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【优化方案】2014届高考数学一轮复习 13.1 导数的概念及基本运算课件_图文

第十三章

导 数

2014高考导航
考纲解读

1.了解导数概念的某些背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲
线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义.理解导函数的概念. 2.掌握函数y=c(c为常数)和y=xm(m∈N*)的导数公式,并 会求多项式函数的导数.

3.理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用
导数求多项式的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的 最大值和最小值. 4.会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

§13.1 导数的概念及基本运算

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.函数的概念及意义 (1)导数的定义:函数 y=f(x)的导数 f′(x),就是 Δx→0 时,函 Δy 数的增量 Δy 与自变量的增量 Δx 的比 无限趋近的值. Δx (2)导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0),就 斜率 是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的_______. (3)导数的物理意义:函数 s=s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0),就是

瞬时 物体的运动方程为 s=s(t)在时刻 t0 时的______速度 v.
即 v=s′(t0).

2.导函数 如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点可导,就说f(x)在开区间 (a,b)内可导.对于开区间(a,b)内每一个确定的x0 ,都对应 着一个确定的导数f′(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个 新的函数,我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的 导函数 ________,记作f′(x)或y′. 3.求导数的方法 (1)常用的导数公式: 0 C′=____ (C为常数), N* m·m-1 x (xm)′=__________ (m∈____). (2)导数的运算法则: u′±v′ (u±v)′=___________, C· u′ (C· u)′=_________ (C为常数).

思考探究 1.函数f(x)=x2的导数与f(x)=x2,在x=0处的导数f′(0)一样吗? 提示:不一样.f′(x)=2x,而f′(0)=0. 2.y=x3在原点处存在切线吗? 提示:存在.y=x3在x=0处的导数为0,即在原点处的切线的 斜率为0.故切线为x轴.

课前热身 1.(教材改编)函数y=x2的图象在点(1,1)处的切线

斜率为(
A.2

)
B.-2

C.1
答案:A

D.-1

2.若对任意x∈R,f′(x)=4x3,f(1)=-1,则f(x)是(

)

A.f(x)=x4
C.f(x)=4x3-5 答案:B

B.f(x)=x4-2
D.f(x)=x4+2

12 3.质点运动方程为 s=- t +1,则质点在 t=2 时的速度为 2 ( A.0 ) B.1

C.-2

D.2

答案:C

4.(2012· 高考广东卷)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程 为________. 答案:y=2x+1 5.若函数f(x)=(x+1)2(x-1),则f′(2)=________. 答案:15

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数

函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的, 前者是指 导函数,后者是指导函数在某点的具体函数值.

例1

求下列函数的导数

(1)y=(2x3-1)(3x2+x); (2)y=3(2x+1)2-4x; 1 (3)y= . x

【思路分析】
多项式再求导.

解析式无法直接用公式求导时,应先展开为

【解】 (1)y=6x5+2x4-3x2-x, ∴y′=(6x5)′+(2x4)′-(3x2)′-x′ =30x4+8x3-6x-1. (2)y=3· 2+4x+1)-4x (4x =12x2+8x+3, ∴y′=(12x2)′+(8x)′+3′ =24x+8. 1 - (3)y= ,∴y=x 1. x 1 ∴y′=-1· =- 2. x x 【思维总结】 对于给定的函数解析式求导,要充分使用多
-2

项式的求导法则,即(am)′=mam-1(m∈Q).

跟踪训练
1.在本例(1)中求y′|x=0.

解:∵y′=30x4+8x3-6x-1, ∴y′|x= 0=-1.

考点2

导数的几何意义及应用

函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的导数f′(x0)表示函数y=f(x)在x
=x0处的瞬时变化率,导数f′(x0)的几何意义就是函数y=f(x)

在P(x0,y0)处的切线的斜率,其切线方程为
y-y0=f′(x0)(x-x0).

例2 已知曲线 y=1x3+4,求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 3 3

【思路分析】

点P不一定是切点,需要设出切点坐标.

1 3 4 【解】 设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 3 3 1 3 4 A(x0, x0+ ), 3 3 则切线的斜率 k=y′|x=x =x2, 0
0

1 3 4 ∴切线方程为:y-( x0+ )=x2(x-x0), 0 3 3 2 3 4 2 即 y=x0· x- x0+ . 3 3 2 3 4 2 ∵P(2,4)在切线上,∴4=2x0- x0+ , 3 3 即 x3-3x2+4=0. 0 0 ∴x3+x2-4x2+4=0,∴x2(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 0 0 0 0 ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2. 故所求切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.

【思维总结】

对于未给出切点的题目,要求切线方程,先

设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标.

跟踪训练
1 3 4 2.对于本题函数 y= x + ,求曲线在点 P(2,4)的切线方程. 3 3
解:∵y′=x2, ∴在 P(2,4)的切线的斜率为 k=y′|x=2=4, ∴曲线在 P(2,4)的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.

方法感悟
方法技巧 1.求几个多项式乘积的导数时,必须先将多项式乘积展开,

化为a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an的形式,再应用求
导法则进行求导. 2.曲线的切线方程的求法 (1)已知切点(x0,f(x0)) ①求出函数f(x)的导数f′(x); ②将x0代入f′(x)求出f′(x0),即得切线的斜率; ③写出切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),并化简.

(2)未知切点求切线方程

①设出切点坐标(x0,f(x0));
②表示出切线斜率; ③表示出切线方程; ④代入已知点坐标,求出x0,近而求出切线方程.

失误防范 1.求过点(x0,y0)的曲线的切线方程时,要注意判断已知点 (x0,y0)是否满足曲线方程,即是否在曲线上.过点P(x0,y0)

作切线,点P暂不当作切点.在点P作切线,P为切点.
2.与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线,曲线

的切线与曲线的公共点不一定只有一个.

考向瞭望把脉高考
命题预测 从近两年的高考试题来看,高考对导数及其运算的考查主要

集中在导数的几何意义以及求多项式类型的函数导数上,题
型在选择、填空、解答中都有体现,难度属中、低档. 在2012年的高考中,广东卷以选择题的形式考查了三次函数 的切线问题,北京卷、福建卷则以解答题的形式考查了与切 线有关的证明、解答问题. 预测2014年高考对导数的几何意义的考查仍将继续,各种题 型都有可能出现,其中选择、填空题的可能性更大,一般还 会有一道以求多项式类型函数为载体的导数综合题.

规范解答



(本题满分13分)(2012· 高考北京卷)已知函数

f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共
切线,求a,b的值;

(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大
值为28,求k的取值范围.

【解】

(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b.(1分)

因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共 切线,所以 f(1)=g(1),且f′(1)=g′(1),(3分) 即a+1=1+b,且2a=3+b, 解得a=3,b=3.(6分)

(2)记h(x)=f(x)+g(x),
当a=3,b=-9时, h(x)=x3+3x2-9x+1,

h′(x)=3x2+6x-9.(8分)
令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1. h(x)与h′(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:

x

(-∞,-3) -3

(-3,1)

1

(1,2)

2

h′(x)
h(x)




0
28




0
-4


↗ 3 (10分)

由此可知: 当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28;当

-3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此,k
的取值范围是(-∞,-3].(13分)

【名师点评】

本题主要考查导数的几何意义,利用导数求

函数最值的方法等基础知识,考查运算能力以及分类讨论的 思想方法,难度适中.


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