9 ? 1 ,解得 b2=3, ? 2 + ? 4b2 =1 ?a

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1。……Ks5u…… x02 y02 (2)易求得 F(1,0)。设 M(x0,y0),则 4 + 3 =1, 圆 M 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02,

5分

令 x=0,化简得 y2-2y0y+2x0-1=0,⊿=4y02-4(2x0-1)2>0……①。 x02 4 将 y0 =3(1- 4 )代入①,得 3x02+8x0-16<0,解出 -4<x0< 3 ..........10 分 (3)设 D(0,y1),E(0,y2),其中 y1<y2。由(2),得 4 64 DE= y2- y1= 4y02-4(2x0-1) = -3x02-8x0+16 = -3(x0+ 3 )2+ 3 , 4 8 3 当 x0=- 3 时,DE 的最大值为 2 ........................ 13 分
2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x ( a ? R 且 a ? 0 ). 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两点.如果 在曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 ?

x1 ? x2 ;②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直 2

线 AB ,则称函数 F ( x) 存在“中值相依切线”. 试问:函数 f ( x ) 是否存在“中值相依切线” ,请说明理由. 解:(Ⅰ)显然函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) . …………1 分

·8·

1 a( x ? 1)( x ? ) 1 a . 由已知得, f '( x) ? ? ax ? a ? 1 ? ? x x
⑴当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ; 令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 所以函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. ⑵当 a ? 0 时, ①当 ?

…………2 分

Ks5u

……3 分

1 1 ? 1 时,即 a ? ?1 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ; a a 1 令 f '( x) ? 0 ,解得 ? ? x ? 1 . a 1 1 所以,函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减; ……4 分 a a 1 ②当 ? ? 1 时,即 a ? ?1 时, 显然,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; ………5 分 a 1 1 ③当 ? ? 1 时,即 ?1 ? a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? ? ; 令 f '( x) ? 0 ,解得 a a 1 1 1 1 ? x ? ? .所以,函数 f ( x) 在 (0,1) 和 (? , ??) 上单调递增,在 (1, ? ) 上单调递减. … a a a
综上所述,⑴当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减; ⑵当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 (? ⑶当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; ⑷当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 (?

1 a

1 ,1) 上单调递减; a

1 1 , ??) 上单调递增,在 (1, ? ) 上单调递减. …7 分 a a

(Ⅱ)假设函数 f ( x ) 存在“中值相依切线”. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 , 则 y1 ? ln x1 ?

1 2 1 ax1 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 . 2 2
1 (ln x2 ? ln x1 ) ? a( x2 2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) 2 x2 ? x1
…………8 分

k AB

y ?y ? 2 1 ? x2 ? x1 ?

ln x2 ? ln x1 1 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) x2 ? x1 2

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率
·9·

k ? f ?( x0 ) ? f ?(

x1 ? x2 x ?x 2 )? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , 2 x1 ? x2 2

…………9 分

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2 ln x2 ? ln x1 2 ? , x2 ? x1 x1 ? x2
2( x2 ? 1) x1 . x2 ?1 x1

化简可得:

即 ln

x2 2( x2 ? x1 ) ? = x1 x2 ? x1

…………11 分



2(t ? 1) 4 x2 ? 2? ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? , t ?1 t ?1 x1
即 ln t ?

4 ? 2. t ?1

…………12 分

令 g (t ) ? ln t ?

4 1 4 (t ? 1)2 , g '(t ) ? ? . ? t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2

因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (1, ??) 上递增, 显然有 g (t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?

4 ? 2 成立. t ?1

综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x ) 不存在“中值相依切线”. ……………14 分

·10·


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