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2017年高考数学专题复习:圆锥曲线(文)


2017 年高考数学专题复习:圆锥曲线(文)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、选择题(题型注释) 1. (2016 高考新课标 1 文数)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 (A)

1 3

1 ,则该椭圆的离心率为( ) 4 1 1 3 (B) (C) (D) 2 3 4
2

2. (2016 高考新课标 2 文数)设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,曲线 y= 交于点 P,PF⊥x 轴,则 k=( (A) ) (C)

k (k>0)与 C x

1 2

(B)1

3 2

(D)2

3. (2016 高考新课标Ⅲ文数) 已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的左焦点, A, B 分别为 C 的左,右顶点. P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴.过点 A 的直 线 l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离 心率为( (A) ) (B)

1 3

1 2

(C)

2 3

(D)
2

3 4


4. (2016 高考四川文数)抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是( (A) (0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)

5. (2016 江西师大附中、 鹰潭一中一联) 已知抛物线 C 的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,
2

M 为抛物线 C 上一动点, A(a,0)(a ? 0) 为其对称轴上一点,直线 MA 与抛物线 C 的另一 个交点为 N.当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时,△MON 的面积为 18. (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)记 t ?

1 1 ,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点”, ? AM AN
1 ,E 的右焦 2


试求出所有“稳定点”,若没有,请说明理由. 6. 【2015 高考新课标 1,文 5】已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为
2

点与抛物线 C : y ? 8x 的焦点重合, 则 AB ? ( A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点, (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12

7. 【2015 高考重庆,文 9】设双曲线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点是 F,左、右顶 a 2 b2

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点分别是 A1 , A2 ,过 F 做 A1A 2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B ? A2 C ,则 双曲线的渐近线的斜率为( (A)± )

1 2

(B)±

2 2
2

(C)± 1

(D)± 2

8. 【2015 高考四川,文 7】过双曲线 x ?

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双 3
) (C)6 (D)4 3

曲线的两条渐近线于 A、B 两点,则|AB|=( (A)

4 3 3

(B)2 3

9. 【2015 高考陕西,文 3】已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过点 (?1,1) ,则抛物 线焦点坐标为( A. (?1, 0) ) C. (0, ?1) D. (0,1)

B. (1, 0)

10. 【2015 高考广东,文 8】已知椭圆 则m?( A. 9 ) B. 4

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F 1 ? ?4,0 ? , 25 m 2
C. 3 D. 2

11. 【2015 高考湖南,文 6】若双曲线 双曲线的离心率为( A、 ) B、

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) ,则此 a 2 b2

7 3

5 4

C、

4 3

D、

5 3

12. 【2015 高考安徽,文 6】下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是(



y2 ?1 (A) x ? 4
2

x2 ? y2 ? 1 (B) 4
(D)

(C) x ?
2

y2 ?1 2

x2 ? y2 ? 1 2 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F .短轴 a 2 b2

13. 【2015 高考福建,文 11】已知椭圆 E :

的一个端点为 M , 直线 l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点. 若 AF ? BF ? 4 , 点M 到直线 l 的距离不小于

4 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) 5 3 4
C. [

A. (0,

3 ] 2

B. (0, ]

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

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二、填空题(题型注释) 14. (2016 高考上海文数)已知平行直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 l1 , l2 的 距离_______________. 15. (2016 高考北京文数)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线为 a 2 b2

2 x ? y ? 0 ,一个焦点为 ( 5, 0) ,则 a ? _______; b ? _____________.

y2 2 16. (2016 高考浙江文数)设双曲线 x – 3 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在
双曲线上,且△F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______. 17. (2016 高考山东文数)已知双曲线 E:

x2 y2 – =1(a>0,b>0) .矩形 ABCD 的四 a2 b2

个顶点在 E 上, AB, CD 的中点为 E 的两个焦点, 且 2|AB|=3|BC|, 则 E 的离心率是_______. 2 18. (2016 江西南昌一模)已知抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,过点 F 且斜率为 1 的直线 与抛物线相交于 M,N 两点.设直线 l 是抛物线 C 的切线,且 l∥MN,P 为 l 上一点,则 的最小值为___________. 19 . ( 2016 湖南师大附中等四校联考)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线
2

x 2 ? y 2 ? 1 的一个焦点,则 p ? _____.
20. 【2015 高考浙江,文 15】椭圆 线y?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点 F ? c,0 ? 关于直 a 2 b2


b x 的对称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是 c
2

y2 21. 【2015 高考北京,文 12】已知 ? 2, 0 ? 是双曲线 x ? 2 ? 1( b ? 0 )的一个焦点, b
则b ? .
2

22. 【2015 高考上海,文 7】抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的动点 Q 到焦点的距离的最小 值为 1,则 p ? .

23. 【2015 高考上海, 文 12】 已知双曲线 C1 、C2 的顶点重合,C1 的方程为

x2 ? y2 ? 1, 4

若 C2 的 一 条 渐 近 线 的 斜 率 是 C1 的 一 条 渐 近 线 的 斜 率 的 2 倍 , 则 C2 的 方 程 为 .

24. 【2015 高考山东,文 15】过双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ?1 的右焦点作一条与 (a ? 0, b ? 0) a2


其渐近线平行的直线, 交 C 于点 P . 若点 P 的横坐标为 2 a , 则 C 的离心率为
试卷第 3 页,总 7 页

三、解答题(题型注释) 25. (2016 高考新课标 1 文数)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. (Ⅰ)求

OH ON



(Ⅱ)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由.

x2 y 2 ? 1 的左顶点, 26. (2016 高考新课标 2 文数) 已知 A 是椭圆 E : ? 斜率为 k ? k>0? 4 3
的直线交 E 与 A , M 两点,点 N 在 E 上, MA ? NA . (Ⅰ)当 AM ? AN 时,求 ?AMN 的面积; (Ⅱ)当 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 . 27. (2016 高考新课标Ⅲ文数)已知抛物线 C : y ? 2 x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两
2

条直线 l1 , l2 分别交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ? FQ ; (Ⅱ)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

28. (2016 高考天津文数) (设椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? 3 ) 的右焦点为 F , 右顶点为 A , a2 3

已知

1 1 3e ? ? ,其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率. | OF | | OA | | FA |

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于点

M ,与 y 轴交于点 H ,若 BF ? HF ,且 ?MOA ? ?MAO ,求直线的 l 斜率.
29. (2016 高考上海文数)双曲线 x2 ? 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点. (1)若 l 的倾斜角为
? , △F1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; 2

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,直线 l b2

(2)设 b ? 3 ,若 l 的斜率存在,且|AB|=4,求 l 的斜率.学科&网 30. (2016 广东广州综合测试一)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶 点为 A ,左焦点为 F , 0? ,点 B 2, 2 在椭圆 C 上,直线 y ? kx ? k ? 0? 与椭圆 1? ?2
试卷第 4 页,总 7 页

?

?

C 交于 E , F 两点,直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说 明理由. 31. 【2015 高考安徽,文 20】设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 点 O 为坐标原 a 2 b2

点, 点 A 的坐标为 ( a , 0) , 点 B 的坐标为 (0, b) , 点 M 在线段 AB 上, 满足 BM ? 2 MA ,

直线 OM 的斜率为

5 . 10

(Ⅰ)求 E 的离心率 e; (Ⅱ)设点 C 的坐标为(0,-b) ,N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB. 32. 【2015 高考北京, 文 20】 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 3 , 过点 D ?1,0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线与椭圆 C 交于 ? , ? 两点,直线 ?? 与直线 x ? 3 交于点 ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)试判断直线 ?? 与直线 D ? 的位置关系,并说明理由. 33. 【2015 高考湖南,文 20】 (本小题满分 13 分)已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F 也 是椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B (a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 , 两点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向. (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)若 AC ? BD ,求直线 l 的斜率. 34 . 【 2015 高 考 山 东 , 文 21 】 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆 C :

??? ?

??? ?

1 3 x2 y2 的离心率为 ,且点( , )在椭圆 C 上. + =1( ? > b >0) 3 2 2 ? 2 b2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 P 为椭圆 C 上任意一点, (Ⅱ) 设椭圆 E : 2 + 2 =1 , 过点 P 的直线 y = kx + m 4a 4b
交椭圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .

试卷第 5 页,总 7 页

(ⅰ)求

|OQ | 的值; |OP |

(ⅱ)求 ?ABQ 面积的最大值.

35. 【2015 高考陕西,文 20】如图,椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) , a 2 b2

且离心率为

2 . 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点 (1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q (均异于点 A ) , 证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

2 x2 y 2 36. 【2015 高考四川,文 20】如图,椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率是 , a b 2
点 P(0,1)在短轴 CD 上,且 PC ? PD =-1 y D A P x O B C (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 λ ,使 得 OA ? OB ? ? PA ? PB 为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由. 37. 【2015 高考上海,文 22】(本题满分 14 分)本题共 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. 已知椭圆 x ? 2 y ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l 2 分别于椭圆交于 A 、 B 和 C 、 D ,
2 2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

设 ?AOC 的面积为 S . ( 1 )设 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,用 A 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明

S ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ;
试卷第 6 页,总 7 页

(2)设 l1 : y ? kx , C (

3 3 1 , ) , S ? ,求 k 的值; 3 3 3

(3)设 l1 与 l 2 的斜率之积为 m ,求 m 的值,使得无论 l1 与 l 2 如何变动,面积 S 保持不 变.

试卷第 7 页,总 7 页

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:如图,由题意得在椭圆中, OF ? c, OB ? b, OD ?

1 1 ? 2b ? b 4 2

在 Rt?OFB 中, | OF | ? | OB |?| BF | ? | OD | ,且 a 2 ? b2 ? c2 ,代入解得

a 2 ? 4c2 ,所以椭圆得离心率得 e ?
y B O x

1 ,故选 B. 2

D F

考点:椭圆的几何性质 【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等 式,再转化为关于 a,c 的齐次方程,方程两边同时除以 a 的最高次幂,转化为关于 e 的方程, 解方程求 e . 2.D 【解析】 试题分析:因为 F 抛物线 y ? 4 x 的焦点,所以 F (1, 0) ,
2

又因为曲线 y ?

k k (k ? 0) 与 C 交于点 P , PF ? x 轴,所以 ? 2 ,所以 k ? 2 ,选 D. x 1
k (k ? 0) , 当 k ? 0 时, x

考点: 抛物线的性质,反比例函数的性质. 【名师点睛】 抛物线方程有四种形式, 注意焦点的位置. 对函数 y=

在 (??, 0) , (0, ??) 上是减函数,当 k ? 0 时,在 (??, 0) , (0, ??) 上是增函数. 3.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? k ( x ? a) , 分 别 令

x ? ?c 与 x ? 0 得 点

E? | FM | ? k( a ? c), | OE |? ka , 由 ?O B ?

1 | OE | | OB | 2 C B, M得 ? , 即 | FM | | BC |

答案第 1 页,总 25 页

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ka a c 1 1 ,整理,得 ? ,所以椭圆离心率为 e ? ,故选 A. ? a 3 3 2k (a ? c) a ? c
考点:椭圆方程与几何性质. 【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法: (1)直接求得 a , c 的值,进而求得 e 的值; (2)建立 a, b, c 的齐次等式,求得 特殊位置,求出 e . 4.D 【解析】 试题分析:由题意, y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 (1, 0) ,故选 D. 考点:抛物线的定义. 【名师点睛】本题考查抛物线的定义.解析几何是中学数学的一个重要分支,圆锥曲线是解 析几何的重要内容,它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容,一定要 熟记掌握.
1 5. (Ⅰ) y 2 ? 12 x ; (Ⅱ)仅当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 3 时,t 与 m 无关 3

b 或转化为关于 e 的等式求解; (3)通过特殊值或 a

1 1 p p2 ? 18 , ∴ p ? 6 , 【解析】 (Ⅰ)由题意, S△MON ? ? | OA | ? | MN |? ? ? 2 p ? 2 2 2 2
抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 12 x . (Ⅱ)设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,

? x ? my ? a 设直线 MN 的方程为 x ? my ? a ,联立 ? 2 得 y 2 ? 12my ? 12a ? 0 , ? y ? 12 x
∴ ? ? 144m2 ? 48a ? 0 , 由对称性,不妨设 m ? 0 , (ⅰ) a ? 0 时,∵ y1 y2 ? ?12a ? 0 , ∴ y1,y2 同号, 又t ?
y1 ? y2 ? 12m , y1 y2 ? ?12a ,

1 1 1 1 ? ? ? , 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m2 | y2 |
( y ? y2 )2 1 1 144m2 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? ?, 2 2 2 1? m ( y1 y2 ) 1 ? m 144a 2 a 2 ? 1 ? m2 ?

∴t 2 ?

不论 a 取何值,t 均与 m 有关, 即 a ? 0 时,A 不是“稳定点”; (ⅱ) a ? 0 时,∵ y1 y2 ? ?12a ? 0 , ∴ y1,y2 异号. 又t ?

1 1 1 1 ? ? ? , 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m2 | y2 |

答案第 2 页,总 25 页

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1 ? ? 2 2 a ?1? 2 ? ( y ? y ) ? 4 y y 1 1 144 m ? 48 a ( y ? y ) 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 ? ? ∴t ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ?, 1 ? m2 ( y1 y2 ) 2 1 ? m2 ( y1 y2 )2 1 ? m2 144a2 a ? 1 ? m2 ? ? ? ? ?

∴仅当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 3 时,t 与 m 无关,
6.B 【解析】∵抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为(2,0) ,准线方程为 x ? ?2 ,∴椭圆 E 的右焦点为 (2,0) , ∴椭圆 E 的焦点在 x 轴上,设方程为

1 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,c=2, a 2 b2

∵e ?

x2 y 2 c 1 ? ,∴ a ? 4 ,∴ b2 ? a2 ? c2 ? 12 ,∴椭圆 E 方程为 ? ? 1, a 2 16 12

将 x ? ?2 代入椭圆 E 的方程解得 A(-2,3) ,B(-2,-3) ,∴|AB|=6,故选 B. 【考点定位】抛物线性质;椭圆标准方程与性质 【名师点睛】 本题是抛物线与椭圆结合的基础题目, 解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定 义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质,先由已知曲线与待确定曲线的关系结 合已知曲线方程求出待确定曲线中的量,写出待确定曲线的方程或求出其相关性质. 7.C 【解析】由已知得右焦点 F (c, 0) (其中 c 2 ? a 2 ? b 2 , c ? 0) ,

A1 (?a,0), A2 (a,0) , B(c,?
从而 A1 B ? (c ? a,?

b2 b2 ),C (c, ) , a a

b2 b2 ), A2C ? (c ? a, ) ,又因为 A1B ? A2 C , a a b2 b2 ) ?( ) ? 0, a a

所以 A 1B ? A 2C ? 0 ,即 (c ? a ) ? (c ? a ) ? ( ?

???? ???? ?

化简得到

b2 b ? 1 ? ? ?1 ,即双曲线的渐近线的斜率为 ? 1 , 2 a a

故选 C. 【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积. 【名师点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质, 利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条 件而得到 a 与 b 的关系式来求解.本题属于中档题,注意运算的准确性. 8.D 【解析】由题意,a=1,b= 3 ,故 c=2, 渐近线方程为 y=± 3 x
答案第 3 页,总 25 页

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将 x=2 代入渐近线方程,得 y1,2=±2 3 故|AB|=4 3 ,选 D 【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基 础知识,考查简单的运算能力. 【名师点睛】 本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点, 进而考查直线与双曲线渐近线交 点问题,考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程,然后联立方程 组,接触线段 AB 的端点坐标,即可求得|AB|的值.属于中档题. 9.B 【解析】由抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 得准线 x ? ? 所以抛物线焦点坐标为 (1, 0) ,故答案选 B 【考点定位】抛物线方程和性质. 【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质,采用待定系数法求出 p 的值.本题属于基础 题,注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程,往往 这个是解题的关键. 10.C 【解析】由题意得: m2 ? 25 ? 42 ? 9 ,因为 m ? 0 ,所以 m ? 3 ,故选 C. 【考点定位】椭圆的简单几何性质. 【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质,属于容易题.解题时要注意椭圆的焦 点落在哪个轴上,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质, 即椭圆 11.D

p ,因为准线经过点 (?1,1) ,所以 p ? 2 , 2

x2 y 2 2 2 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点 F 1 ? ?c,0 ? ,右焦点 F 2 ? c,0? ,其中 a ? b ? c . a 2 b2

x2 y 2 【解析】因为双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) , a b
? 3b ? 4a, ?( 9 c 2 ? a 2) ? 16a 2, ?e ? c 5 = .故选 D. a 3

【考点定位】双曲线的简单性质 【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质,在解决有关双曲线问题时,需结合渐近线从数形

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有: (1)与双曲线 a 共渐近线的可 x2 y 2 x2 y 2 b ? ? ? ( ? ? 0) ? ? ? (? ? 0) y ? ? x 2 a ,则可设为 a2 b2 b2 设为 a ; (2)若渐近线方程为 ; (3) x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0.b ? 0) 2 b 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b ; (4) a 的一条渐近线的

答案第 4 页,总 25 页

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b c2 ? a2 ? ? e2 ? 1 2 a a 斜率为 .可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张

口的大小.另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化,其实质是确定极端或极限位置. 12.A 【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项 A 的渐进线方程为 y ? ?2 x ,故选 A. 【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式. 【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时,考生一定要注意观察双曲线的交点是在 x 轴,还 是在 y 轴,选用各自对应的公式,切不可混淆. 13.A 【解析】 设左焦点为 F , 连接 AF1 ,BF1 . 则四边形 BF1 AF 是平行四边形, 故 AF 1 ? BF , 所以

AF ? AF1 ? 4 ? 2a ,所以 a ? 2 ,设 M (0, b) ,则
0 ? c2 ? 3 ,

4b 4 ? ,故 b ? 1 ,从而 a 2 ? c 2 ? 1 , 5 5

0 ? c ? 3 ,所以椭圆 E 的离心率的取值范围是 (0,

3 ] ,故选 A. 2

【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质;2、点到直线距离公式. 【 名 师 点 睛 】 本 题 考 查 椭 圆 的 简 单 几 何 性 质 , 将 AF ? BF ? 4 转 化 为

AF ? AF1 ? 4 ? 2a ,进而确定 a 的值,是本题关键所在,体现了椭圆的对称性和椭圆概
念的重要性, 属于难题. 求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基 本量 a, b, c 满足的不等量关系,以确定

c 的取值范围. a

14.

2 5 5

【解析】试题分析: 利用两平行线间距离公式得 d ?

| c1 ? c 2 | a 2 ? b2

?

| ?1 ? 1| 22 ? 12

?

2 5 5

考点:两平行线间距离公式. 【名师点睛】确定两平行线间距离,关键是注意应用公式的条件,即 x, y 的系数应该分别相 同,本题较为容易,主要考查考生的基本运算能力. 15. a ? 1, b ? 2 . 【解析】

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?c ? 5 ? 试题分析:依题意有 ? b ,结合 c 2 ? a 2 ? b2 ,解得 a ? 1, b ? 2 . ? ? ?2 ?a
考点:双曲线的基本概念 【名师点睛】 在双曲线的几何性质中, 渐近线是其独特的一种性质, 也是考查的重点内容. 对 渐近线: (1)掌握方程; (2)掌握其倾斜角、斜率的求法; (3)会利用渐近线方程求双曲线 方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类 似.因此,双曲线与椭圆的标准方程可统一为 Ax2 ? By2 ? 1 的形式,当 A ? 0 , B ? 0 ,

A ? B 时为椭圆,当 AB ? 0 时为双曲线.
16. (2 7,8) . 【解析】 试题分析:由已知 a ? 1, b ? 3, c ? 2 ,则 e ?

c ? 2 ,设 P( x, y ) 是双曲线上任一点,由对 a

称性不妨设 P 在右支上,则 1 ? x ? 2 , PF 1 ? 2x ? 1 , PF 2 ? 2 x ?1 ,

?F1PF2 为锐角,则 PF1 ? PF2 ? F1 F2 ,即 (2x ? 1)2 ? (2x ?1)2 ? 42 ,解得 x ?

2

2

2

7 , 2

所以

7 ? x ? 2 , PF1 ? PF2 ? 4 x ? (2 7,8) . 2

考点:双曲线的几何性质. 【思路点睛】先由对称性可设点 ? 在右支上,进而可得 ?F 1?F 2 为锐角三 1 和 ?F 2 ,再由 ?F 角形可得 ?F1 ? ?F2 围. 17. 2 【解析】 试题分析:依题意,不妨设 AB ? 6, AD ? 4 ,作出图象如下图所示
2 2

? F1F2 ,进而可得 x 的不等式,解不等式可得 ?F 1 ? ?F 2 的取值范

2

答案第 6 页,总 25 页

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则 2c ? 4, c ? 2;2a ? DF2 ? DF 1 ? 5 ? 3 ? 2, a ? 1, 故离心率

c 2 ? ?2 a 1

考点:双曲线的几何性质 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答,利用特殊化思想,通过对特殊情 况的讨论, 转化得到一般结论, 降低了解题的难度. 本题能较好的考查考生转化与化归思想、 一般与特殊思想及基本运算能力等. 18.-14 【解析】设 l : y ? x ? b ,代入抛物线方程,得 x ? 4 x ? 4b ? 0 ,因为 l 与抛物线相切,
2

所以 ? ? 16 ? 16b ? 0 ,解得 b ? ?1 ,所以 l : y ? x ? 1 .由抛物线的方程,知 F (0,1) , 所以 lMN : y ? x ? 1 .设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 ?

? y ? x ?1 ?x ? 4 y
2

,得 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,所以
2

x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ? ?4 , 所 以

y1 ? y2 ? 6, y1 y2 ? 1 . 设

P(m, m ? 1) , 则

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? PM ? ( x1 ? m, y1 ? m ? 1) , PN ? ( x2 ? m, y2 ? m ? 1) ,所以 PM ? PN ? ( x1 ? m)( x2 ? m)
+ ( y1 ? m ? 1)( y2 ? m ? 1) = x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? y1 y2 + (1 ? m)( y1 ? y2 ) ? (1 ? m) =
2 2

???? ? ??? ? 2(m2 ? 6m ? 2) ? 2[(m ? 3)2 ? 7] ? ?14 ,所以 PM ? PN 的最小值为-14.
19. 2 2 .
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【解析】抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线方程是 x ? ?

p ,双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的一个焦点 2

F1 (? 2 ,0) ,
∵抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的一个焦点,∴ ? 得 p?2 2.

p ? ? 2 ,解 2

20.

2 2

? n b ? ? ?1 ? b ?m?c c 【解析】设 F ? c,0 ? 关于直线 y ? x 的对称点为 Q( m, n) ,则有 ? ,解得 c ?n ? b ? m ? 2 ? 2 ?2 c
m? c3 ? 2b 2 bc 2 ? 2bc c3 ? 2b 2 bc ?22bc , n ? Q ( , ) 在 椭 圆 上 , 即 有 , 所 以 a2 a2 a2 a2 b (?c 2 2b c2) c 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 2c 2 ,所以离心率 e ? ? . 2 2 a b a 2

(c3 ? 2b2 )2 ? a4

【考点定位】1.点关于直线对称;2.椭圆的离心率. 【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率.利用点关于直线对称的关系,计算得到右焦点的 对称点,通过该点在椭圆上,代入方程,转化得到关于 a , c 的方程,由此计算离心率.本题 属于中等题。主要考查学生基本的运算能力. 21. 3
2 2 2 【解析】由题意知 c ? 2, a ? 1 , b ? c ? a ? 3 ,所以 b ? 3 .

【考点定位】双曲线的焦点. 【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质,属于容易题.解题时要注意双曲线 的焦点落在哪个轴上, 否则很容易出现错误. 解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何 性质,即双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左焦点 F 1 ? ?c,0 ? ,右焦点 F 2 ? c,0? ,其中 a 2 b2

c 2 ? b2 ? a 2 .
22.2 【解析】依题意,点 Q 为坐标原点,所以

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2

【考点定位】抛物线的性质,最值. 【名师点睛】 由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等, 所以抛物线的顶点到焦 点的距离最小.
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23.

x2 y2 ? ?1 4 4
x2 1 ? y 2 ? 1 ,所以 C1 的一条渐近线的斜率 k1 ? ,所以 C2 的一 2 4

【解析】因为 C1 的方程为

条渐近线的斜率 k 2 ? 1 ,因为双曲线 C1 、 C2 的顶点重合,即焦点都在 x 轴上,

x2 y 2 设 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , a b
所以 a ? b ? 2 ,所以 C2 的方程为

x2 y2 ? ?1. 4 4

【考点定位】双曲线的性质,直线的斜率. 【名师点睛】在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程.同 时要熟练掌握以下三方面内容: (1)已知双曲线方程,求它的渐近线; (2)求已知渐近线 的 双 曲 线 的 方 程 ; ( 3 ) 渐 近 线 的 斜 率 与 离 心 率 的 关 系 , 如

. 24. 2 ? 3

【解析】双曲线

x2 y 2 b ? 2 ? 1 的右焦点为 (c, 0) .不妨设所作直线与双曲线的渐近线 y ? x 2 a a a x2 y 2 a2 ? c2 b ( x ? c ) ,代入 2 ? 2 ? 1 求得点 P 的横坐标为 x ? ,由 a a a 2c

平行,其方程为 y ?

a2 ? c2 c c c c ? 2a ,得 ( ) 2 ? 4 ? 1 ? 0 ,解之得 ? 2 ? 3 , ? 2 ? 3 (舍去,因为离心 a a a a 2c


c ? 1) ,故双曲线的离心率为 2 ? 3 . a

【考点定位】1.双曲线的几何性质;2.直线方程. 【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程,解答本题的关键,首先是将问题进 一步具体化,即确定所作直线与哪一条渐近线平行,事实上,由双曲线的对称性可知,两种 情况下结果相同; 其次就是能对所得数学式子准确地变形, 利用函数方程思想, 求得离心率. 本题属于小综合题,也是一道能力题,在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时,考查 考生的计算能力及函数方程思想. 25. (Ⅰ)2(Ⅱ)没有 【解析】 试题分析:先确定 N (

p t2 , t ) , ON 的方程为 y ? x ,代入 y 2 ? 2 px 整理得 px2 ? 2t 2 x ? 0 , t p
答案第 9 页,总 25 页

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解得 x1 ? 0 , x2 ?

2t 2 2t 2 | OH | ,得 H ( ?2. ,2t ) ,由此可得 N 为 OH 的中点,即 | ON | p p
p x , 与 y 2 ? 2 px 联 立 得 y 2 ? 4ty ? 4t 2 ? 0 , 解 得 2t

( Ⅱ ) 把 直 线 MH 的 方 程 y ? t ?

y1 ? y2 ? 2t ,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公
共点. 试题解析: (Ⅰ)由已知得 M (0, t ) , P (

t2 ,t) . 2p

又 N 为 M 关于点 P 的对称点, 故 N (

p t2 , t ) , ON 的方程为 y ? x ,代入 y 2 ? 2 px 整理得 t p

px2 ? 2t 2 x ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ?

2t 2 2t 2 ,因此 H ( ,2t ) . p p

所以 N 为 OH 的中点,即

| OH | ? 2. | ON |

(Ⅱ)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点.理由如下: 直线 MH 的方程为 y ? t ?

p 2t x ,即 x ? ( y ? t ) .代入 y 2 ? 2 px 得 y 2 ? 4ty ? 4t 2 ? 0 ,解 2t p

得 y1 ? y2 ? 2t ,即直线 MH 与 C 只有一个公共点 ,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它 公共点. 考点:直线与抛物线 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的 位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围 等几部分组成;解析几何中的证明问题通常有以下几类:证明点共线或直线过定点;证明垂 直;证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思 想、函数思想及化归思想的应用. 26. (Ⅰ)

144 ; (Ⅱ) 49

?

3

2, 2 .

?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求直线 AM 的方程,再求点 M 的纵坐标,最后求 ?AMN 的面积; (Ⅱ) 设 M ? x1 , y1 ? , ,将直线 AM 的方程与椭圆方程组成方程组,消去 y ,用 k 表示 x1 ,从而表 示 | AM | ,同理用 k 表示 | AN | ,再由 2 AM ? AN 求 k . 试题解析: (Ⅰ)设 M ( x1 , y1 ) ,则由题意知 y1 ? 0 .
答案第 10 页,总 25 页

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由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为

? , 4

又 A(?2, 0) ,因此直线 AM 的方程为 y ? x ? 2 . 将 x ? y ? 2 代入 解得 y ? 0 或 y ?

x2 y 2 ? ? 1 得 7 y 2 ?12 y ? 0 , 4 3

12 12 ,所以 y1 ? . 7 7 1 12 12 144 ? 因此 ?AMN 的面积 S ?AMN ? 2 ? ? ? . 2 7 7 49
(2)将直线 AM 的方程 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 代入

x2 y 2 ? ? 1得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 .
由 x1 ? (?2) ?

12 1 ? k 2 16k 2 ? 12 2(3 ? 4k 2 ) 2 x ? 得 ,故 . | AM | ? 1 ? k | x ? 2 | ? 1 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 12k 1 ? k 2 1 ( x ? 2) ,故同理可得 | AN |? . k 4 ? 3k 2

由题设,直线 AN 的方程为 y ? ? 由 2 | AM |?| AN | 得
3 2

2 k 3 2 ? ,即 4k ? 6k ? 3k ? 8 ? 0 . 2 3 ? 4k 4 ? 3k 2
2 2

设 f (t ) ? 4t ? 6t ? 3t ? 8 ,则 k 是 f (t ) 的零点, f '(t ) ? 12t ?12t ? 3 ? 3(2t ?1) ? 0 , 所以 f (t ) 在 (0, ??) 单调递增,又 f ( 3) ? 15 3 ? 26 ? 0, f (2) ? 6 ? 0 , 因此 f (t ) 在 (0, ??) 有唯一的零点,且零点 k 在 ( 3, 2) 内,所以 3 ? k ? 2 . 考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】本题中

3k ? 2 k ?1 ? 2 k t ? ? 3 ,解不等式,即 ,分离变量 ,得 t ? k3 ? 2 3 ? tk 2 3k 2 ? t
2

求得实数 k 的取值范围. 27. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) y ? x ?1 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)设出与 x 轴垂直的两条直线,然后得出 A, B, P, Q, R 的坐标,然后通过证 明直线 AR 与直线 FQ 的斜率相等即可证明结果了; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点坐标

D( x1 , 0),利用面积可求得 x1 ,设出 AB 的中点 E( x, y) ,根据 AB 与 x 轴是否垂直分两种
答案第 11 页,总 25 页

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情况结合 k AB ? kDE 求解. 试题解析:由题设 F ( ,0) .设 l1 : y ? a, l2 : y ? b ,则 ab ? 0 ,且

1 2

A(

a2 b2 1 1 1 a?b ,0), B( , b), P(? , a), Q(? , b), R(? , ). 2 2 2 2 2 2

记过 A, B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2 x ? (a ? b) y ? ab ? 0 . (Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故 1 ? ab ? 0 . 记 AR 的斜率为 k1 , FQ 的斜率为 k2 ,则 k1 ? 所以 AR ? FQ . (Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D( x1 ,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b a ?b 1 ? ab ? 2 ? ? ? ?b ? k 2 , 2 1? a a ? ab a a

a ?b 1 1 1 . b ? a FD ? b ? a x1 ? , S ?PQF ? 2 2 2 2 1 1 a ?b ,所以 x1 ? 0 (舍去) , x1 ? 1 . b ? a x1 ? ? 2 2 2

由题设可得

设满足条件的 AB 的中点为 E ( x, y ) . 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k AB ? k DE 可得 而

2 y ? ( x ? 1) . a ? b x ?1

a?b ? y ,所以 y 2 ? x ? 1( x ? 1) . 2
2

当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合,所以,所求轨迹方程为 y ? x ?1 . 考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系;3、轨迹求法. 【方法归纳】 (1) 解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为 利用向量证明; (2)求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法(相关点法) ,利用 代入法求解时必须找准主动点与从动点. 28. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由

x2 y 2 6 ? ? 1 (Ⅱ) ? 4 3 4

1 1 3 c ? ? ,得 |OF | |OA| | F A|

1 1 3 c 2 2 2 2 2 ? ? 再利用 a ? c ? b ? 3 ,可解得 c ? 1 , a ? 4 (Ⅱ)先化简条件: c a a (a ? c ) ,

答案第 12 页,总 25 页

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?MOA ? ?MAO ? | MA |?| MO | ,即 M 再 OA 中垂线上, xM ? 1 再利用直线与椭圆位 ,
置关系,联立方程组求 B ;利用两直线方程组求 H,最后根据 BF ? HF ,列等量关系解出 直线斜率. 试题解析: ( 1 )解:设 F (c, 0) ,由

1 1 3c 1 1 3c ,即 ? ? ,可得 ? ? | OF | | OA | | FA | c a a (a ? c )

a 2 ? c 2 ? 3c 2 , 又 a 2 ? c2 ? b2 ?3 , 所 以 c2 ? 1 , 因 此 a 2 ? 4 , 所 以 椭 圆 的 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
(2)设直线的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 设 B( xB , yB ) ,由方程组 ? 4 消去 y , 3 ? y ? k ( x ? 2), ?
整理得 (4k ? 3) x ?16k x ? 16k ?12 ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ?
2 2 2 2

8k 2 ? 6 , 4k 2 ? 3

由题意得 xB ?

8k 2 ? 6 ?12k ,从而 yB ? , 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

由(1)知 F (1, 0) ,设 H (0, yH ) ,有 FH ? (?1, yH ) , BF ? (

????

??? ?

9 ? 4k 2 12k , ), 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

??? ? ???? 4k 2 ? 9 12kyH ? ? 0, 由 BF ? HF ,得 BF ? HF ? 0 ,所以 2 4k ? 3 4k 2 ? 3
解得 yH ?

9 ? 4k 2 1 9 ? 4k 2 ,因此直线 MH 的方程为 y ? ? x ? , 12k k 12k

? 1 9 ? 4k 2 20k 2 ? 9 , ?y ? ? x ? 设 M ( xM , yM ) ,由方程组 ? 消去 y ,得 xM ? , k 12k 12(k 2 ? 1) ? y ? k ( x ? 2), ?
在 ?MAO 中, ?MOA ? ?MAO ? | MA |?| MO | ,
2 2 2 即 ( xM ? 2)2 ? yM ,化简得 xM ? 1 ,即 ? xM ? yM

20k 2 ? 9 ? 1, 12(k 2 ? 1)

答案第 13 页,总 25 页

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解得 k ? ?

6 6 或k ? , 4 4 6 6 或k ? . 4 4

所以直线 l 的斜率为 k ? ?

考点:椭圆的标准方程和几何性质,直线方程 【名师点睛】 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题, 其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.直线与圆锥曲线 位置关系的判断、 有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的 考查,一直是高考考查的重点,特别是焦点弦和中点弦等问题,涉及中点公式、根与系数的 关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想方法的热点题型. 29. (1) y ? ? 2x . (2) ? 【解析】
2 ? 3b 4 ,解得 b2 . 试题分析: (1)设 ? ? x? , y? ? .根据 ?F 1?? 是等边三角形,得到 4 1 ? b

15 . 5

?

?

(2)设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? 与双曲线方程联立,得到一元二次方
2 2 程,根据 l 与双曲线交于两点,可得 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .由 AB ? 4 得出 k

?

?

的方程求解. 试题解析: (1)设 ? ? x? , y? ? .
2 2 2 4 2 由题意, F2 ? c,0? , c ? 1 ? b , y? ? b c ? 1 ? b ,

?

?

因为 ?F 1?? 是等边三角形,所以 2c ? 3 y? ,
2 4 2 即 4 1 ? b ? 3b ,解得 b ? 2 .

?

?

故双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2x . (2)由已知, F2 ? 2,0? . 设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? .

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 由? ,得 ? k ? 3? x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 . 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
2 2 因为 l 与双曲线交于两点,所以 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .

?

?

答案第 14 页,总 25 页

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36 ? k 2 ? 1? 4k 2 4k 2 ? 3 2 由 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 ,得 ? x1 ? x2 ? ? , 2 k ?3 k ?3 ? k 2 ? 3?
故 ?? ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

6 ? k 2 ? 1? k2 ?3

? 4,

2 解得 k ?

3 15 ,故 l 的斜率为 ? . 5 5

考点:1.双曲线的几何性质;2.直线与双曲线的位置关系;3.弦长公式. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高,是一道难题.解答此类题目,利用 a, b, c, e 的 关系,确定双曲线(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与双曲线(圆锥曲线)方程 的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系及弦长公式,得到方程.本题易错点是复杂式 子的变形能力不足,导致错漏百出. .本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能 力、分析问题解决问题的能力等. 30. (Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1 (Ⅱ)以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? , P 2 ? ?2,0? . 8 4
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2

【解析】 (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

因为椭圆的左焦点为 F , 0? ,所以 a2 ? b2 ? 4 . 1? ?2 因为点 B 2, 2 在椭圆 C 上,所以

?

?

4 2 ? 2 ? 1. 2 a b

由①②解得, a ? 2 2 , b ? 2 .所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(Ⅱ)因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 .

?

?

因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E , F , 8 4

设点 E ? x0 , y0 ? (不妨设 x0 ? 0 ) ,则点 F ? ? x0 , ? y0 ? .
? y ? kx, 2 2 2 2k ? 8 联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y 得 x2 ? .所以 x0 ? ,则 y0 ? . 2 2 ?1 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? ? 4 ?8

所以直线 AE 的方程为 y ?

k 1 ? 1 ? 2k 2

?x ? 2 2?.

因为直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N ,
答案第 15 页,总 25 页

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令x ? 0得 y ?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2

,即点 M ? 0,

? 2 2k ? 1 ? 1 ? 2k 2 ?

? ? ?. ?

同理可得点 N ? 0,

? 2 2k ? 1 ? 1 ? 2k 2 ?

? ? ?. ?

所以 MN ?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2

?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2
? ? ?

?

2 2 ?1 ? 2k 2 ? k
2? ?. k ? ?
2



设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ? 0, ?

则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? ?
2

? ?

2? ? k ? ?

? 2 ?1 ? 2k 2 ? ? ? , ?? ? ? k ? ? ? ?

2

即 x2 ? y 2 ?

2 2 y?4. k

2 令 y ? 0 ,得 x ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 .

故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? , P 2 ? ?2,0? .

31. (Ⅰ) 【解析】

2 5 (Ⅱ)详见解析. 5

(Ⅰ)解:由题设条件知,点 M ( a, b) ,又 k OM ?

2 3

1 3

b 5 5 从而 . ? 2a 10 10

进而 a ? 5b, c ?

a 2 ? b 2 ? 2b ,故 e ?

c 2 5 . ? a 5 ?a b? ? a 5b ? ,? ? ,可得 NM ? ? , ? . ? 2 2? ?6 6 ?

(Ⅱ)证:由 N 是 AC 的中点知,点 N 的坐标为 ?
2 又 AB ? ?? a, b? ,从而有 AB ? NM ? ? a ?

1 6

5 2 1 2 b ? 5b ? a 2 6 6

?

?

2 2 由(Ⅰ)得计算结果可知 a ? 5b , 所以 AB ? NM ? 0 ,故 MN ? AB .

【考点定位】本题主要考查椭圆的离心率,直线与椭圆的位置关系等基础知识. 【名师点睛】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合,同时考查了中点坐标公式, 以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法, 本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能 力.
答案第 16 页,总 25 页

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32. (Ⅰ)

6 ; (Ⅱ)1; (Ⅲ)直线 ?? 与直线 D ? 平行. 3

【解析】 试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等 基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. (Ⅰ)先将椭圆方

c 计算离心率; (Ⅱ)由直线 ?? 的特殊 a 位置,设出 ? , ? 点坐标,设出直线 ?? 的方程,由于直线 ?? 与 x ? 3 相交于 ? 点,所 以得到 ? 点坐标,利用点 ? 、点 ? 的坐标,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)分直线 ?? 的斜率
程化为标准方程,得到 a , b , c 的值,再利用 e ? 存在和不存在两种情况进行讨论,第一种情况,直接分析即可得出结论,第二种情况,先设 出直线 ?? 和直线 ?? 的方程,将椭圆方程与直线 ?? 的方程联立,消参,得到 x1 ? x2 和

x1 x2 ,代入到 kBM ? 1中,只需计算出等于 0 即可证明 kBM ? kDE ,即两直线平行.
试题解析: (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为 所以 a ? 3 , b ? 1 , c ? 所以椭圆 C 的离心率 e ?

x2 ? y 2 ? 1. 3

2.

c 6 . ? a 3

(Ⅱ)因为 ?? 过点 D(1, 0) 且垂直于 x 轴,所以可设 A(1, y1 ) , B(1, ? y1 ) . 直线 ?? 的方程为 y ?1 ? (1 ? y1 )( x ? 2) . 令 x ? 3 ,得 M (3, 2 ? y1 ) . 所以直线 ?? 的斜率 k BM ?

2 ? y1 ? y1 ?1. 3 ?1

(Ⅲ)直线 ?? 与直线 D ? 平行.证明如下: 当直线 ?? 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 kBM ? 1 . 又因为直线 D ? 的斜率 k DE ?

1? 0 ? 1,所以 BM / / DE . 2 ?1

当直线 ?? 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 1) . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则直线 ?? 的方程为 y ? 1 ?

y1 ? 1 ( x ? 2) . x1 ? 2

令 x ? 3 ,得点 M (3,

y1 ? x1 ? 3 ). x1 ? 2

答案第 17 页,总 25 页

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由?

? x2 ? 3 y 2 ? 3 ? y ? k ( x ? 1)

,得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 .

所以 x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 3 x x ? , . 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

直线 ?? 的斜率 k BM

y1 ? x1 ? 3 ? y2 x1 ? 2 . ? 3 ? x2

因为 kBM ? 1 ?

k ( x1 ? 1) ? x1 ? 3 ? k ( x1 ? 1)( x1 ? 2) ? (3 ? x2 )( x1 ? 2) (3 ? x2 )( x1 ? 2)

?

(k ? 1)[? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 3) (3 ? x2 )( x1 ? 2)

?3k 2 ? 3 12k 2 (k ? 1)[ ? ? 3) 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ? (3 ? x2 )( x1 ? 2)

? 0,
所以 kBM ? 1 ? kDE . 所以 BM / / DE . 综上可知,直线 ?? 与直线 D ? 平行. 考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系. 【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条 直线的位置关系,属于中档题.解题时一定要注意直线的斜率是否存在,否则很容易出现错 误. 解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率, 直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系,

x2 y 2 c 即椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,过 ?1 ? x1, y1 ? , ?2 ? x2 , y2 ? 的直线斜率 a a b

k?

y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) , 若 两 条 直 线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 斜 率 都 存 在 , 则 x2 ? x1

l1 //l2 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 .
33. (Ⅰ) 【解析】
2 2 试题分析: (Ⅰ) 由题通过 F 的坐标为 (0,1) , 因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点, 可得 a ? b ? 1,

y 2 x2 6 ? ?1 ; (Ⅱ) ? . 9 8 4

答案第 18 页,总 25 页

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根据 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ,C1 与 C2 都关于 y 轴对称可得 应曲线方程即可; 可得

9 6 ? 2 ? 1,然后得到对 2 4a b ???? ??? ? (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), 根据 AC ? BD ,

( x3 ? x4 )2 ? 4x3 x4 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ,设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,联
立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果. 试题解析: (Ⅰ) 由 C1 : x2 ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) , 因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点, 所以 a 2 ? b2 ? 1 ①; 又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1

的方程为 C1 : x2 ? 4 y ,由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 ( ? 6, ) , ? ②, 联立①②得 a2 ? 9, b2 ? 8 ,故 C2 的方程为

3 2

9 6 ? 2 ?1 2 4a b

y 2 x2 ? ? 1。 9 8

(Ⅱ)如图,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ),

因 AC 与 BD 同向,且 AC ? BD , 所以 AC ? BD ,从而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 ,即 x3 ? x4 ? x1 ? x2 ,于是

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

( x3 ? x4 )2 ? 4x3 x4 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2



设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 , 由?

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y
2

2 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , 由 x1 , x2 是这个方程的两根, ? x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4 ④

? y ? kx ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (9 ? 8k ) x ? 16kx ? 64 ? 0 ,而 x3 , x4 是这个方程的两根, ?1 ? ? 9 ?8
答案第 19 页,总 25 页

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x3 ? x4 ? ?

16k 64 , x3 x4 ? ? , 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2
2



将④、⑤代入③,得 16(k ? 1) ?

162 k 3 4 ? 64 162 ? 9(k 2 ? 1) 2 。即 ? 16( k ? 1) ? (9 ? 8k 2 )2 9 ? 8k 2 (9 ? 8k 2 )2
6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? 4 4

所以 (9 ? 8k 2 )2 ? 16 ? 9 ,解得 k ? ?

【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系;椭圆的性质 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法:根据条件确定关于 a,b,c 的方程 2 2 组,解出 a ,b ,从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常 规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程, 解决相关问题.涉及弦长问题利用弦长公式解决,往往会更简单. 34. (Ⅰ) 【解析】 (Ⅰ)由题意知

x2 | OQ | ? y 2 ? 1; ?2; (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ) 6 3. 4 | OP |

a 2 ? b2 3 3 1 ? ? 1, 又 ,解得 a2 ? 4, b2 ? 1 , ? 2 2 a 4b a 2
x2 ? y 2 ? 1. 4

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

(ⅰ)设 P( x0 , y0 ),

| OQ | ? ? , 由题意知 Q(?? x0 , ?? y0 ) . | OP |

x0 2 (?? x0 ) 2 (?? y0 ) 2 ? 2 x0 2 2 ? y0 ? 1. 又 ? ? 1 ,即 ( ? y0 2 ) ? 1. 因为 4 16 4 4 4
所以 ? ? 2 ,即

| OQ | ? 2. | OP |

( ⅱ ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 将 y ? kx ? m 代 入 椭 圆 E 的 方 程 , 可 得
2 (1 ? k4 x2 )?

k8m ? x

2

4m ?

,由 1 ? 6 ? ?00, 可得 m2 ? 4 ? 16k 2 ①

则 有 x1 ? x 2 ? ?

4 16k 2 ? 4 ? m2 8km 4m2 ? 16 , x x ? . | x ? x | ? . 因为直线 所 以 1 2 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

的 面 积 y ? kx ? m 与 y 轴 交 点 的 坐 标 为 (0, m) , 所 以 ?O A B

答案第 20 页,总 25 页

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S?

1 2 | m | 16k 2 ? 4 ? m2 2 (16k 2 ? 4 ? m2 )m2 | m || x1 ? x2 |? ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 m2 m2 ) . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
y ? k? x
代 m入 椭 圆

? 2 (4 ?



m2 ? t. 将 直 线 1 ? 4k 2

C

的 方 程 , 可 得

( ? 1 k 2 4 x2 ? )

k 8 m? x

2

,由? ?4 ? 0, 可得 4 ? m 0 m2 ? 1 ? 4k 2 ②

2 由①②可知 0 ? t ? 1, S ? 2 (4 ? t )t ? 2 ?t ? 4t . 故 S ? 2 3 .

2 2 当且仅当 t ? 1 ,即 m ? 1 ? 4k 时取得最大值 2 3.

由(Ⅰ)知, ?ABQ 的面积为 3S ,所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3. 【考点定位】1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.距离与三 角形面积;4.转化与化归思想. 【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三 角形面积、 二次函数的性质等, 解答本题的主要困难是 (Ⅱ) 中两小题, 首先是通过研究 P, Q 的坐标关系,使(Ⅰ)得解,同时为解答(Ⅱ)提供简化基础,即认识到 ?ABQ 与 ?OAB 的面积关系,从而将问题转化成研究 ?OAB 面积的最大值.通过联立直线方程、椭圆方程, 并应用韦达定理确定“弦长” ,进一步确定三角形面积表达式,对考生复杂式子的变形能力 及逻辑思维能力要求较高. 本题是一道能力题,属于难题.在考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关 系、距离与三角形面积、二次函数的性质等基础知识的同时,考查考生的计算能力及转化与 化归思想.本题梯度设计较好,层层把关,有较强的区分度,有利于优生的选拔. 35. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由题意知

x2 ? y 2 ? 1 ; (Ⅱ)证明见解析.①②③ 2

c 2 ? , b ? 1 ,由 a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2 ,继而得椭圆的 a 2

方程为

x2 ? y2 ? 1 ; 2

( Ⅱ ) 设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , 则 x1 x2 ? 0 , 由 题 设 知 , 直 线 PQ 的 方 程 为

y ? k( x? 1 ) ? 1 ( k? 2) ,





x2 ? y2 ? 1 2









答案第 21 页,总 25 页

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(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k (k ? 2) ①, x1 x2 ? ②, 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

由已知 ? ? 0 , 从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和 k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ? x1 x2

化简得 k AP ? k AQ ? 2k ? (2 ? k )

x1 ? x2 ,把①②式代入方程得 k AP ? kAQ ? 2 . x1 x2

试题解析: (Ⅰ)由题意知

c 2 ? , b ? 1 ,综合 a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2 ,所以,椭圆 a 2

的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2 x2 ? y 2 ? 1 ,得 2

(Ⅱ)由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,代入

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,
由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和

k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1

?1 1? x ?x ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 2 x1 x2 ? x1 x2 ?
? 2k ? ? 2 ? k ? 4k (k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)

【考点定位】1.椭圆的标准方程;2.圆锥曲线的定值问题. 【名师点睛】定值问题的处理常见的方法: (1)通过考查极端位置,探索出“定值”是多少, 然后再进行一般性的证明或计算, 即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式, 证 明该式是恒定的,如果以客观题形式出现,特殊方法往往比较快速奏效; (2)进行一般计算 推理求出其结果.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x2 y 2 ? ? 1 (Ⅱ)存在常数 λ =-1,使得 OA ? OB ? ? PA ? PB 为定值-3 36. (Ⅰ) 4 2
【解析】 (Ⅰ)由已知,点 C,D 的坐标分别为(0,-b) , (0,b) 又点 P 的坐标为(0,1) ,且 PC ? PD =-1
答案第 22 页,总 25 页

??? ? ??? ?

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?1 ? b 2 ? ?1 ? 2 ?c 于是 ? ? ,解得 a=2,b= 2 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
所以椭圆 E 方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(Ⅱ)当直线 AB 斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1 A,B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2)

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 联立 ? 4 ,得(2k +1)x +4kx-2=0 2 ? y ? kx ? 1 ?
其判别式△=(4k) +8(2k +1)>0 所以 x1 ? x2 ? ?
2 2

4k 2 , x1 x2 ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
??? ? ??? ?
2

从而 OA ? OB ? ? PA ? PB =x1x2+y1y2+λ [x1x2+(y1-1) (y2-1)] =(1+λ ) (1+k )x1x2+k(x1+x2)+1 =

??? ? ??? ?

(?2? ? 4)k 2 ? (?2? ? 1) 2k 2 ? 1

=-

? ?1
2k 2 ? 1

?? ?2

所以,当 λ =1 时,-

? ?1
2k 2 ? 1

? ? ? 2 =-3

此时, OA ? OB ? ? PA ? PB =-3 为定值 当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD 此时 OA ? OB ? ? PA ? PB ? OC ? OD ? PC ? PD =-2-1=-3 故存在常数 λ =-1,使得 OA ? OB ? ? PA ? PB 为定值-3. 【考点定位】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 【名师点睛】本题属于解析几何的基本题型,第(Ⅰ)问根据“离心率是

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 2 ,且 PC ? PD 2

=-1”建立方程组可以求出椭圆方程;第(Ⅱ)问设出直线方程后,代入椭圆方程,利用
答案第 23 页,总 25 页

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目标方程法,结合韦达定理,得到两交点横坐标的和与积,再代入 OA ? OB ? ? PA ? PB 中化 简整理.要得到定值,只需判断有无合适的 λ ,使得结论与 k 无关即可,对考生代数式恒 等变形能力要求较高.属于较难题. 37. (1)详见解析; ( 2) k ? ? 1 或 k ? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 1 ; (3) m ? ? . 2 5

【解析】 (1)直线 l1 的方程为 y1 x ? x1 y ? 0 , 由点到直线的距离公式得点 C 到 l1 的距离为 d ?

| y1 x2 ? x2 y1 | x12 ? y12



因为 | OA |? 所以 S ?

x12 ? y12 ,

1 1 | OA | ?d ? | x1 y2 ? x2 y1 | . 2 2
,消去 y 解得 x 2 ? 1

(2)由 ?

? y ? kx
2 2 ?x ? 2 y ? 1

1 , 1 ? 2k 2

由(1)得 S ?

1 1 3 3 3 | k ?1 | | x1 y2 ? x2 y1 |? | x1 ? kx1 |? 2 2 3 3 6 1 ? 2k 2

由题意知

1 ? , 6 1 ? 2k 2 3

3 | k ?1 |

解得 k ? ?1 或 k ? ?

1 . 5
m x ,设 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) , k

(3)设 l1 : y ? kx ,则 l2 : y ? 由?

? y ? kx
2 2 ?x ? 2 y ? 1

2 ,的 x1 ?

1 , 1 ? 2k 2

同理 x2 ?
2

1 m 1 ? 2( ) 2 k

?

k2 , k 2 ? 2m 2

由(1)知, S ?

1 1 x ?mx 1 | k2 ? m| 1 | x1 y2 ? x2 y1 |? | 1 ? x2 ? kx1 |? ? ? | x1 x2 | 2 2 k 2 |k|
答案第 24 页,总 25 页

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?

| k2 ? m| 2 1 ? 2k 2 ? k 2 ? 2m2



整理得 (8S 2 ?1)k 4 ? (4S 2 ? 16S 2m2 ? 2m)k 2 ? (8S 2 ?1)m2 ? 0 , 由题意知 S 与 k 无关,

? 2 1 S ? 2 ? ? 8 S ? 1 ? 0 ? ? 8 则? 2 ,解得 . ? 2 2 1 ? 4 S ? 16 S m ? 2 m ? 0 ?m ? ? ? ? 2 ?
所以 m ? ?

1 . 2

【考点定位】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】 直线与圆锥曲线位置关系的判断、 有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函 数方程思想和数形结合思想的考查, 一直是高考考查的重点, 特别是焦点弦和中点弦等问题, 涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想 方法的热点题型.当直线(斜率为 k)与圆锥曲线交于点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)时,则 ,而 |x1 - x2| = ,可根据直 线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之 和、两根之积的代数式,然后再进行整体代入求解.

答案第 25 页,总 25 页


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