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高三数学 试题精选分类汇编7 立体几何(1) 理 人教版_图文

广西省 高三理科数学试题精选(6 年高考(大纲版)+2 年模拟)分类汇编 7: 立体几何(1)
一、选择题 1 . (广西南宁二中 2012 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)正四棱锥 V—ABCD 中,底面正方形的边长 为 2,侧棱长为 3 ,E 为侧棱 VA 的中点,则 EC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ( )

A.

2 10 5

B.

10 5

C.

10 10

D.

3 10 10

【答案】C 2 . (2008 全国 2 理)已知 球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2,则两圆的圆心距等于 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

【答案】C 设两圆的圆心分别为 O1 、 O2 ,球心为 O ,公共弦为 AB,其中点为 E,则 OO1 EO2 为矩形,于 是对角线 O1O2 ? OE ,而 OE ?

OA 2 ? AE 2 ? 2 2 ? 12 ? 3 ,∴ O1O2 ? 3

3 . (2007 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国 2) 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1 A1 所成角的正弦值等于 ( )

A.

6 4

B.

10 4

C.

2 2

D.

3 2

【答案】A 4 . (2008 全国 1 理科)已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影为

△ ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于
A.





1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

【答案】B 5 . (2011 年高考(理) )已知平面 ? 截一球面得圆 M ,过圆心 M 且与 ? 成 60 二面角的平面 ? 截该球面
0

得圆 N ,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4? ,则圆 N 的面积为 A. 7? B. 9? C. 11? D. 13?





【答案】D 6 . (广西百所高中 高三第三届联考试题数学理 )如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为
1

( A.



?
6

B.

?
3

C

3 ? . 6

D.

3 ? 3

【答案】A 7 . (广西陆川县中学 2012 届高三第二学期第三次数学模拟试题(理) )已知 m 、 n 是不同的直线, ? 、

? 是不同的平面,有下列命题:
① 若 m ? ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n ③ 若 ? ? ? ? n, m ∥ n ,则 m ∥ ? 且 m ∥ ? 其中真命题的个数是 A. 0 个 【答案】B B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ② 若 m ∥ ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ? ④ 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? ( )

8 . (2010 全国理 2)与正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1 D1 所在直线的距离相等的点 ( A.有且只有 1 个 C.有且只有 3 个 【答案】D B.有且只有 2 个 D.有无数个 )

9 . (2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ理) )已知二面角 α -l-β 为 60o ,动点 P、Q 分别在面 α 、β 内,P 到 β 的距离为 3 ,Q 到 α 的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为 ( A. B. 2 C. 2 3 D.4 )

【答案】解:如图分别作 QA ? ? 于A, AC ? l于C , PB ? ? 于B,

2

PD ? l于D ,连 CQ, BD则?ACQ ? ?PBD ? 60?,

AQ ? 2 3, BP ? 3 , ? AC ? PD ? 2
又? PQ ?

AQ 2 ? AP 2 ? 12 ? AP 2 ? 2 3
C.

当且仅当 AP ? 0 ,即 点A与点P 重合时取最小值.故答案选

10. (广西南宁市 2012 届高三第二次适应性测试数学(理)试题)设 E、F 分别是正三桉锥 A- BCD 的倒梭 A A. B.底边 BC 的中点,且 B. (C〕 D. .若 BC =a .则正三棱锥 A-BCD 的体积为 ( )

【答案】B 11. (2009 全国 2 理)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正 方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标 的面的方位是[ “?”


上 东





A.南 B.北 C.西 D. 【答案】B 12. (广西南宁市 2012 届高三第三次适应性测试数学(理)试题)已知 Rt?ABC 的顶点都在半径为 4 的球

O 面上,且 AB=3,BC=2, ?ABC ? ? ,则棱锥 O-ABC 的体积为 2
A.





51 2

B.

3 51 2

C. 51

D. 3 51

【答案】A 13. (广西南宁市 2012 届高三第三次适应性测试数学(理)试题)在空间内,设 l , m, n 是三条不同的直 线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题中真命题 的个数是 ... (1) ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,则 l ? ? ;(2) l // ? , l // ? , ? ? ? ? m ,则 l // m (3) ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l // m , 则 l // n ;(4) ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ? 或 ? // ? ( A.1 【答案】C B. 2 C.3 D.4 )

14. (2007 年高考数学全国 I 理科)如图,正棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB ,则异面直线 A1 B 与
3

AD1 所成角的余弦值为
D1 A1 B1 C1

D A B

C

( B.



A.

1 5

2 5

C.

3 5

D.

4 5

【 答 案 】 如 图 , 连 接 BC1,A1C1,∠A1BC1 是 异 面 直 线 A1 B 与 AD1 所 成 的 角 , 设 AB=a,AA1=2a,∴ A1B=C1B= 5 a,A1C1= 2 a,∠A1BC1 的余弦值为
D1 A1 B1

4 ,选 5

D.

C1

D A B

C

15 . (广西桂林市、崇左市、防城港市 高三第二次联合模拟考试数学理试题( WORD 版) )在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值为 ( )

A.

10 5

B.

5 5

C.

3 5 10

D.

3 10

【答案】A 16. (2012 年高考(大纲理) )已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2, CC1 ? 2 2, E 为 CC1 的中点, 则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A.2 【答案】D 二、填空题 17. (2012 年高考 (大纲理) ) 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, ?BAA1 ? ?CAA1 ? 60? , 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为_____________.
4

B. 3

C. 2

D.1

〖解〗

6 6

设该三棱柱的边长为 1,依题意有 AB1 ? AB ? AA1 , BC1 ? AC ? AA1 ? AB ,则

????

??? ? ???? ???? ?

???? ???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ?2 ??? ? ???? ???? 2 | AB1 |2 ? ( AB ? AA1 ) 2 ? AB ? 2 AB ? AA1 ? AA1 ? 2 ? 2 cos 60? ? 3 ???? ? ???? ???? ??? ? ???? 2 ???? 2 ??? ?2 ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? | BC1 |2 ? ( AC ? AA1 ? AB) 2 ? AC ? AA1 ? AB ? 2 AC ? AA1 ? 2 AC ? AB ? 2 AA1 ? AB ? 2 而

???? ???? ? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? AB1 ? BC1 ? ( AB ? AA1 ) ? ( AC ? AA1 ? AB) ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? AB ? AC ? AB ? AA1 ? AB ? AB ? AA1 ? AC ? AA1 ? AA1 ? AA1 ? AB
1 1 1 1 ? ?1? ?1? ? 1 2 2 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? AB1 ? BC1 1 6 ? ? ? cos ? AB1 , BC1 ?? ???? ???? ? 6 | AB1 || BC1 | 2? 3 ?
18. (广西武鸣高中 2012 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)如图,在 120 ? 二面角 ? ? l ? ? 内半径为 1 的圆 O1 与半 径为 2 的圆 O2 分别在半平面 ? 、 ? 内,且与棱 l 切于同一点 P,则以圆 O1 与圆 O2 为截 面的球的表面积等于 ____★____.

?
o1
P

l

o2

?

【答案】

112? 3

19. (广西梧州市蒙山县 2012 届高三高考模拟考试数学(理)试题)直三棱柱 ABC - A1 B1C1 各顶点都在同 一球面上.若 AB ? AC ? AA1 ? 2, ∠ BAC = 120? ,则此直三 棱柱的表面积等于__________. 【答案】 8 ? 4 3 20. (2007 年高考数学全国 I 理科)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正 三棱柱的底面边长为 2,则该三角形的斜边长为__________. 【答案】一个等腰直角三角形 DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱 柱的底面边长为 AB=2,则该三角形的斜边 EF 上的中线 DG= 3 ,∴ 斜边 EF 的长为 2 3 .

5

A1

C1 F B1

D G A C

E

B

21 . ( 广 西 南 宁 市 2012 届 高 三 第 三 次 适 应 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 直 二 面 角 ? ? l ? ? , 点

A ? ? , AC ? l , C 为垂足,点 B ? ? , BD ? l , D 为垂足,点 AC ? BD ? 1 , CD ? 2 ,异面直线 AB
与 CD 所成的角等于_________.(用反余弦表示) 【答案】 arccos

6 3

22. (广西陆川县中学 2012 年春季期高 三第一次模拟数学试题(理科)2012 年 5 月 7 日 )在棱长为 1 的 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,在面 BB1C1C 内任作长为 1 的线段 PQ ,那么四面体 AD1 PQ 体积的最大 值为__________________. 【答案】

2 6
1 1 2 . ? ? 2 ?1 ?1 ? 3 2 6

解析:当 PQ ? AD1 时,三棱锥体积最大, V ?

23. (2009 全国 2 理)设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45? 角的平面截球 O 的表面得到 圆 C.若圆 C 的面积等于

【答案】8 ? 24. (2008 全国 2 理)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件①_______________________________________________; 充要条件②_______________________________________________ . (写出你认为正确的两个充要条件) 【答案】 【答案】两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边 形. 注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给 分. 25. (2010 全国理 2)已知球 O 的半径为 4 ,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共 弦, AB ? 4 .若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ? _________. 【答案】3 26. (广西桂林市、崇左市、防城港市 高三第二次联合模拟考试数学理试题(WORD 版) )已知底面为正
6

7? ,则球 O 的表面积等于_________. 4

三角形,侧棱长都相等的三棱锥 S—ABC 各顶点都在半球面上,其中 A、B、C 三顶点在底面圆周上,若三 棱锥 S—ABC 的体积为 2 3 ,则该半球的体积为______________. 【答案】

16? 3

三、解答题 27 . ( 2012 年 高 考 ( 大 纲 理 ) ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 菱 形 , PA ? 底 面

ABCD , AC ? 2 2 , PA ? 2, E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC .
(1)证明: PC ? 平面 BED ; (2)设二面角 A ? PB ? C 为 90? ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.

P

E B C

A D

解:设 AC ? BD ? O ,以 O 为原点, OC 为 x 轴, OD 为 y 轴建立空间直 角坐标系,则 A(? 2,0,0), C ( 2,0,0), P(? 2,0, 2), 设 B(0, ?a,0), D(0, a,0), E ( x, y, z ) .

(Ⅰ)证明 : 由 PE ? 2 EC 得

E(

??? ? 2 2 2 2 ??? ? ? , 0, ) BE ? ( , a, ) ??? 3 3 , 所以 PC ? (2 2, 0,? 2), 3 3 , BD ? (0, 2a, 0) ,

??? ????? 2 2 PC?BE ? (2 2, 0, ?2) ? ( , a, ) ? 0 3 3 所以 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PC ? BD ? (2 2,0, ?2) ? (0, 2a,0) ? 0 .所以 PC ? BE , PC ? BD ,所以 PC ? 平面 BED ; ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? n ? ( x , y , z ) AP ? (0,0, 2), AB ? ( 2, ? a ,0) n ? AP ? 0, n ? AB ?0 (Ⅱ) 设平面 PAB 的法向量为 ,又 ,由
? 2 ?? ??? ? ??? ? n ? (1, , 0) m ? ( x , y , z ) BC ? ( 2, a ,0), CP ? (?2 2,0, 2) , 由 PBC a 得 ,设平面 的法向量为 ,又 ?? 2 ?? ??? ? ?? ??? ? ?? ? m ? (1, ? , 2) m ? BC ? 0, m ? CP ? 0 ,得 a ,由于二面角 A ? PB ? C 为 90? ,所以 m ? n ? 0 ,解得 a ? 2 . ??? ? ?? PD ? ( 2, 2, ? 2) m 所以 ,平面 PBC 的法向量为 ? (1, ?1, 2) ,所以 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ???? ? ??? | PD ? m | 1 ? ???? ? ??? ?? | PD | ?| m | 2 ,所以 PD 与平面 PBC 所成角为 6 .
28. (2007 年高考数学全国 I 理科) 四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD, 已知 ?ABC ? 45? , AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 . (Ⅰ)证明: SA ? BC ;
7

(Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.
S

C D A

B

【答案】解法一: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 底面 ABCD . 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO , 又 ∠ABC ? 45? ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO , 由三垂线定理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC , S

C D A

O

B

故 SA ⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 , AO ?

2 ,得

SO ? 1 , SD ? 11 . △SAB 的面积 S1 ?
1 ?1 ? AB? SA2 ? ? AB ? ? 2 . 2 ?2 ?
1 AB?AD sin135? ? 2 2
2

连结 DB ,得 △DAB 的面积 S 2 ?

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD ? SAB ? VS ? ABD ,得

1 1 h?S1 ? SO?S 2 , 3 3
解得 h ?

2.
h 2 22 . ? ? SD 11 11
22 . 11

设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ?

所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin

解法二: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 平面 ABCD .
8

因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO . 又 ∠ABC ? 45? , △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ OB . 如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz ,

z
S

G
C D A

O

E

B

y

x

??? A( 2, 0, 0) , B(0,2, 0) , C (0, ? 2, 0) , S (0, 0, ? 1) , 0, 1) , SA ? ( 2,

??? ??? ? ??? ? CB ? 0 ,所以 SA ⊥ BC . CB ? (0, 2 2, 0) , SA?
(Ⅱ)取 AB 中点 E , E ?

? 2 2 ? , 0? ? 2 ,2 , ? ? ? ? 2 2 1? ?. ? 4 ,4 , 2? ? ?

连结 SE ,取 SE 中点 G ,连结 OG , G ?

? 2 2 1? ? 2 2 ? , SE ? ? , 0) . OG ? ? , , 1? ? ? 4 4 2? ? 2 ,2 , ? AB ? (? 2,2, ? ? ? ?

SE ? OG ? 0 , AB? OG ? 0 , OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE , AB 垂直.
所以 OG ? 平面 SAB , OG 与 DS 的夹角记为 ? , SD 与平面 SAB 所成的角记为 ? ,则 ? 与 ? 互余.

D( 2, 2 2, 0) , DS ? (? 2, 2 2, 1) .

cos ? ?

OG ?DS OG ?DS

?

22 22 , sin ? ? , 11 11
22 . 11

所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin

29.(广西南宁市 2012 届高三第二次适应性测试数学(理)试题)如图所示,四梭锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形且 (1)求证: . 平面 ABC D; . E 为 P C 的中点,且 .直线 DE 与平面 PAC 所成角为 45.

(2)求二面角 E - P D - B 的平曲角的大小.
9

【答案】

10

30. (2009 全国 2 理)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB ? AC ,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点, DE ? 平面

BCC1
A1 B1 D A B (1) 证明:AB=AC (2) 设二面角 A-BD-C 为 60 ,求 B1C 与平面 BCD 所成角的大小
0

C1

E

C

【答案】 解法一:(Ⅰ)取 BC 中点 F,连接 EF,则 EF / /

1 B1 B ,从而 2

EF / / DA.连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF//DE.又 DE⊥平面 BCC1 ,故 AF⊥平面 BCC1 ,从而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC. (Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G,连接 CG.由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面角 A-BD-C 的平面角.由题设 知,∠AGC= 60o .
.

11

设 AC=2,则 AG=

2 .又 AB=2,BC= 2 2 ,故 AF= 2 . 3 2 . AD 2 ? 22 ,解得 AD= 2 . 3

由 AB ? AD ? AG ? BD 得 2AD=

故 AD=AF.又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形. 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF. 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD. 连接 CH,则∠ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角. 因 ADEF 为正方形,AD= 2 ,故 EH=1,又 EC=

1 B1C =2, 2

所以∠ECH= 30o ,即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30o . 解法二: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 A—xyz.

设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则 B1 (1,0,2c),

1 b , ,c). 2 2 ? ? ? ? 1 b 于是 DE =( , ,0), BC =(-1,b,0). 由 DE⊥平面 BCC1 知 DE⊥BC, DE ? BC =0, 求得 b=1, 所以 2 2
E( AB=AC. (Ⅱ) 设 平 面 BCD 的 法 向 量

AN ? ( x, y, z), 则

?

AN ? BC ? 0, AN ? BD ? 0. 又

?

?

?

?

? ? ?? x ? y ? 0 BC =(-1,1,0), BD =(-1,0,c),故 ? ?? x ? cz ? 0

令 x=1, 则 y=1, z=

1 ? 1 , AN =(1,1, ). c c

又平面 ABD 的法向量 AC =(0,1,0)

AC =60°, 由二面角 A ? BD ? C 为 60°知, AN,
12



AN ? AC ? AN ? AC ? cos60 °,求得 c ?

1 2

于是

AN ? ( 1, 1,2) , CB1 ? (1, ? 1,2)
AN ? CB1 AN ? CB1 ? 1 , 2

cos AN, CB1 ?

AN, CB1 ? 60 °
所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30° 31. (广西南宁市 2012 届高三第三次适应性测试数学(理)试题)如图:四棱锥 A-BCQP 中,二面角 A-BC-P 为 90? ,且 ?BAC ? ?CBQ ? 90?,?CBP ? 45? , BP+AP= 2 BC ,AB=AC= 2 . (Ⅰ)求证:AB ? 平面 ACQ; (Ⅱ)求直线 AP 与平面 ACQ 所成角的大小.

【答案】

13

32. (2007 年普通高等学校招生全国统一 考试理科数学试卷及答案-全国 2) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD ⊥ 底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点. (1)证明 EF ∥平面 SAD ;(2)设 SD ? 2 DC ,求二面角 A ? EF ? D 的大小. S

F

C D A E B

【答案】解法一: (1)作 FG ∥ DC 交 SD 于点 G ,则 G 为 SD 的中点. S

F G H D A E B
14

M

C

连结 AG,FG ∥

1 CD ,又 CD ∥ AB , 2

故 FG ∥ AE,AEFG 为平行四边形.

EF ∥ AG ,又 AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD . 所以 EF ∥平面 SAD . (2)不妨设 DC ? 2 ,则 SD ? 4,DG ? 2, △ ADG 为等
腰直角三角形. 取 AG 中点 H ,连结 DH ,则 DH ⊥ AG . 又 AB ⊥ 平面 SAD ,所以 AB ⊥ DH ,而 AB ? AG ? A , 所以 DH ⊥ 面 AEF . 取 EF 中点 M ,连结 MH ,则 HM ⊥ EF . 连结 DM ,则 DM ⊥ EF . 故 ?DMH 为二面角 A ? EF ? D 的平面角

tan ?DMH ?

DH 2 ? ? 2. HM 1

所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arctan 2 . 解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz . z S

F G

M D A x E B A C y

设 A(a, 0,, 0) S (0, 0,b) ,则 B(a,a,, 0) C (0,a,, 0)

? ? b? ? a ? ? a b ? ??? E ? a, , 0 ?,F ? 0, , ? , EF ? ? ?a, 0, ? . 2? ? 2 ? ? 2 2? ?
取 SD 的中点 G ? 0, 0, ? ,则 AG ? ? ?a, 0, ? .

? ?

b? 2?

????

? ?

b? 2?

15

??? ? ???? EF ? AG,EF ∥ AG,AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD ,
所以 EF ∥平面 SAD . (2)不妨设 A(1, 0, 0) ,则 B(11 , ,, 0) C (0, 1,, 0) S (0, 0,, 2) E ?1, , 0 ?,F ? 0, , 1? .

? 1 ? 2

? ?

? ?

1 ? 2 ?

? ? 1 1 1 ? ??? ? ???? ? ??? ? ? 1 1 1 ? ???? EF 中点 M ? , , ?, MD ? ? ? , ? , ? ?, EF ? (?1, 0,, 1) MD ?EF ? 0,MD ⊥ EF ?2 2 2? ? 2 2 2?
又 EA ? ? 0, ? , 0 ? , EA?EF ? 0,EA ⊥ EF , 所以向量 MD 和 EA 的夹角等于二面角 A ? EF ? D 的平面角.

??? ?

? ?

1 2

? ??? ? ? ??? ?

???? ?

??? ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? MD?EA 3 . cos ? MD, EA ?? ???? ? ??? ? ? 3 MD ?EA
所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arccos

3 . 3

33. (2010 年高考(全国理 1) )(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,四棱锥 S-ABCD 中,S D ? 底面 ABCD,AB//DC,AD ? DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

【答案】解法一: (Ⅰ)连接 BD,取 DC 的中点 G,连接 BG, 由此知 DG ? GC ? BG ? 1, 即 ?ABC 为直角三角 形, 故

BC ? BD .
又 SD ? 平面ABCD,故BC ? SD , 所以, BC ? 平面BDS,BC ? DE . 作 BK ? EC, K 为垂足,因平面EDC ? 平面SBC ,
16

故 BK ? 平面EDC,BK ? DE , DE 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK、BC 都垂直 DE⊥平面 SBC,DE⊥EC,DE⊥SB

SB ? SD 2 ? DB 2 ? 6
DE ? SD?DB 2 ? SB 3
6 2 6 , SE ? SB - EB ? 3 3

EB ? DB 2 - DE 2 ?
所以,SE=2EB (Ⅱ) 由 SA ?

SD 2 ? AD 2 ? 5, AB ? 1, SE ? 2 EB, AB ? SA, 知
2 2

?1 ? ?2 ? AE ? ? SA ? ? ? AB ? ? 1, 又AD=1 . ?3 ? ?3 ?
故 ?ADE 为等腰三角形. 取 ED 中点 F,连接 AF ,则 AF ? DE , AF ? 连接 FG ,则 FG / / EC , FG ? DE . 所 以, ?AFG 是二面角 A ? DE ? C 的平面角. 连接 AG,A G= 2 , FG ?

AD 2 ? DF 2 ?

6 . 3

DG 2 ? DF 2 ?

6 , 3

cos ?AFG ?

AF 2 ? FG 2 ? AG 2 1 ?? , 2?AF ?FG 2

所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120°. 解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz , 设 A(1,0,0),则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (Ⅰ) SC ? (0, 2, -2), BC ? (-1,1, 0) 设平面 SBC 的法向量为 n=(a,b,c) 由 n ? SC , n ? BC ,得 n?SC ? 0, n?BC ? 0 故 2b-2c=0,-a+b=0
17

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

令 a=1,则 b=c,c=1,n=(1,1,1) 又设 SE ? ? EB

???

??? ?

(? ? 0) ,则

? ? 2 E( , , ) 1? ? 1? ? 1? ? ???? ? ? 2 ???? DE ? ( , , ), DC ? (0, 2, 0) 1? ? 1? ? 1? ?
设平面 CDE 的法向量 m=(x,y,z) 由 m ? DE , m ? DC ,得

m ? DE ? 0 , m ? DC ? 0


?x ?y 2z ? ? ? 0, 2 y ? 0 . 1? ? 1? ? 1? ?

令 x ? 2 ,则 m ? (2, 0, ?? ) . 由平面 DEC⊥平面 SBC 得 m⊥n, m?n ? 0, 2 ? ? ? 0, ? ? 2 故 SE=2EB (Ⅱ)由(Ⅰ)知 E ( , , ) ,取 DE 的中点 F,则 F ( , , ), FA ? ( , ? , ? ) , 故 FA?DE ? 0 ,由此得 FA ? DE

2 2 2 3 3 3

? 1 1 1 ??? 3 3 3

2 3

1 3

1 3

??? ? ????
??? ?

??? ? ???? 2 4 2 , , ? ) ,故 EC ?DE ? 0 ,由此得 EC ? DE , 3 3 3 ? ??? ? ??? 向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角 A ? DE ? C 的平面角
又 EC ? (? 于是

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? FA?EC 1 ? ??? ? ?? cos( FA, EC ) ? ??? 2 | FA || EC |

所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120? 34. (2010 全国理 2) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AA1 ? AB , D 为 BB1 的中点, E 为 AB1 上的一点, AE ? 3EB1 . (Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 A1 ? AC1 ? B1 的大小.

18









19

20

35. (广西南宁市 高三第二次诊断测试数学(理)试题)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC=60 ,PA⊥底面 ABCD,PA=2,M,N 分别为 PC,BC 的中点. (1)证明:AN⊥平面 PAD; (2)求二面角 C-AM-N 的大小.
o

【答案】

21

36. (2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ理 ) )(注意 : 在试题卷上作答无效 ) .. . ......... . 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , 点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60° (I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小.

AD ? 2 DC ? SD ? 2 ,

【答案】(I)解法一:作 MN ∥ SD 交 CD 于 N,作 NE ? AB 交 AB 于 E, 连 ME、NB,则 MN ? 面 ABCD , ME ? AB , NE ? AD ?

2

22

设 MN ? x ,则 NC ? EB ? x , 在 RT ?MEB 中,? ?MBE ? 60? ? ME ? 3 x . 在 RT ?MNE 中由 ME 2 ? NE 2 ? MN 2 ? 3 x 2 ? x 2 ? 2 解得 x ? 1 ,从而 MN ?

1 SD ? M 为侧棱 SC 的中点 M. 2

解法二:过 M 作 CD 的平行线. 解法三:利用向量处理.

(II)分析一:利用三垂线定理求解.在新教材中弱化了三垂线定 理.这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角. 过 M 作 MJ ∥ CD 交 SD 于 J , 作 SH ? AJ 交 AJ 于 H , 作 HK ? AM 交 AM 于 K , 则 JM ∥ CD , JM ? 面 SAD ,面 SAD ? 面 MBA , SH ? 面 AMB ? ?SKH 即为所求二面角的补角. 分析二:利用二面角的定义.在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF ? AM 交 AM 于点 F ,则点 F 为 AM 的中点,取 SA 的中点 G,连 GF,易证 GF ? AM ,则 ?GFB 即为所求二面角. 分析三:利用空间向量求.在两 个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可. 另外:利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等,这些方法也能奏效. 总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况. 命题人在这里一定会照顾双方的利益. 37. (广西百所高中 高三第三届联考试题数学理 )如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD,SA=AB,M 是 SD 的中点. (1)求证:SB//平面 ACM; (2)求二面角 D—AC—M 的大小.

23

【答案】

24


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