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2011届重庆市部分重点中学高三年级十二月诊断考试理科数学试题


心之所向,所向披靡 心之所向,所向披靡

2011 届重庆市部分重点中学高三年级十二月诊断考试 理 科 数 学 试 卷
本试卷共 150 分,考试用时 120 分钟 注意事项: 1.本卷 1-10 题为选择题,共 50 分;11-21 题为非选择题,共 100 分,全卷共 4 页,考试结束,监考 人员将试题卷和答题卷一并收回. 2.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置,并将 准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置. 3.选择题的作答:选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效. 4.非选择题的作答:用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答 在指定区域外无效. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题 目要求的. 1.已知全集 U ? x x ? 0 ,集合 A ? x x ? 1 ,则 CU A 等于( D ) A. x 0 ? x ? 1

?

?

?

?

?

?

B. x x ? 1

?

?

C. x x ? 1

?

?

D. x 0 ? x ? 1

?

?

x ? ?2 ? 1, x ? 1, 2.已知函数 f ( x) = ? 若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a =( C ) 2 x ? ax x ? 1 , ? , ? 1 4 A. B. C. 2 D. 9 2 5 ? 3.已知函数 y ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0,| ? |? )的部分图象如图所示,则( C ) 2 ? ? A. ? ? 1, ? ? B. ? ? 1, ? ? ? 6 6 ? ? C. ? ? 2, ? ? ? D. ? ? 2, ? ? 6 6

4.对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是( D ) A. z ? z ? 2 y B. z ? x ? y
2 2 2

C. z ? z ? 2 x

D. z ? x ? y

5.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题: ①若 m ? n , m ? ? ,则 n // ? ; ②若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ③若 m ? ? , ? ? ? ,则 m // ? ; ④若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? . 其中正确命题的个数是( B )
高三理科数学试卷 第 1 页 共 7 页

A.0 6.双曲线

B.1
2 2

C.2

D.3

x y ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角为 30? 的直线交双曲线的 2 a b 右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( C )
A. 6 B. 2 C. 3 D.

3 3

7.从 5 名男生、4 名女生中选 3 名学生组成一个学习小组,要求其中男、女生都有,则不同的分组方案共 有( A ) A.70 种 B. 80 种 C. 100 种 D.140 种 8.已知 ?an ? 是等比数列,如果该数列中有连续三项的积为 1,那么该三项的和的取值范围是( A ) A. ?? ?,?1? ? ?3,??? C. ?? ?,?3? ? ?3,??? D. ?? ?,?1? B. ?3,??? C D B A

9.如图,已知电路中 A、B、C、D 4 个开关闭合的概率都是 A.

1 ,且相互独立,则灯亮的概率为( B ) 2

7 8

B.

13 16

C.

3 16

D.

1 8

10.如图,在山脚下 A 测得山顶 P 的仰角为 ? ,沿倾斜角为 ? 的斜坡向上走 a 米到达 B,在 B 处测得山 顶 P 的仰角为 ? ,那么,山高 PQ 为 ( B ) A.

a sin ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ?
a sin ?? ? ? ?sin ?? ? ? ? sin ?

B.

a sin ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? a sin ?? ? ? ?sin ?? ? ? ? sin ?

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空 的题,其答案按先后次序填写. 11.在 ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ? ? ?1 ? x? 的展开式中,含 x 项的系数是
3 4 8
2

.(用数字作答)答:83

?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 2 2 12.已知 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 x ? y 取得最小值是 ?3 x ? y ? 3 ? 0, ?
13.已知 lim

.答:

4 5

x2 ? m x? 2 ? n ,则 m ? n ? x ??2 x?2

.答:2

14.若向量 a ? ?x,2x?, b ? ?? 3x,2? ,且 a , b 的夹角是钝角,则 x 的取值范围是__________. 答: ? ??, ? ?

? ?

1? ? 1 ? ? 4 ? ? ? , 0 ? ? , ?? ? 3? ? 3 ? ? 3 ?
高三理科数学试卷 第 2 页 共 7 页

15.一个总体共有 600 个个体,随机编号为 001,002,… ,600.现采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 个个体分三组,从 001 到 300 在第 1 组,从 301 到 495 在第 2 组,从 496 到 600 在第 3 组.则这三组被抽中的个数依次为 .答:25,17,8 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 设函数 f ?x? ? 2 3 sin ?x cos?x ? 2 cos2 ?x ? 1 ( ?>0 ) ,且以 2? 为最小正周期. (Ⅰ)求 f ?x ? 的解析式,并求当 x∈[ (Ⅱ)若 f ( x ?
w_w w

?
6



?
3

]时,f (x)的取值范围;

?

6 ) ? ,求 cos x 的值. 6 5

2 解: (Ⅰ) f ? x ? ? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2 cos ? x ? 1 ? 3 sin 2? x ? cos 2? x

?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? .………………………………………………………2 分 6? ?
? T ? 2? ,? ? ?


1 ?? ? .? f ?x ? ? 2 sin ? x ? ? .……… ……………………………………4 分 2 6? ?
?
3
≤x+

?
6

≤x≤

?
3

,得

?
6



?
2

,于是 3 ≤ f ( x) ≤2.

即 f (x)的取值范围为[ 3 ,2] . ………… ……………………………………8 分

? ? ? 6 3 (Ⅱ)∵ f ( x ? ) ? 2 sin(x ? ? ) ? ,即 sin x ? .…………………………10 分 6 6 6 5 5 4 ∴ cos x ? ? 1 ? sin2 x ? ? . …………………………………………………13 分 5
17. (本小题满分 13 分) 某车间在两天内,每天生产 10 件某产品,其中第一天、第二天分别生产出了 1 件、2 件次品.而质检 部门每天要从生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过. (Ⅰ)求第一天产品通过检查的概率; (Ⅱ)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得 0 分;通过 1 天、2 天分别得 1 分、 2 分.求该车间这两天的所得分 ? 的数学期望. 解: (Ⅰ)∵随意抽取 4 件产品检查是随机事件,而第一天有 9 件正品. ∴第一天通过检查的概率为 P 1 ?

C94 3 ? . ………………………………………………4 分 4 5 C10

(Ⅱ)两天的所得分 ? 的可取值分别为 0,1,2. ………………………………………5 分

C84 1 第二天通过检查的概率为 P2 ? 4 ? ,………………………………………………………7 分 C10 3
2 2 4 3 2 1 2 8 3 1 1 ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? , P (? ? 2) ? ? ? .…………10 分 5 3 15 5 3 3 5 15 5 3 5 4 8 1 14 ? 1 ? ? 2 ? ? . …………………………………………………………13 分 ∴ E? ? 0 ? 15 15 5 15
∵ P(? ? 0) ?
高三理科数学试卷 第 3 页 共 7 页

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AB ? 5 ,AA1=3,点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥BC1; (Ⅱ)求二面角 D ? CB1 ? B 的大小. 解: (Ⅰ)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,

AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,∴ AC⊥BC,………………………2 分
又 AC⊥ C1C ,且 BC

C1C ? C ,

∴ AC⊥平面 BCC1 ,又 BC1 ? 平面 BCC1 , …………………………………4 分 ∴ AC⊥BC1 .…………………………………………………………5 分 (Ⅱ)取 BC 中点 E ,过 D 作 DF ? B1C 于 F ,连接 EF .
C1 B1

D 是 AB 中点,∴ DE / / AC .
又 AC ? 平面 BB1C1C 又 , ∴ DE ? 平面 BB1C1C .

A1 F C D A E B

DF ? B1C ,∴ EF ? B1C .

∴ ? EFD 是二面角 D ? B1C ? B 的平面角.…………………………………………………8 分 在 ?DEF 中,求得 DE ? ∴ tan ?EFD ?

3 3? 4 6 ? . , EF ? 2 5? 2 5

DE 5 ? . EF 4
5 . …………………………………………13 分 4

∴二面角 D ? B1C ? B 的大小为 arctan 19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

? 2? x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F 点 P ? 1, ? 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0? , 2 ? ? 在这个椭圆上. a b ? 2 ?

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

M 、N 两点, (Ⅱ)过点 F ,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程. 1 的直线 l 与该椭圆交于

? 2? 解: (Ⅰ)由已知得, PF1 ? PF2 ? ?1 ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?
2

2

? 2? 9 2 . ?1 ?1? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ?2 2 ? ?
2

2

?2a ? 2 2, a ? 2, c ? 1,?b ? 1 .
∴所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1.……………………………………………………………………4 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 F1 ?? 1,0? .
高三理科数学试卷 第 4 页 共 7 页

当直线 l 的斜率不存在时,线段 MN 的中点为 F1 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) , P?x, y ?.

? y ? k ( x ? 1) ? 联立 ? x 2 ,消元得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 .………………………………8 分 2 ? ? y ?1 ?2
∴ x1 ? x 2 ?

2k ? 4k 2 .从而 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? . 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

? ? 2k 2 x ? , ? 2 ? 1 ? 2 k ?? ?y ? k . ? 1 ? 2k 2 ?
当 k ? 0 时,中点 P 就是原点.

k ? 0 时, x ? 0 且 y ? 0 .
则k ? ?

k x , 得y ?x 2 ? 2 y 2 ? x ? ? 0 . ,代入 y ? 2 1 ? 2k 2y

因为 y ? 0 ,所以 x 2 ? 2 y 2 ? x ? 0 . 所以,所求轨迹方程为 x 2 ? 2 y 2 ? x ? 0 .……………………………………………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 汉诺塔问题是指有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的碟片.按下列规则, 把碟片从一根杆子 上全部移到另一根杆子上. 1.每次只能移动 1 个碟片; 2.较大的碟片不能放在较小的碟片上面. 如图所示,将 B 杆上所有碟片移到 A 杆上,C 杆可以作为过渡杆使用,称将碟片从一个杆子移动到另 一个杆子为移动一次,记将 B 杆子上的 n 个碟片移动到 A 杆上最少需要移动 an 次. (Ⅰ)写出 a1 , a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 设 bn ?

1 a n?1

?

1 , 数列 ?bn ? a n a n?1

A

B

C

的前 n 项和为 S n ,证明

2 ? S n ? 1. 3 解: (Ⅰ) a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 7 , a4 ? 15 .…………………………………………4 分
下面用数学归纳法证明如下:
高三理科数学试卷 第 5 页 共 7 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)推测数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 n ? 1 .…………………………………………6 分

①当 n ? 1 时,从 B 杆移到 A 杆上只有一种方法,即 a1 ? 1 ,这时 an ? 1 ? 21 ? 1 成立; ②假设当 n ? k ?k ? 1? 时, ak ? 2k ? 1 成立. 则当 n ? k ? 1 时,将 B 杆上的 k ? 1 个碟片看做由 k 个碟片和最底层 1 张碟片组成的,由假设可知, 将 B 杆上的 k 个碟片移到 C 杆上有 ak ? 2 k ? 1 种方法,再将最底层 1 张碟片移到 A 杆上有 1 种移法, 最后将 C 杆上的 k 个碟片移到 A 杆上(此时底层有一张最大的碟片)又有 ak ? 2 k ? 1 种移动方法, 故从 B 杆上的 k ? 1 个碟片移到 A 杆上共有 种移动方法. 所以当 n ? k ? 1 时 an ? 2n ? 1 成立. 由①②可知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2 n ? 1 .……………………………………………………8 分 (也可由递推式 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1 n ? N ? , N ? 1 ,构造等比数列 an ?1 ? 2 ? an?1 ?1? 求解) (Ⅲ)由(Ⅱ)可知, an ? 2 n ? 1 , 所以 bn ?

ak ?1 ? ak ? 1 ? ak ? 2ak ? 1 ? 2?2k ? 1? ? 1 ? 2k ?1 ? 1

?

?

a ?1 1 1 ? ? n an?1 an an?1 an an?1

=

?

2n 2 n?1 ? 1 ? 2 n ? 1 1 1 .………………………………10 分 ? ? n ? n?1 n n ?1 n n ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

??

? ?

?

? ? ??

?

?

S n = b1 ? b2 ? ? ? bn
1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? n?1 ? ? +? 2 ? +…+ ? n 1 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? 1 = 1 ? n ?1 .…………………………………………………………………………11 分 2 ?1 1 1 2 ? . 因为函数 f ? x ? ? 1 ? 1? x 在区间 ?1,??? 上是增函数,? ?S n ?min ? 1 ? 1?1 2 ?1 2 ?1 3 1 ? ? 又 lim S n ? lim ?1 ? 1? n ? ? 1 ,? S n ? 1.……………………………………12 分 n??? n??? ? 2 ?1? 2 所以 ? S n ? 1 .……………………………………………………………………12 分 3
=? 21.(本小题满分 12 分) 已知定义在 (0, ??) 上的两个函数 f ?x? ? x 2 ? a ln x, g ?x? ? x ? a x ,且 f ?x ? 在 x ? 1 处取得极值. (Ⅰ)求 a 的值及函数 g ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 1 ? x ? e2 时,恒有 x ?

(Ⅲ)把 g ?x ? 对应的曲线向上平移 6 个单位后得曲线 C1,求 C2 与 f ?x ? 对应曲线 C2 的交点个数,并 说明理由. 解: (Ⅰ)? f


2 ? ln x 成立; 2 ? ln x

? x ? ? 2x ?

? g ?x ? ? x ? 2 x . 1 1 ’ ? 0 ? 0 ? x ? 1, g’? x ? ? 1 ? ? 0 ? x ? 1, 由 g ? x? ? 1? x x
高三理科数学试卷

a ,? f ??1? ? 2 ? a ? 0 ,? a ? 2 .……………………………………2 分 x

第 6 页 共 7 页

? g ?x ? 的单调减区间是 ? 0,1? ,单调增区间是 ?1, ?? ? .…………………………………………4 分
(Ⅱ)∵ 1 ? x ? e2 ,∴ 0 ? ln x ? 2 ,∴ 2 ? ln x ? 0 .

2 ? ln x 2( x ? 1) ,只需证明 2 x ? x ln x ? 2 ? ln x ,即只需证 ln x ? . x ?1 2 ? ln x 2 2? x ? 1? ? x ? 1? 记 h? x ? ? ln x ? ,则 h??x ? ? . 2 x ?1 x?x ? 1? 当 x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,∴ h?x ? 在 (1, ??) 上是增函数,
欲证 x ? ∴ h?x? ? h?1? ? 0 ,∴ h?x ? ? 0 ,即 ln x ? ∴ ln x ?

(Ⅲ)由题意知 C1 : h?x? ? x ? 2 2 ? 6 .
2

2( x ? 1) ,故结论成立.…………………………………………………………8 分 x ?1

2( x ? 1) ? 0, x ?1

问题转化为 G ? x ? ? x ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 6 ? 0 在 ? 0, ??? 上解的个数.……………10 分学习使人进 步,相信能就一定能成功

?

?

1 1 2 x2 ? 2 ? x ? x G' ? x ? ? 2 x ? 2 ?1 ? ? ? x x x G' ? x ? ? 0 ? x ? 1; G' ? x ? ? 0 ? 0 ? x ? 1;
2

?

x ?1 2x x ? 2x ? x ? 2 x

??

?

又 G?1? ? ?4 ? 0 ,所以 G ? x ? ? x ? 2ln x ? x ? 2 x ? 6 ? 0 在 ? 0, ??? 上有 2 个解,即 C2 与 f ?x ? 对应曲线 C3 的交点个数是 2 个.………………………………………………………………12 分

?

?

高三理科数学试卷

第 7 页 共 7 页


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