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【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.1第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时 新人教A版选修2-3


【成才之路】2015-2016 学年高中数学 1.1 第 1 课时 分类加法计数 原理与分步乘法计数原理课时作业 新人教 A 版选修 2-3

一、选择题 1.一个袋子里放有 6 个球,另一个袋子里放有 8 个球,每个球各不相同,从两袋子里 各取一个球,不同取法的种数为( A.182 C.48 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 6×8=48,故选 C. 2.从甲地到乙地一天有汽车 8 班,火车 3 班,轮船 2 班,某人从甲地到乙地,他共有 不同的走法数为( A.13 种 C.24 种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理,不同走法数为 8+3+2=13(种).故选 A. 3.(2014·新课标Ⅰ理,5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( 1 A. 8 5 C. 8 [答案] D [解析] 四位同学各自在周六、周日两天中选择一天参加公益活动的情况有 2 =16 种 1+1 7 方式,其中仅在周六或周日参加的各有一种,故所求概率 P=1- = . 16 8 4.定义集合 A 与 B 的运算 A*B 如下:A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若 A={a,b,c},
4

) B.14 D.91

) B.16 种 D.48 种

) 3 B. 8 7 D. 8

B={a,c,d,e},则集合 A*B 的元素个数为(
A.3
4

) B.4
3

C.12 [答案] C

D.24

[解析] 显然(a,a)、(a,c)等均为 A*B 中的元素,确定 A*B 中的元素是 A 中取一个元 素来确定 x,B 中取一个元素来确定 y,由分步计数原理可知 A*B 中有 3×4=12 个元素.故

1

选 C. 5.有四位老师在同一年级的 4 个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每 位老师均不在本班监考,则安排监考的方法种数是( A.8 种 C.10 种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是 A、B、C、D,它们的老师分别是 a、b、c、d,并设 a 监考 的是 B,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级,共有 3 种不同的方法;同理当 a 监考 B.9 种 D.11 种 )

C、D 时,剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有 3 种不同的方法.这样,由分类
加法计数原理知共有 3+3+3=9(种)不同的安排方法.另外,本题还可让 a 先选,可从 B、

C、D 中选一个,即有 3 种选法.若选的是 B,则 b 从剩下的 3 个班级中任选一个,也有 3
种选法, 剩下的两个老师都只有一种选法, 这样用分步乘法计数原理求解, 共有 3×3×1×1 =9(种)不同的安排方法. 6.从 0、2 中选一个数字,从 1、3、5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中 奇数的个数为( A.24 C.12 [答案] B [解析] (1)当从 0,2 中选取 2 时,组成的三位奇数的个位只能奇数,只要 2 不排在个 位即可,先排 2 再排 1,3,5 中选出的两个奇数,共有 2×3×2=12(个). (2)当从 0,2 中选取 0 时,组成的三位奇数的个位只能是奇数,0 必须在十位,只要排 好从 1,3,5 中选出的两个奇数.共有 3×2=6(个). 综上,由分类加法计数原理知共有 12+6=18(个). ) B.18 D.6

二、填空题 7.已知直线方程 Ax+By=0,若从 0、1、2、3、5、7 这 6 个数字中每次取两个不同的 数作为 A、B 的值,则可表示不同的直线__________ ________条. [答案] 22 [解析] 当 A 或 B 中有一个为零时,则可表示出 2 条不同的直线;当 AB≠0 时,A 有 5 种选法,B 有 4 种选法,则可表示出 5×4=20 条不同的直线.由分类加法计数原理知,共 可表示出 20+2=22 条不同的直线. 8. 三边均为整数且最大边长为 11 的三角形有__________ ________个. [答案] 36 [解析] 另两边长用 x、y 表示,且不妨设 1≤x≤y≤11.要构成三角形,需 x+y≥12.
2

当 y=11 时,x∈{1,2,…,11},有 11 个三角形;当 y=10 时,x∈{2,3,…,10},有 9 个三角形……当 y=6 时,x=6,有 1 个三角形.所以满足条件的三角形有 11+9+7+5+3 +1=36(个). 9.5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛 ,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员 的排法有__________ ________种.(用数字作答) [答案] 48 [解析] 本题可分为两类完成:两老一新时,有 3×2×2=12(种)排法;两新一老时, 有 2×3×3×2=36(种)排法,即共有 48 种排法. 三、解答题 10.有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个. (1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法? (2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法? [解析] (1)由分类加法计数原理得, 从中任取一个球共有 8+7=15 种; (2)由分步乘法计数原理得, 从中任取两个球共有 8×7=56 种.

一、选择题 11.如下图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连.连线 标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 A 向结点 B 传递信息, 信息可以从分开不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为( )

A.26 C.20 [答案] D

B.24 D.19

[解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递, 由分类计数原理, 完成从 A 向 B 传递 有四种方法:12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递的最大信息量为 四条不同网线上信息量的和:3+4+6+6=19,故选 D. 12.(2014·长安一中质检)用 0、1、…、9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的 个数为( A.243 ) B.252
3

C.261 [答案] B

D.279

[解析] 用 0,1,…,9 十个数字,可以组成的三位数的个数为 9×10×10=900,其中 三位数字全不相同的为 9×9×8=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为 900- 648=252. 13.(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2+c3)完全展开后的项数为( A.9 C.18 [答案] B [解析] 每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项,由分步乘法计数原理得, 完全展开后的项数为 2×2×3=12. 14.(2015·江西抚州市七校高二期末联考)设 m∈{1,2,3,4},n∈{-12,-8,-4,- 2},则函数 f(x)=x +mx+n 在区间[1,2]上有零点的概率是( 1 A. 2 11 C. 16 [答案] C [解析] 根据题意,f′(x)=3x +m,又因为 m>0,所以 f′(x)=3x +m>0; 故 f(x)=x +mx+n 在 R 上单调递增, 若函数 f(x)=x +mx+n 在区间[1,2]上有零点, 则只需满足条件 f(1)≤0 且 f(2)≥0. ∴m+n≤-1 且 2m+n≥-8, ∴-2m-8≤n≤-m-1, 当 m=1 时,n 取-2,-4,-8;
3 3 2 2 3

)

B.12 D.24

)

9 B. 16 13 D. 16

m=2 时,n 取-4,-8,-12; m=3 时,n 取-4,-8,-12; m=4 时,n 取-8,-12;
共 11 种取法,而 m 有 4 种选法,n 有 4 种选法,则函数 f(x)=x +mx+n 情况有 4×4 =16 种, 11 3 故函数 f(x)=x +mx+n 在区间[1,2]上有零点的概率是 ,故选 C. 16 二、填空题 15.一个科技小组中有 4 名女同学,5 名男同学,从中任选 一名同学参加学科竞赛,共有不同的选派方法__________ ______种;若从中任选一名
4
3

女同学和一名男同学参加学科竞赛,共有不同的选派方法________种. [答案] 9 20 [解析] 由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共 5+4=9 种, 由分步 乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共 5×4=20 种. 16.圆周上有 2n 个等分点(n 大于 2),任取 3 点可得一个三角形,恰为直角三角形的个 数为__________ ________. [答案] 2n(n-1) [解析] 先在圆周上找一点,因为有 2n 个等分点,所以应有 n 条直径,不过该点的直 径应有 n-1 条, 这 n-1 条直径都可以与该点形成直角三角形, 一个点可以形成以该点为直 角顶点的 n-1 个直角三角形,而这样的点有 2n 个,所以一共有 2n(n-1)个符合题意的直 角三角形. 三、解答题 17.若 x、y∈N ,且 x+y≤6,试求有序自然数对(x,y)的个数. [解析] 按 x 的取值进行分类:
*

x=1 时,y=1,2,…,5,共构成 5 个有序自然数对; x=2 时,y=1,2,…,4,共构成 4 个有序自然数对;


x=5 时,y=1,共构成 1 个有序自然数对.
根据分类加法计数原理,共有 N=5+4+3+2+1=15 个有序自然数对. 18.已知集合 A={a1,a2,a3,a4},集合 B={b1,b2},其中 ai、bj(i=1、2、3、4,j =1、2)均为实数. (1)从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射? (2)能构成多少个以集合 A 为定义域,集合 B 为值域的不同函数? [解析] (1)因为集合 A 中的每个元素 ai(i=1、2、3、4)与集合 B 中元素的对应方法都 有 2 种,由分步乘法计数原理,可构成 A→B 的映射有 N=2 =16 个. (2)在(1)的映射中,a1、a2、a3、a4 均对应同一元素 b1 或 b2 的情形.此时构不成以集合
4

A 为定义域,以集合 B 为值域的函数,这样的映射有 2 个.
所以构成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数有 M=16-2=14 个.

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