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最新高考分类汇总2007-2016年全国卷极坐标与参数方程高考题汇编

极坐标与参数方程(全国卷高考题) (2007)坐标系与参数方程:? O1 和 ? O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? . (Ⅰ) 把 ? O1 和 ? O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 ? O1 , ? O2 交点的直线的直角坐标方程.

(2008)坐标系与参数方程:
? ?x ? x ? cos ? ? 已知曲线 C1: ? (? 为参数) ,曲线 C2: ? ? ? y ? sin ? ?y ? ? ? 2 t? 2 2 (t为参数) 2 t 2



(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 ' , C2 ' 。写出 C1 ' ,

C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由。

(2009)

已知曲线 C1: ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2: ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值.

1

? ? ?x=1+tcosα, ?x=cosθ (2010)坐标系与参数方程:已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? ?y=tsinα, ?y=sinθ, ? ?

(θ 为参数). π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的参 数方程,并指出它是什么曲线.

x ? 2cos ? (2011)坐标系与参数方程:在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ?

? y ? 2 ? 2sin ?

(?

为参数) ,M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点

? ?x=2cosφ (2012)已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 ?y=3sinφ ?

轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、 π B、C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2,3) (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。

2

(2013 课标 1) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) , 以坐标原点为极点, ? y ? 5 ? 5sin t

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。
(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 。

(2013 课标 2)已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos t , ( t 为参数)上,对应参数分别为 ? y ? 2sin t

, M 为 PQ 的中点。 t =? 与 t =2? ( 0 ? ? ? 2? ) (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

(2014 课标 1)已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值.

3

(2014 课标 2)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0, (1)求 C 得参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标.

?
2

].

(2015 课标 1)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,
2 2

以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2MN 的 4

x ?t cos α { (2015 课标 2)在直线坐标系 xOy 中,曲线 C : y ?t sin α (t 为参数,t ? 0)其中 0 ? α
1

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: p=2 sin ? , C3: p=2 3 cos? 。 ? ? .在以 O 为极点, (I) (II) 求 C1 与 C3 交点的直角坐标; 若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

9.【2015 高考新课标 1,文 23】选修 4-4:坐标系与参数方程

4

在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的 4

(23)2014(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y2 已知曲线 C : ( t 为参数) ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(2)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (3)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值.

6.(2014 辽宁,23,10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.
2 2

例 2 (2009· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.曲线

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π? C 的极坐标方程为 ρcos? ?θ-3?=1,M、N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

变式迁移 2 (2010· 东北三校第一次联考)在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l: π 2 ρsin(θ- )= ,(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; 4 2 (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

?x=5cos φ, ? 9.(12 分)(2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆? (φ 为参数)的 ?y=3sin φ ? ? ?x=4-2t, 右焦点,且与直线? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ? ?y=3-t

?x=3- 22t, 10.(12 分)(2010· 福建)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 5+ 2 t
6

(t 为参

数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|.

6.【2015 高考陕西,文 23】选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标版权法 xOy 吕,直线 l
1 的参数方程为 ? 为参数) ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? C ?x ? 3 ? t 2 ? (t ? 3 ?y ? t ? ? 2

的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? .(I)写出 ? C 的直角坐标方程;(II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标.

? ? ?x=1+tcos α, ?x=cos θ, 11.(14 分)(2010· 课标全国)已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? ?y=tsin α ?y=sin θ ? ?

π (θ 为参数).(1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标;(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 3 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

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