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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1精要课件 抛物线的标准方程


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2.4.1

2.4.1
【学习要求】
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抛物线的标准方程

1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线的方程. 【学法指导】 通过抛物线的形成过程,得出抛物线定义,建系得出抛物线标 准方程.通过抛物线及其标准方程的应用,体会抛物线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.4.1

1.抛物线的定义 平 面 内 与 一 个 定 点 F 和 一 条 定 直 线 l(l 不 经 过 点
本 距离相等 F)_______________的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线 专 题 准线 焦点 的________,直线 l 叫做抛物线的________. 栏 目 2.抛物线标准方程的几种形式 开 关 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

y2=2px (p>0)

p ( ,0) 2

p x=- 2

填一填·知识要点、记下疑难点

2.4.1

y2=-2px (p>0)
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p (- ,0) 2
p (0, ) 2

p x= 2 p y=- 2

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

p (0,- ) 2

p y= 2

研一研·问题探究、课堂更高效

2.4.1

探究点一 抛物线定义 如图,我们在黑板上画一条直线 EF,然后取
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一个三角板,将一条拉链 AB 固定在三角板 的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端 固定在 C 点,将三角板的另一条直角边贴在 直线 EF 上,在拉锁 D 处放置一支粉笔,上 下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线.

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问题 1 画出的曲线是什么形状?

2.4.1

答案 抛物线.
问题 2
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|DA|是点 D 到直线 EF 的距离吗?为什么?

答案 是.AB 是直角三角形的一条直角边. 问题 3 点 D 在移动过程中,满足什么条件? 答案 |DA|=|DC|.

小结 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距 离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点, 直线 l 叫做抛物线的准线.

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问题 4 以?
答案
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2.4.1

在抛物线定义中,条件“l 不经过点 F”去掉是否可
在抛物线的定义中,定点 F 不能在直线 l 上,否则,

动点 M 的轨迹就不是抛物线,而是过点 F 垂直于直线 l 的一 条直线.如到点 F(1,0)与到直线 l:x+y-1=0 的距离相等的 点的轨迹方程为 x-y-1=0,轨迹为过点 F 且与直线 l 垂直 的一条直线.

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2.4.1

例 1 方程 2[?x+3? 2+?y-1?2]=|x-y+3|表示的曲线是 ( D )
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D.抛物线 |x-y+3| 2 2 解析 原方程变形为 ?x+3? +?y-1? = , 它表示点 2
M(x,y)与点 F(-3,1)的距离等于点 M 到直线 x-y+3=0 的 距离. 根据抛物线的定义,知此方程表示的曲线是抛物线.

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

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2.4.1

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小结

根据式子的几何意义,利用抛物线的定义,可确定点

的轨迹.注意定义中“点 F 不在直线 l 上”这个条件.

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2.4.1

跟踪训练 1 (1)若动点 P 与定点 F(1,1)和直线 l:3x+y-4=0 的距离相等,则动点 P 的轨迹是 A.椭圆
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( D ) D.直线

B.双曲线

C.抛物线

解析

设动点 P 的坐标为(x,y). |3x+y-4| 2 2 则 ?x-1? +?y-1? = . 10 整理,得 x2+9y2+4x-12y-6xy+4=0, 即(x-3y+2)2=0,∴x-3y+2=0. 所以动点 P 的轨迹为直线.

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2.4.1

(2)若动圆与圆(x-2)2+y2=1 相外切,又与直线 x+1=0 相 切,则动圆圆心的轨迹是 A.椭圆
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( D )

B.双曲线 D.抛物线

C.双曲线的一支
解析

动圆与定圆相外切,则两圆的圆心距为两圆的半径之

和,动圆与直线相切,则动圆圆心到直线的距离等于动圆的半 径,设动圆圆心为 M,半径为 r,动圆与圆(x-2)2+y2=1 相外 切,则点 M 到定点(2,0)的距离为 r+1,动圆与直线 x=-1 相 切, 则点 M 到定直线 x=-1 的距离是 r, 所以点 M 到定点(2,0) 和定直线 x=-2 的距离相等,故轨迹为抛物线.

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探究点二 问题 1 抛物线的标准方程

2.4.1

结合求曲线方程的步骤,怎样求抛物线的标准方程?

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答案 (1)建系:建立直角坐标系如图所示, ?p ? 设|KF|=p (p>0), 那么焦点 F 的坐标为? ,0?, ?2 ? p 准线 l 的方程为 x=-2.
(2)设点:设抛物线上的任一点 M(x,y). (3)列式:由|MF|=|MH| ? p?2 2 ? p? 得 ?x-2? +y =?x+2?. ? ? ? ? (4)化简:得 y2=2px (p>0)就是抛物线的标准方程.

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2.4.1

问题 2

抛物线方程中 p 有何意义?标准方程有几种类型?

答案 p 是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线的标准方程有四种类型:
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①焦点在 x 轴的正半轴上,其标准方程为 y2=2px (p>0);
②焦点在 x 轴的负半轴上,其标准方程为 y2=-2px (p>0); ③焦点在 y 轴的正半轴上,其标准方程为 x2=2py (p>0); ④焦点在 y 轴的负半轴上,其标准方程为 x2=-2py (p>0).

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2.4.1

例 2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程. (1)y2=-6x;(2)3x2+5y=0; (3)y=4x2;(4)y2=a2x (a≠0).
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解 (1)由方程 y2=-6x 知抛物线开口向左,2p=6,p=3, ? 3 ? p 3 3 ?- ,0?,准线方程为 x= . = ,所以焦点坐标为 2 2 2 ? 2 ?
5 (2)将 3x +5y=0 变形为 x =-3y,可知抛物线开口向下, 5 5 p 5 2p=3,p=6,2=12, ? 5? 5 ?0,- ?,准线方程是 y= . 所以焦点坐标是 12? 12 ?
2 2

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研一研·问题探究、课堂更高效 1 2 2 (3)将 y=4x 化为 x = y,知抛物线开口向上, 4 1 1 p 1 2p= ,p= , = , 4 8 2 16 ? 1? 1 ?0, ? ,准线方程是 y=- . 故焦点坐标是 16? 16 ?

2.4.1

a2 (4)由方程 y2=a2x (a≠0)知抛物线开口向右, 2p=a2, 2 , p= ?a2 ? p a2 a2 = 4 ,故焦点坐标是? 4 ,0?,准线方程是 x=- 4 . 2 ? ? 小结 如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准 线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次 项的变量若为 x(或 y),则 x 轴(或 y 轴)是抛物线的对称轴, 一次项系数的符号决定开口方向.

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2.4.1

跟踪训练 2 (1)抛物线方程为 7x+4y2=0,则焦点坐标为
?7 ? A.? ,0? ?16 ? ? ? 7 C.?- ,0? ? 16 ? ? 7 ? B.?- ,0? ? 4 ? ? 7? D.?0,- ? 4? ?
2

( C )

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7 7 解析 方程化为 y =- x,抛物线开口向左,2p= , 4 4 ? ? p 7 7 = ,故焦点坐标为?- ,0?. 2 16 ? 16 ?

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1 2 (2)抛物线 y=- x 的准线方程是 4 1 A.x= B.x=1 16 C.y=1
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2.4.1

( C )

D.y=2
2

解析

p 方程可化为 x =-4y,开口向下,2p=4, =1,故准线 2

方程为 y=1.

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2.4.1

例 3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)准线方程为 2y+4=0; (2)过点(3,-4);
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(3)焦点在直线 x+3y+15=0 上.
解 (1)准线方程为 2y+4=0,即 y=-2,故抛物线焦点在 p 2 y 轴的正半轴上,设其方程为 x =2py (p>0),又2=2, 所以 2p=8,故抛物线方程为 x2=8y.

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2.4.1

(2)方法一

∵点(3,-4)在第四象限,∴设抛物线的标准方程

为 y2=2px (p>0)或 x2=-2p1y (p1>0).
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把点(3,-4)分别代入 y2=2px 和 x2=-2p1y, 得(-4)2=2p· 2=-2p1· 3,3 (-4), 16 9 即 2p= ,2p1= . 3 4 16 9 2 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y = x 或 x =- y. 3 4

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方法二

2.4.1

∵点(3,-4)在第四象限,∴抛物线的方程可设为 y2

=ax (a≠0)或 x2=by (b≠0). 16 9 把点(3,-4)分别代入,可得 a= ,b=- . 3 4 16 9 2 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y = x 或 x =- y. 3 4

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(3)令 x=0 得 y=-5;令 y=0 得 x=-15. ∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为 x2=-20y 或 y2=-60x.

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2.4.1

小结

求抛物线方程的主要步骤都是先定位,即根据题中条件

确定抛物线的焦点位置;后定量,即求出方程中的 p 值,从而 求出方程.
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常用方法有两种: (1)定义法:先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义,进而 求出方程. (2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定 参数值.

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2.4.1

跟踪训练 3 (1)经过点 P(4,-2)的抛物线的标准方程为( C ) A.y2=x 或 x2=y C.x2=-8y 或 y2=x
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B.y2=x 或 x2=8y D.x2=y 或 y2=-8x

解析 ∵点 P(4,-2)在第四象限 ∴抛物线的标准方程为 y2=2p1x (p>0)或 x2=-2p2y (p2>0). 将点 P(4,-2)代入方程,得(-2)2=8p1 或 42=4p2, 1 ∴p1= 或 p2=4, 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y2=x 或 x2=-8y.

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2.4.1

(2)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点 F 的距离为 5,求 m 的值、抛物线方程及其 准线方程.
设所求抛物线方程为 x2=-2py (p>0),则焦点 ? 专 p? 题 F 的坐标为 ?0,- ?. 2? ? 栏
本 解

方法一

目 开 关

因为 M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5, ?m2=6p, ? ? 故? p?2 2 ? m +?-3+2? =5, ? ? ? y=2.
?p=4, ? 解得? ?m=± 2 ?

6.

所以所求的抛物线方程为 x2=-8y,m=± 6,准线方程为 2

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2.4.1

方法二

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如图所示,设所求的抛物线方程为 ? p? 2 x =-2py (p>0),则焦点 F?0,- ?,准线 l: 2? ? p p y= ,又|MF|=5,由定义知 3+ =5,所以 2 2 p=4. 所以所求的抛物线方程为 x2=-8y,准线方程为 y=2. 由 m2=-8×(-3),得 m=± 6. 2

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探究点三 抛物线定义的应用
?1 ? F? ,0?的距离比它到 ?2 ?

2.4.1

例 4 已知点 A(3,2),点 M 到 1 大 . 2 (1)求点 M 的轨迹方程;

y 轴的距离

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(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时 点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

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2.4.1

本 专 题 栏 目 开 关

1 解 (1)由于动点 M 到 y 轴的距离大 ,所 2 ?1 ? 1 以动点 M 到 F? ,0 ?的距离与它到直线 l:x=- 的距离相等, 2 ?2 ? 由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛 p 1 2 物线, 其方程应为 y =2px (p>0)的形式, = , 而 ∴p=1,2p=2, 2 2 故轨迹方程为 y2=2x.

?1 ? F? ,0?的距离比它到 ?2 ?

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2.4.1

(2)如图,由于点 M 在抛物线上,所以|MF|等于 点 M 到其准线 l 的距离|MN|,于是|MA|+|MF|
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=|MA|+|MN|,所以当 A、M、N 三点共线时, |MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小 值, 这时 M 的纵坐标为 2, 可设 M(x0,2)代入抛物 线方程得 x0=2,即 M(2,2).

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2.4.1

小结

(1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用.本题利用抛

物线的定义求出点的轨迹方程,又利用抛物线的定义,“化曲
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折为平直”,将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得 最小值,这是平面几何性质的典型运用. (2)通过利用抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到 准线的距离进行转化,从而简化问题的求解过程.在解决抛物 线问题时,一定要善于利用其定义解题.

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2.4.1

跟踪训练 4 (1)抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1, 则点 M 的纵坐标是 17 15 7 A. B. C. 16 16 8
2

( B ) D.0

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1 1 解析 抛物线方程化为 x =4y,准线为 y=- 16,由于点 M 到焦点距离为 1,所以 M 到准线距离也为 1,所以 M 点的纵 1 15 坐标等于 1-16=16.

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2.4.1

(2)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是 ( A ) 17 9 A. B.3 C. 5 D. 2 2 解析 如图,由抛物线的定义知,点 P 到准线 1 x=- 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离.因此 2 点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和 可转化为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到点 F 的 ?1 ? 距离之和,其最小值为点 M(0,2)到点 F? ,0?的距离,则距离 ?2 ? 1 17 之和的最小值为 4+4 = 2 .

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练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.4.1

1.已知抛物线的准线方程为 x=-7,则抛物线的标准方程 为
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( B ) B.y2=28x D.x2=28y

A.x2=-28y C.y2=-28x

解析 抛物线开口向右,方程为 y2=2px (p>0)的形式, p 又 =7,所以 2p=28,方程为 y2=28x. 2

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2

2.4.1

p 2.抛物线 y =2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a> ),则 2 点 M 的横坐标是 p p A.a+ B.a- 2 2 C.a+p D.a-p ( B )

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解析 由抛物线的定义知:点 M 到焦点的距离 a 等于点 M p 到抛物线的准线 x=-2的距离,所以点 M 的横坐标即点 M p 到 y 轴的距离为 a-2.

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2.4.1

3.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2 =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 ( A )
本 专 题 栏 目 开 关

11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 解析 如图所示,动点 P 到 l2:x=-1

的距离可转化为 PF 的距离,由图可知, 距离和的最小值即 F 到直线 l1 的距离 d |4+6| = 2 2=2. ?-3? +4

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2.4.1

4.焦点在 y 轴上,且过点 A(1,-4)的抛物线的标准方程是 __________.
设抛物线的标准方程为 x2=my (m≠0),将 A(1, 1 1 2 -4)代入得 m=-4,故抛物线的标准方程为 x =-4y. 1 2 答案 x =- y 4 解析

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2.4.1

1.抛物线的定义中不要忽略条件:点 F 不在直线 l 上. 2.确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一个参数 p,
本 专 题 栏 目 开 关

但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向, 当开口方向不确定时,应进行分类讨论.有时也可设标准 方程的统一形式,避免讨论,如焦点在 x 轴上的抛物线标 准方程可设为 y2=2mx (m≠0),焦点在 y 轴上的抛物线标 准方程可设为 x2=2my (m≠0).


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