tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 工学 >>

第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析_图文

第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的S域分析
教学目的:
1 掌握拉氏变换及拉氏反变换的定义;
2 掌握拉氏变换的基本性质;

3 掌握拉氏变换分析法(求解电路问题);
4 掌握系统函数的概念; 5 掌握由系统函数分析系统频响特性的方法。

教学重点:
1 拉氏变换对及其性质;

2 系统函数及系统频响特性。

§4.1

引言

FT的优点在于:物理概念清楚 FT不足之处:
(1)只能处理符合狄利克雷条件的信号,而有些信号是 不满足绝对可积条件的,因而其信号的分析受到限制;

?

?

??

f ?t ? d t ? ?

(2)在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无 穷积分求解困难。

1 f (t ) ? F ? F (? ) ? ? 2?
?1

?

?

??

F ? ω ?e j? t d ω

拉氏变换法(LT) ? 优点:
1 将微积分方程求解问题转化为代数方程求解。
2 进行变换时,初始条件被自动计入,无需计算 从0-到0+状态的跳变。

? 缺点:
物理概念不如傅氏变换那样清楚。

本章的学习方法:注意与傅氏变换的对比,
便于理解与记忆。

§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一. 拉氏变换的定义 ——从傅氏变换到拉氏变换 二.拉氏变换的收敛域

三.一些典型函数的拉氏变换

一、从傅氏变换到拉氏变换
有一些信号不满足狄里 赫利条件,FT不存 在:

乘一衰减因子
??t

? 若乘一衰减因子 e ? 为任意实数,则 ??t f (t ).e 收敛, 满足狄里赫利条件

u(t) ? 增长信号 e at (a ? 0) ? 周期信号 cos? t
1

u (t )e
at

??t

e .e
e
??t

??t

(? ? a)

cos?1t

一.拉普拉斯变换定义
1.拉普拉斯正变换(LT)
绝对可积条件 依傅氏变换定义 : ,
F1 ?? ? ? F f ( t ) ? e
??
?? ??

信号 f ( t ), 乘以衰减因子e ?? t (?为任意实数)后容易满足

?

?? t

? ? ? ? f (t ) e ?? e
?? ?? t ??

? j? t

dt

f ( t ) ? e ?(? ? j? ) t d t ? F (? ? j? )

令 : ? ? j? ? s , 具有频率的量纲 称为复频率。 ,



F ?s ? ? ?

?

??

f ?t ?e ? s t dt

2.拉氏逆变换(LT-1)
F ?? ? j? ? ? ? f ? t ? e
?? ? ??? ? j? ? t

dt ? ? ? f ? t ? e?? t ? e? j?t dt ? ?? ?

?

f ? t ? e?? t 是F ?? ? j? ?的傅里叶逆变换
f ?t ? e
?? t

两边同乘以 e

?t

1 ? 2π

?

?

??

F ?? ? j? ? e j? t d ?

1 ? f ?t ? ? F ?? ? j? ? e ?? ? j? ?t d ? 2π ??? 其中: s ? ? ? j? ; 若?取常数, d s ? jd ? 则
?

积分限:对? : ? ? 对s : ?
??

? ? j?

? ? j?

所以

1 ? ? j? f ?t ? ? F ?s ? e s t d s 2π j ?? ? j ?

拉氏变换对

双边拉氏变换

记作 : f ?t ? ? F ?s ? f ?t ?称为原函数, ?s ?称为象函数。 F

? F ? s ? ? L ? f ? t ?? ? ? f ? t ? e? s t d t ? ? ??? ? ? 1 σ ? j? ?1 F ? s ? es t d s ? f ? t ? ? L ? F ? s ?? ? ? ? 2 π j ?σ ? j? ?

正变换 逆变换

考虑到实际信号都是因果信号:
所以

F ? s ? ? ? f ? t ? e? s t d t
0

?

单边拉氏变换

采用0?系统, 相应的单边拉氏变换为
? F ? s ? ? L ? f ? t ?? ? ? f ? t ? e? s t d t 自动包含0-条件 ? ? ?0? ? ? ? 1 σ ? j? ?1 F ? s ? es t d s ? f ? t ? ? L ? F ? s ?? ? ? ? 2 π j ?σ ? j? ? ?

FT:
? F ?? ? ? F ? f ? t ? ? ? ? f ? t ? e ? j? t d t ? ? ??? ? ? 1 ?? ?1 F ?? ? e j? t d ? ? f ? t ? ? F ? F (? ) ? ? 2 π ??? ? 正变换 逆变换

LT: ? F ? s ? ? L ? f ? t ?? ? ? f ? t ? e? s t d t ? ? ?0 ?

正变换 逆变换

? 1 σ ? j? ?1 f ? t ? ? L ? F ? s ?? ? F ? s ? es t d s ? ? ? 2 π j ?σ ? j? ?
FT: 实频率 LT: 复频率S

s ? ? ? j? ? 是振荡频率 ? 是振荡频率,? 控制衰减的速度

拉氏变换已考虑了初始条件 LT ? f (t )? ? F ( s)
? df (t ) ? LT ? ? ? SF ( s) ? f (o ) ? dt ?
?

证明: ?

?

0

f (t )e dt ? f (t )e
' ? s?

? st

? st ? 0

? ? f (t )(e ) dt
? st ' 0

?

? f (? )e

? f (0) ? SF ( s)

? SF ( s) ? f (0) ? SF ( s) ? f (0? )
初值,若有跳变则为

f (o )
?

二.拉氏变换的收敛域
收敛域:使F(s)存在的s的区域称为收敛域; 记为:ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件。

数学描述:
图形表示:

lim f ( t ) e
t ??

?σ t

?0


?σ ? σ 0 ?

收敛轴 收敛区 收敛坐标 σ0

O

σ

说明
1.满足 lim f (t )e
t ?? ?? t

? 0 ? σ ? σ0 ?的信号称为指数阶信号;

2.有界的非周期信号的拉 氏变换一定存在;全部 平面 s
3. lim t ne ?? t ? 0
t ??

?? ? 0?

4. lime e
t ??
t2

? t ?? t

?0

?? ? α ?

5. e 等信号比指数函数增长快,找不到收敛坐标 , 为非指数阶信号,无法 进行拉氏变换。

6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。

三.一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
L?u( t )? ? ?
? 0

1 ? st e 1? e d t ? ?s
? st
? ?α ? s ? t ?

? 0

1 ? s

2.指数函数
Le

? ?? ?
?α t

?

0

e

?α t ? st

3.单位冲激信号
? 0
?

1 e e dt ? ? ? ?α ? s ? 0 α ? s

?σ ? ?α ?

L?? ?t ?? ? ? ? ?t ? ? e ? std t ? 1
0

全s域平面收敛

L?? ?t ? t0 ?? ? ? ? ?t ? t0 ? ? e ? std t ? e ? st0

4.tnu(t)
L t ? ? t ?e dt
n n ? st 0

? ?

?

t n ? st ? n ? n?1 ? st ? e ? ? t e dt ?s 0 s 0
n ? n?1 ? st ? ? t e dt s 0 n n?1 n 所以 L t ? L t s

? 1 ? ? st ? ? ? st ? ?t ? e 0 ? ? 0 e d t ? ?s? ?

? ?

? ?
? st

1 ? 1 ? st ? ? 1 ? ? ?? e ? ? s2 s? ?s 0? n?2 2 2 1 2 2 L t ? L?t ? ? ? 2 ? 3 s s s s

? ?
3

n?1

L?t ? ? ? t ? e d t
? 0

Lt

? ?

3 3 2 6 2 ? Lt ? ? 3 ? 4 s s s s

? ?

所以

?? n! L?t ? ? s
n

n ?1

常用信号的拉氏变换
u (t )
1 S

u (t )e
t
n

?? t

1 s?a

n! s n ?1

? (t )
? (t ? t0 )

1

e

? st0

§ 4.3 拉普拉斯变换的基本 性质
主要内容
线性性质 时域积分 初值定理 卷积定理 s域积分 时域微分 延时(时域移位) 终值定理 s域微分

s域平移(频域移位) 尺度变换

一.线性性质
若 则 L? f1 ( t )? ? F1 ( s ), L? f 2 ( t )? ? F2 ( s ), K 1 , K 2为常数, L?K 1 f1 ( t ) ? K 2 f 2 ( t )? ? K 1 F1 ( s ) ? K 2 F2 ( s )

例题:

已知 则 同理

1 jω t ? jω t f ( t ) ? cos(ω t ) ? e ? e 2 1 ?α t Le ? s ?α

?

?

? ?

1? 1 1 ? s L?cos?ω t ?? ? ? ? ? ? 2 2 ? s ? jω s ? jω ? s ? ω2 ? ?

ω L?sin?ω t ?? ? 2 s ? ω2

二.时域微分
? d f (t ) ? 若L? f ( t )? ? F ( s ), 则L? ? ? sF ( s ) ? f (0? ) ? dt ? 证明: ? ? ? st ? st ? ? ? ? sf ?t ? e ? st ? d t ?0 f ?t ?e d t ? f ?t ?e 0 ? ? ?0 ? ? ? ? ? f ?0? ? sF ( s ) 推广: 零状态条 ? d f 2 (t ) ? L? ? ? s?F ?s ? ? f ?0 ? ?? ? f ?(0 ? ) 件下,时 ? dt ?
? s F ( s ) ? sf (0 ? ) ? f ?(0 ? )
2

n ?1 ? d f n (t ) ? L? ? s n F ( s ) ? ? s n ? r ?1 f ( r ) ( 0 ? ) ? dt ? r ?0 ?

域微分一 次,频域 乘一个s

电感元件的s域模型
i L (t )

L

?

v L (t )

?

d i L (t ) v L (t ) ? L dt



L?i L (t )? ? I L ( s), L?v L (t )? ? VL ( s) VL ( s) ? L?sI L ( s) ? i L (0 ? )? ? sL I L ( s) ? Li L (0 ? )
电感元件的s模型

应用时域微分性质
Li L ?0 ? ?

I L ?s ?
?

Ls

V L ?s ?

?

当iL(0-)=0时, VL ( s) ? sL I L ( s)

三.时域积分
若L? f (t )? ? F ( s),则 t F ( s ) f ? ?1 ? ( 0 ? ) L? ? f (τ ) dτ ? ? ? ? ?? ? ? ? s s 证明: t 0 t ? f ?τ ?dτ ? ? f ?τ ?dτ ? ? f ?τ ?dτ
?? ?? 0

零状态条 件下,时 域积分一 次,频域 除一个s

① f


? ?1 ?

?0? ?

f

? ?1 ?

?0?




?

?

?

0

? ? ?0 ?

t

? e d t ? ?? e f ?τ ? dτ ? s ? ? ?
? st

s

? st

?

t

0

? 1 t f ?τ ? dτ ? ? ? f ?t ? e ? std t ?0 s 0

1 t F ?s ? ? st ? ? f ?t ? e d t ? s 0 s

电容元件的s域模型
iC ?t ? C

?

vC ?t ?

?

1 vC ( t ) ? C

?

t

??

ic (? ) d ?
1 ( ?1 ) 1 0? iC (0 ? ) ? ? iC (? ) d ? C C ?? ? vC (0 ? )
I C ?s ?

? I C ( s ) iC ( ?1 ) ( 0 ? ) ? 1 VC ( s ) ? ? ? ? C? s s ? 1 1 ? I C ( s ) ? vC (0 ? ) sC s
电容元件的s模型

1 sC
VC ?s ?

1 vC ?0 ? ? s

?
1 当vc(0-)=0时, Vc( s ) ? I C ( s) sC

?

四.延时(时域平移)
若L? f ( t )? ? F ( s ),则 L? f ( t ? t 0 )u( t ? t 0 )? ? F ( s ) e ? st0
?

证明:

L? f ( t ? t 0 )u( t ? t 0 )? ? ? f ( t ? t 0 )u( t ? t 0 ) e ? st d t
0?

? ? f (t ? t0 ) e d t
? st t0

?

令 τ ? t ? t0, 则有t ? ? ? t0 , d t ? dτ , 代入上式
L? f ( t ? t0 )u( t ? t0 )? ? ? f (τ ) e ? st0 e ? sτ dτ
? 0?

? F ( s ) e ? st0

时移特性、例题
【例4-1】 已知 f ?t ? ? tu?t ? 1?, 求F ?s ?
F ?s ? ? L?tu?t ? 1?? ? L??t ? 1?u?t ? 1? ? u?t ? 1?? ? 1 1 ? ?s ? ? 2 ? ?e s? ?s 【例4-2】 已知 f ( t )= 2 cos? t ? π ? u?t ?, 求F ( s)。 ? ? ? 4? π π f ?t ? ? 2 cos t cos ? 2 sin t sin ? cos t ? sin t 4 4 s 1 s ?1 F ?s ? ? ? ? 2 2 1? s 1? s 1 ? s2

见书例4-5 P185

例 求半波正弦函数的拉氏变换
f1(t)

f(t)

E
0 T/2 T


t

E
0 T/2 t

解 : f1 ( t ) ? fa ( t ) ? fb ( t )
2? 2? T T ? E sin( t )u (t ) ? E sin[ (t ? )u (t ? )] T T 2 2
t

f a (t )

E
0 T/2 T

f b (t )

E (2? ) E (2? ) ? s?T T ? T e 2 ? 2 s ? (2? )2 s 2 ? (2? )2 T T
T E (2? ) ? s? T (1 ? e 2 ) ? 2 s ? (2? ) 2 T

E
0 T/2 T t

五.s域平移(频域移位)
若L? f ( t )? ? F ( s ),则 L f ( t ) e ?α t ? F ( s ? α )

?

?

证明:

L ? f (t )e ?

? αt

? ? ? ? f (t )e? αt ? e? st d t ? 0 ? ?

?

? ? f (t )e
0

?

? ( s?a ) t

dt

? F ( s ? a)

例4-3 ?α t 求 e cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : L?cos?ω0 t ?u( t )? ? 2 2 s ? ω0
据频域移位性质
L ? f (t )e? αt ? ? F ( s ? α) ? ?

所以 e
同理 : e

?? t

s ?α cos?ω0 t ?u( t ) ? 2 2 ?s ? α ? ? ω0
ω0 sin?ω0 t ?u( t ) ? 2 ?s ? α ? ? ω02

?? t

若L? f ( t )? ? F ( s ), 则

六.尺度变换
?a ? 0?

证明:

1 ?s? L? f ( at )? ? F ? ? a ?a?
? 0

令τ ? at,则
?

L ? f (at )? ? ? f (at )e? st d t
?s? ?? ? τ ?a?

?s? ?? ? τ ?τ? 1 ? 1 ?s? ?a? L ? f (at )? ? ? f ( τ )e d? ? ? 0 ?0 f (τ )e d τ ? a F ? a ? ?a? a ? ? 时移和标度变换都有时: 见书P187

1 ? s ? ?sa 若L? f (at ? b)u(at ? b)? ? F ? ? e a ?a?

b

?a ? 0, b ? 0?

七.初值
d f (t ) 若f ( t )及 可以进行拉氏变换,且f ( t ) ? F ( s ), 则 ?? dt lim f ( t ) ? f (0 ? ) ? lim sF ( s )
t ?0? s ??

初值定理证明

f (0? ) ? lim f (t ) ? lim sF ( s)
t ?0? s??

由原函数微分定理可知 ? d f (t ) ? sF ( s ) ? f ?0? ? ? L? ? ? dt ? ? d f (t ) ? st ?? e dt 0? dt 0? d f ( t ) ? d f (t ) ? st ?? e dt ? ? e ? st d t 0? 0? dt dt ? d f (t ) ? f ?0? ? ? f ?0? ? ? ? e ? st d t 0? dt ? d f (t ) 所以 sF ( s ) ? f ?0? ? ? ? e ? std t 0? dt ? d f (t ) ? ? d f ( t ) ? st ? lim ? ? e d t? ? ? lime ? st d t ? 0 s ?? 0? dt ? ? 0? d t s ??

?

?

说明
若F ?s ?不是真分式 应化为真分式: ,

F ( s) ? F1 ( s) ? k
f (0? ) ? lim s ? F ( s) ? k ? ? lim ? sF ( s) ? ks ? ? lim sF1 ( s)
s?? s?? s??

F ?s ?中有常数项,说明f ?t ?中有δ ?t ?项。

1 已知 : F ( s ) ? , 求f (0 ? ) ? ? 例4-4 s f (0 ? ) ? lim f (t ) ? lim sF ( s ) ? 1
t ?0? s ??

即单位阶跃信号的初始值为1。
例4-5
2s F ( s) ? , 求f (0 ? ) ? ? s?1 2s 2 因为 F ?s ? ? ?? ?2 s ?1 s ?1
f ?t ?中有2? ?t ?项

? ? ? 2 ? 所以 f (0? ) ? lim?sF ( s ) ? ks? ? lim ? s? 2 ? ? ? 2 s? s?? s?? s ?1? ? ? ? ? 2s ?2 ? lim ? lim ? ?2 s?? s ? 1 s?? 1 1? s 所以 f (0? ) ? ?2

八.终值
d f (t ) 设f ( t ), 的拉氏变换存在,若 ? f ( t )? ? F ( s ),则 L dt

lim f ( t ) ? lim sF ( s )
t ?? s ?0

证明: 根据初值定理证明时得到的公式
d f ( t ) ? st sF ( s ) ? f ?0? ? ? ? e dt 0? dt ? d f (t ) lim sF ( s ) ? f ?0? ? ? lim ? e ? st d t s ?0 s ?0 0? dt ? f ?0? ? ? lim f ( t ) ? f ?0? ?
?

? lim f ( t )
t ??

t ??

九.卷积定理(时域、频域)
若L? f1 ( t )? ? F1 ( s ),L? f 2 ( t )? ? F2 ( s ),f1 ( t ), f 2 ( t )为有始信号, 则

L ? f1 (t ) ? f 2 (t )? ? F1 ( s) ? F2 ( s)
1 2? j

证明:

L ? f1 (t ) ? f 2 (t )? ?
?

F1 ( s) ? F2 ( s)

L ? f1 ? t ? ? f 2 ? t ?? ? ? ? ?

0

?

?

0

f1 ? τ ? u ? τ ? f 2 ? t ? ? ? u ? t ? τ ? d τ e? st d t

L ? f1 ? t ? ? f 2 ? t ?? ? ? ? ?

?

0

? ? f ? t ? τ ? u ? t ? τ ? e? st d t ? d τ f1 ? τ ? ? 2 ?? ? ? ?
? ?

令x ? t ? ?, t ? x ? ?, 积分区间: 改为?0 ??
L ? f1 ? t ? ? f 2 ? t ? ? ? ? f1 ? τ ? e ? ?
0 ? ? sτ

? ? f ? x ? e? sx d x ? d τ ? F ( s) ? F ( s) 1 2 ? ?0 2 ? ? ?

十.对s微分
若L ? f (t )? ? F ( s),则
d F ( s) L ? ?tf (t ) ? ? ds
d F ( s) L ?(?t ) f (t ) ? ? ? ? d sn
n n

十一.对s积分
? ? f (t ) ? 若L? f ( t )? ? F ( s ),则L? ? ? ?s F ( s ) d s ? t ?

拉氏变换的基本性质(1)
线性
微分 积分

? k f (t )
i ?1 i i

n

? k .LT [ f (t )]
i ?1 i

n

df (t ) dt

SF ( s) ? f (0 )
F ( s ) f ' (0 ? ) ? s s

?

?

t

??

f (? )d?

时移 频移

f (t ? t0 )u (t ? t0 )

e

? st0

F ( s)

f (t )e ? at

F ( s ? a)

拉氏变换的基本性质(2)
尺度变换 初值定理

f (at)
? t ?0

1 ? s ? F? ? a ?a?
s ??

lim? f (t ) ? f (0 ) ? lim SF ( s )
lim f (t ) ? f (?) ? lim SF ( s )
t ?? s ?0

终值 定理

f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理

F1 ( s ).F2 ( s)
1 F1 ( s ) * F2 ( s ) 2?j

f1 (t ). f 2 (t )

§ 4.4 拉普拉斯逆变换
主要内容
查表法 部分分式展开法 留数法 两种特殊情况

F(s)的一般形式
通常F ?s ?具有如下的有理分式形 : 式
A( s ) am s m ? am ?1 s m ?1 ? ? ? a1 s ? a0 F ( s) ? ? B( s ) bn s n ? bn?1 s n?1 ? ? ? b1 s ? b0

(m<n)

ai,bi为实数,m,n为正整数。当m ? n , F ?s ?为有理真分式 分解 零点
A( s ) am ( s ? z1 )( s ? z2 )?( s ? zm ) F ( s) ? ? B( s ) bn ( s ? p1 )( s ? p2 )?( s ? pn )

z1 , z2 , z3 ? zm 是A?s ? ? 0的根, 称为F ?s ?的零点 ?因为A( s) ? 0 ? F ( s) ? 0? 极点 p1 , p2 , p3 ? pn 是B?s ? ? 0的根, 称为F ?s ?的极点

?因为B( s) ? 0 ? F ( s) ? ??

一、查表法
简单函数利用典型信号的变换对及性质查表

例1:

?1 s ? 3s ? 1 ? s?2? s ?1 s ?1
2

? ? ?(t ) ? 2? (t ) ? e u(t )
?t

例2:

1 ? 2e s ?1
?t

? ?s

1 2 ??s ? ? e s ?1 s ?1
? ( t ?? )

? e u(t ) ? 2e

u(t ? ?)

求逆变换f(t):

s?? F ?s ? ? 2 2 ?s ? ? ? ? ?
?? t

解: 利用 L?e sin ?? t ?? ?

??? ? s?? ? F ?s ? ? ? 2 2 2 2 ?s ? ? ? ? ? ?s ? ? ? ? ?
得: f ?t ? ? e ?? t cos?? t ? ? α ? ? e ?? t sin?? t ? ?t ? 0? β

? ( s ? ?) 2 ? ? 2 s ?? t L?e cos?? t ?? ? ( s ? ?) 2 ? ? 2

二、部分分式展开法
1.第一种情况:单阶实数极点
A( s ) p1 ,? pn为不同的实数根 F ( s) ? ( s ? p1 )( s ? p2 )?( s ? pn )

2. 第二种情况:极点为共轭复数
F ?s ? ? D ?s ? ?s ? α ? ? β 2
2

?

A?s ?

?

F1 ?s ? ? ?s ? α ? jβ ??s ? α ? jβ ?

共轭极点出现在 ? α ? jβ

3.第三种情况:有重极点存在
A( s) F ( s) ? k ( s ? p1 ) ( s ? p2 )?( s ? pn )
p1为k阶重极点

1. 第一种情况:单阶实数极 点
A( s ) p1 ,? pn为不同的实数极点 F ( s) ? ( s ? p1 )( s ? p2 )?( s ? pn )

展开: F ( s ) ?
?1

kn k1 k2 ? ? ?? s ? p1 s ? p2 s ? pn
?1

k1 k2 kn ?1 ?1 L [ F ( s)] ? L [ ]? L [ ] ??? L [ ] s ? p1 s ? p2 s ? pn

? [k1e ? k2 e ? ? ? kn e ]u (t )
p1t p2t pn t

求出k1 , k2 , k3 ?kn ,即可将F ?s ?展开为部分分式

ki ? (s ? pi ) ? F (s) s? p (i ? 1,2,?n)
i

公式推导

部分分式展开法 求拉氏逆变换的过程
找出F ?s ?的极点 将F ?s ?展成部分分式

确定系数k1、k 2、 ?
查拉氏变换表求 f ?t ?

例:求逆变换

解: (1)求极点

2s 2 ? 3s ? 3 F ( s) ? 3 s ? 6 s 2 ? 11s ? 6

2s 2 ? 3s ? 3 F ?s ? ? ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3) k3 k1 k2 (2)展成部分分式 F ?s ? ? ? ? s?1 s? 2 s? 3

(3)求系数

k1 ? ( s ? 1) ? F ( s) s??1 ? 1

k2=-5,k3=6

(4)逆变换

1 ?5 6 所以 F ( s ) ? ? ? s ?1 s ? 2 s ? 3 1 ?? t 根据L e u?t ? ? s ?α

?

?

得 : f ( t ) ? e ? t ? 5 e ?2 t ? 6 e ?3 t

?t ? 0?

2. 第二种情况:极点为共轭复数
F ?s ? ? D ?s ? ?s ? α ? ? β 2
2

?

A?s ?

?

F1 ?s ? ? ?s ? α ? jβ ??s ? α ? jβ ?

共轭极点出现在 ? α ? jβ K1 K2 F ?s ? ? ? ? ...... s ? α ? jβ s ? α ? jβ
K1 ? ?s ? α ? jβ ?F ?s ? K 2 ? ?s ? α ? jβ ?F ?s ?

F1 ?? α ? jβ ? ? s ? ? α ? jβ 2 jβ

s ? ? α ? jβ ?

F1 ? ?α ? j β ? ?2 j β

可见K1 , K 2成共轭关系: K1 ? A ? j B
K2 ? A ? j B ? K
* 1

求f(t)
K1 ? A ? j B
?1

K 2 ? A ? j B ? K1

*

? ? K1 K2 fC ?t ? ? L ? ? s ? α ? jβ s ? α ? jβ ? ? ?

?e

?α t

?K e
1

jβ t

?K e
* 1

? jβ t

?

? 2e

?α t

?A cos??t ? ? B sin??t ??

例题
s2 ? 3 求F ( s ) ? 的逆变换f ( t )。 2 ( s ? 2)( s ? 2 s ? 5) s2 ? 3 F ?s ? ? ( s ? 1 ? j 2)( s ? 1 ? j 2)( s ? 2)

? ? 1, K0 K1 K2 ? ? ? s ? 2 s ? 1 ? j2 s ? 1 ? j2 ? ? 2,取? ? 0 7 K 0 ? ( s ? 2 ) F ? s ? s ? ?2 ? 5 s2 ? 3 ? 1 ? j2 1 2 K1 ? ? A? ? ,B ? ( s ? 2)( s ? 1 ? j 2) s ? ?1? j 2 5 5 5
7 ?2t 2 ? ?t ? 1 f ?t ? ? e ? 2 e ?? cos?2t ? ? sin?2t ?? 5 5 ? 5 ?

?t ? 0?

3. 第三种情况:有重根存在
k 1( k ? 1 ) k11 k12 A( s) k 1k F ( s) ? ? ? ? k k k ?1 ? ? ? 2 ( s ? p1 ) ( s ? p1 ) ( s ? p1 ) s ? p1 ( s ? p1 )

求k11,方法同第一种情况: k11 ? ( s ? p1 ) k F ( s) s ? p
求其他系数,要用下式

1

令:F1 ( s ) ? ( s ? p1 ) ? F ( s )
k

d 当i ? 2, K 12 ? F1 ( s ) s ? p1 ds 1 d2 当i ? 3, K 13 ? F1 ( s ) s ? p1 2 2 ds

公式 推导

i 1 d1?1 d i ?1 k k1i ? k1i ? ( s ?i ?p1F1 (?sF ( s) ) ) i ? ?k i ? 1,2,3,1,2,3,? k i ?1 1 is (i ? 1)!(d? 1)! d s s ? p s? p
1

1

例:求逆变换

k11 k12 k2 s F (s) ? ? ? ? 2 2 ( s ? 2)( s ? 1) ( s ? 1) s ?1 s ? 2

2

k2 为单根系数, k11为重根最高次系数
s k2 ? ( s ? 2) ( s ? 2)( s ? 1) 2
s2 k11 ? ( s ? 1) 2 2 ( s ? 2)( s ? 1)
2

?4
s ??2

?1
s ??1

求k12 ?

如何求k2?

1 d i?1 k1i ? ( s ? p1 ) k ? F ( s) (i ? 1)! d s i?1 s? p

i ? 1,2,3,? k
s ? p1

1

当i ? 2,

d k12 ? ( s ? p1 ) k ? F ( s) ds
s ??1

d ?( s ? 1) 2 F ( s) ? k12 ? ? ds ?

d ? s 2 ? 2 s ( s ? 2) ? s 2 s 2 ? 4 s ? ? ? ?? 2 d s ? s ? 2? ( s ? 2) ( s ? 2) 2

s ? 4s ? 2 ( s ? 2)
2

? ?3
s ??1

求逆变换

k11 k12 k2 F ( s) ? ? ? 2 ( s ? 1) s ?1 s ? 2 1 ?3 4 ? ? ? 2 ( s ? 1) s ?1 s ? 2
所以:

f (t ) ? L

?1

? F (s)?
?t ?2 t

? t e ? 3e ? 4e

?t

?t ? 0?

三.F(s)两种特殊情况
非真分式—— 化为真分式+多项式
?s

含e 的非有理式

1.非真分式——真分式+多项式
s 3 ? 5s 2 ? 9s ? 7 F ( s) ? s 2 ? 3s ? 2
s?2 s 2 ? 3s ? 2 s 3 ? 5s 2 ? 9s ? 7 s 3 ? 3s 2 ? 2s 2s 2 ? 7 s ? 7 2s 2 ? 6s ? 4 s?3

作长除法

s?3 F ( s) ? s ? 2 ? ? s ? 2 ? F1 ( s ) ?s ? 1??s ? 2? 2 1 F1 ( s ) ? ? s?1 s? 2

f ?t ? ? ? ??t ? ? 2? ?t ? ? 2 e ? t u(t ) ? e ?2 t u(t )

2.含e-s的非有理式

e? s 项不参加部分分式运算 , 求解时利用时移性质 。 ?2 s e ?2s ? F1 ( s ) e 2 s ? 3s ? 2
1 ?1 F1 ( s ) ? ? s?1 s? 2

所以 f1 (t ) ? L ?F1 ( s )? ? e ? e
?1 ?t

?

?2 t

所以 f ?t ? ? f1 ?t ? 2? ? e?( t ? 2) ? e?2( t ? 2)

?

?u(t ) ?u(t ? 2)

§ 4.5 用拉普拉斯变换法分析 电路、s域元件模型
主要内容
用拉氏变换法分析电路的步骤
微分方程的拉氏变换

利用元件的s域模型分析电路

拉氏变换分析法

拉氏分析法

拉氏变换分析法是分析线性连续系统的
有力工具,它将描述系统的时域微积分方程

变换为s域的代数方程,便于运算和求解;变
换自动包含初始状态,既可分别求得零输入

响应、零状态响应,也可同时求得系统的全
响应。

一、用拉氏变换法分析电路的步骤
列s域方程(可以从两方面入手) ? 列时域微分方程,用微分性质求拉氏变换 ;

? 直接按电路的s域模型建立代数方程。 求解s域方程(代数方程)。
F ( s ) ? f ( t ) ,得到时域解答。

二、 拉氏分析法(微分方程)

an y (t ) ? an?1 y
(n)

( n?1)

(t ) ? ? ? a0 y(t )

? bm x

( m)

(t ) ? bm?1 x

( m?1)

(t ) ? ? ? b0 x(t )
( n?1)

(1) 输入信号x(t) 为有始信号

x(0 ? ) ? 0, x '(0 ? ) ? x "(0 ? ) ? ? ? x

(0 ? ) ? 0

(2) 系统响应y(t), 初始状态已知为:

y(0 ? ), y '(0 ? ), y "(0 ? )? y

( n?1)

(0 ? )

方程两边取拉氏变换,考虑到时域微分性质 右边: an y
( n)
(n)

(t ) ? an?1 y
n n?1

( n?1)

(t ) ? ? ? a0 y(t )
n ?2 ( n?1)

an y (t ) ? an [s Y (s) ? s y(0 ? ) ? s y?(0 ? ) ? ? ? y
an?1 y
( n?1) n?1 n ?2 n?3

(0 ? )]

?(0 ? ) ? ? ? y ( n?2) (0 ? )] (t ) ? an?1[s Y (s) ? s y(0 ? ) ? s y ... ...

a1 y (t ) ? a1[sY (s) ? y(0 ? )]
'

a0 y( t ) ? a0Y ( s)

左边: bm x

( m)

(t ) ? bm?1 x
(m)

( m?1)

(t ) ? ? ? b0 x(t )

bm x ( t ) ? bm s X ( s)
m

bm?1 x

( m ?1 )

( t ) ? bm?1 s

m ?1

X ( s)

... ...

b1 x' ( t ) ? b1sX ( s)

b0 x( t ) ? b0 X ( s)
? ( bm s ? bm?1 s
m m ?1

? ?b1 s ? b0 ) X ( s)

整理成

( an s ? an?1 s
n

n?1
m

? ?a1 s ? a0 )Y ( s)
m ?1

? ( bm s ? bm?1 s
A0(s) A1(s) An-2(s)

? ?b1 s ? b0 ) X ( s)
n ?2

?(an s

n?1

? an?1s
... ...

??a1 ) y(0 ? )

?(an s

n ?2

? an?1s

n?3

??a2 ) y '(0 ? )
( n?1)

?(an s ? an?1 ) y

( n?2)

(0 ? ) ? an y

(0 ? )

An-1(s)

( an s n ? an?1 s n?1 ? ?a1 s ? a0 )Y ( s)

? ( bm s ? bm?1 s
m

m ?1

bm s ? bm?1s ? ?b1s ? b0 ?Y ( s) ? n X ( s) n?1 an s ? an?1s ? ?a1s ? a0
m

? ?b1 s ? b0 ) X ( s) ?? Ai ( s) y (0 ? )
(i )

n?1 i ?0

m ?1

?

an s ? an?1s

i ?0 n

? A (s)y
i

n?1

(i )

(0 ? )

n?1

? ? ? a0

? Yzs (s) ? Yzi (s)

y( t ) ? L?1[Y ( s)] ? L?1[Yzs ( s)] ? L?1[Yzi ( s)] ? yzs ( t ) ? yzi ( t )

Yzs (s) H ( s) ? X ( s)

系统函数

拉氏分析法(复频域分析法)

例4-5-1:求系统响应y(t)。已知

y??( t ) ? 5 y?( t ) ? 6 y( t ) ? 2 x?( t ) ? 8 x( t ) ?t ? ?(0? ) ? 2, x( t ) ? e ? ( t ), y(0 ) ? 3, y
解:方程两边作拉氏变换

[s 2Y (s) ? sy(0 ? ) ? y?(0 ? )] ? 5[sY (s) ? y(0 ? )] ? 6Y ( s)

? 2sX ( s) ? 8 X ( s)
sy (0 ? ) ? y?(0 ? ) ? 5 y(0 ? ) 2s ? 8 ?Y ( s ) ? 2 X ( s) ? 2 s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 6

Y (s) ? Yzs (s) ? Yzi (s)

1 x( t ) ? e ? ( t ) ? X ( s) ? s ?1
?t

2s ? 8 1 3 4 1 Yzs ( s) ? ? ? ? ? ( s ? 2)( s ? 3) s ? 1 s ? 1 s ? 2 s ? 3
3 s ? 17 11 8 Yzi ( s) ? ? ? ( s ? 2)( s ? 3) s ? 2 s ? 3

yzs ( t ) ? ( 3e ? 4e
yzi ( t ) ? 11e
?2 t

?t

?2 t
?3 t

?e

?3 t

)? ( t )

? 8e

( t ? 0)
?t ?2 t

? y( t ) ? yzs ( t ) ? yzi ( t ) ? 3e ? 7e

? 7e ( t ? 0)

?3 t

拉氏分析法的优点
1.把微分方程转化成代数方程求解。

2. 0- 到? 作单边拉氏变换,0-状态自动包含 其中,自动引入初始条件。
3.已知电路也可求解。

先列写电路的 微分方程

三、利用元件的s域模型分析电路
1.各电路元件的s域模型 2.电路定理的推广
i ( t ) ? I ( s ),
KCL : ? i (t ) ? 0 ? ? I ( s) ? 0

v(t ) ? V ( s)

KVL : ? v(t ) ? 0 ? ?V ( s ) ? 0

线性稳态电路分析的各种方法都适用。

电阻元件的s域模型

v R ?t ? ? Ri R ?t ?

VR ( s) ? RI R ( s)

VR ( s ) 或I R ( s ) ? R

电感元件的s域模型
d i L ?t ? v L ?t ? ? L VL ( s) ? I L ( s) Ls ? LiL (0? ) dt 电容元件的s域模型

1 t vC ?t ? ? ? iC ?? ?d t C ??
R I R (s )

1 1 VC ( s ) ? I C ( s ) ? vC (0 ? ) sC s
Ls Li L ?0 ? ?

I L ?s ?
?

?

VR (s )

?

?

?

I C ?s ?

1 sC VC ?s ?

1 v C ?0 ? ? s

V L ?s ?

?

?

?

零状态条件下:
R I R (s )

电阻

?

VR (s )

?

电感

I L ?s ?
?

Ls Li L ?0 ? ?

?

?

VL(s) ?s ?
1 sC VC ?s ?

?
1 v C ?0 ? ? s

电容

I C ?s ?

?

?

利用元件的s域模型求响应的步骤
? 由时域电路模型画s域等效模型; ? 据KCL和KVL列s域方程(代数方程); ? 拉氏反变换求v(t)或i(t)。

? 解s域方程,求响应的拉氏变换V(s)或I(s);

例4-5-3
?? E t ? 0 已知 e( t ) ? ? ? E t ?0 利用s域模型求vC ?t ? ? ?
R iC (t ) e(t )
C

? ?

vC (t )

vC (0 ? ) ? ? E
对应的s域模型如图: 列s域方程:
E s
R

I C (s ) 1 sC

?

1 ? E E ? I C ( s )? R ? ?? ? sC ? s s ?

VC (s ) E ? s

?

所以

IC ( s) ?

2E 1 ? ? s? R ? ? sC ? ?
E VC ( s ) ? ? s 2E 1 s? RC

1 ?E VC ( s ) ? I C ( s ) ? ? sC s

?1 ? 2 e vC (t ) ? E ? ?

?

t RC

? ? ?

?t ? 0?
E

vC ?t ?

结果同例4-5-2,但不 需要列写微分方程

O

t

?E

小结:

拉氏分析法解电路问题的方法:
? ?

由微分方程或电路求解 由复频域电路模型求解

§4.6 系统函数(网络函数)H(s)
?系统函数H(s) ?LTI互联网络的系统函数 并联 级联 反馈连接

1. 定义:
系统函数—零状态条件下系统零状态响应 的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。
Yzs ( s ) H ( s) ? X ( s)

系统函数H(s)的含义

从频域反映系统的特性

设系统的单位冲激响应为h(t),激励为x(t),零状态响 应为yzs(t),则有:

y zs ?t ? ? x?t ? ? h?t ?
Yzs ?s ? ? X ?s ? ? H ?s ?

即 L[h(t )] ? H (s)

一对拉氏变换对

系统时域特性h(t),频域特性H(s)

2.H(s)的分类
策动点函数:激励与响应在同一端口时
? V1 ?s ? ?
1? 1 I1 ?s ?

单端口 网络

V1 ( s ) H ( s) ? I 1 ( s) 策动点阻抗

策动点导纳

转移函数:激励和响应不在同一端口 1 I1 ?s ? 2 I 2 ?s ? ? ? 双端口 V2 ?s ? V1 ?s ? 网络 ? ?

I 2 ( s) H ( s) ? V1 ( s )
转移导纳

1?

2?

V2 ( s ) V2 ( s ) H ( s) ? H ( s) ? V1 ( s ) I 1 ( s) 电压比 转移阻抗

I 2 ( s) H ( s) ? I1 ( s)
电流比

3.H(s)的求法
h?t ? ? H ?s ?
微分方程两端在零状态条件下取拉氏变换→

bm s ? bm?1s ? ?b1s ? b0 H ( s) ? n n ?1 an s ? an?1s ? ?a1s ? a0
m m ?1

利用网络的s域元件模型图,列s域方程求解。

例4-6-1 d 2 r (t ) d r (t ) d 2 e(t ) d e(t ) 已知系统 ?5 ? 6r (t ) ? 2 ?6 , 2 2 dt dt dt dt 求系统的系统函数H ( s)。

(1)在零状态下,对原方程两端取拉氏变换

s R( s ) ? 5sR( s ) ? 6 R( s ) ? 2s E ( s ) ? 6sE ( s )
2 2

R? s ? 2s 4 则 H ( s) ? ? ? 2? E ?s ? s ? 2 s?2

例4-6-2
I c ( s) 利用s域模型求H(s)= ?? V ( s)
e(t )

R iC (t )
C

? ?

vC (t )

零状态条件下,系统对 应的s域模型如图如左: 列s域方程:
1 ? ? I C (s) ? R ? V (s) ? ? V (s) sC ? ? 1 s I c (s) 1 ? ? H (s) ? ? R (s ? 1 ) V ( s) R ? 1 Rc sc
R
I c (s)

1 sc

4.应用:
?

求系统的零状态响应

方法一:H ( s) ? h(t ) ? y zs (t ) ? x(t ) ? h(t )

方法二:Yzs ( s) ? H ( s) X ( s) ? y zs (t )
?

由H(s)判断系统的时域特性、频响特性、稳定性

例4-6-1
d r (t ) d r (t ) d 2 e(t ) d e(t ) 已知系统 ?5 ? 6r (t ) ? 2 ?6 ,激励为 2 2 dt dt dt dt e(t ) ? (1 ? e ?t )u (t ),求系统的 h(t )、H ( s)和零状态响应 rzs (t )。
2

(1)在零状态下,对原方程两端取拉氏变换
s 2 R( s ) ? 5sR( s ) ? 6 R( s ) ? 2s 2 E ( s ) ? 6sE ( s )
R? s ? 2s 4 则 H ( s) ? ? ? 2? E ?s ? s ? 2 s?2

h(t ) ? 2? (t ) ? 4 e?2t u(t )
(2) 因为

RZS ( s) ? H ( s) ? E ( s)
2s 2s ? 1 2( 2 s ? 1) 6 2 ? ? ? ? s ? 2 s( s ? 1) ( s ? 2)( s ? 1) s ? 2 s ? 1 rZS ( t ) ? ?2 e ? t u( t ) ? 6 e ?2 t u( t )

所以 RZS ( s ) ? 所以

二.LTIS互联的系统函数
1.LTI系统的并联
E ?s ?

H 1 ?s ?

R? s ?

H 2 ?s ?

h?t ? ? h1 ?t ? ? h2 ?t ?

H ( s) ? H 1 ( s) ? H 2 ( s)
R? s ?

2.LTI系统的级联
E ?s ? H 1 ?s ? H 2 ?s ?

h(t ) ? h1 (t ) ? h2 (t )

H ( s ) ? H1 ( s ) ? H 2 ( s )

3.LTI系统的反馈连接
E ?s ? ? E1 ? s ?

E 2 ?s ?

?

H 1 ?s ?

R? s ?

H 2 ?s ?

E1 ( s ) ? E ( s ) ? E 2 ( s )

R( s) ? H 1 ( s) ? ?E ( s) ? E 2 ( s)?

E 2 ( s) ? R( s) ? H 2 ( s)

? H 1 ( s) E( s) ? H 1 ( s) E 2 ( s) ? H 1 ( s) E( s) ? H 1 ( s) H 2 ( s) ? R( s)
所以 R( s ) H1 ( s) H ( s) ? ? E ( s) 1 ? H1 ( s)H 2 ( s)

例4-6-2
已知系统的框图如下,请写出此系统的系统函数和 描述此系统的微分方程。 E ?s ? ? 1 R?s ?
?
s

3

1 1 s H ?s ? ? ? 1 1? ?3 s ? 3 s

R? s ? 1 H ?s ? ? ? E ?s ? s ? 3

sR?s ? ? 3 R?s ? ? E ?s ?

d r (t ) 所以 ? 3r ( t ) ? e ( t ) dt

§4.7 由系统函数零、极点分 布决定时域特性
? H(s)零、极点与h(t)波形特征 ? H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、 强迫响应特性的对应

一.H(s)零、极点与系统零极点图

1.系统函数的零、极点
( s ? z1 )( s ? z 2 ) ? ? ? ( s ? z j ) ? ? ? ( s ? z m ) A( s ) H ( s) ? ?K B( s ) ( s ? p1 )( s ? p2 ) ? ? ? ( s ? pk ) ? ? ? ( s ? pn )

? (s ? z
?K
j ?1
n k ?1

m

j

)
)

? (s ? p

k

系统函数的零点: z1 , z2 ??? zm
系统函数的极点: p1 , p2 ??? pn

2. 系统函数的零极点图
在s平面上, 极点:用×表示,零点:用○表示,

画出的图形为H(s)的零极点图。

4-7-1 画出如下系统的零极点图
s( s ? 1 ? j1)( s ? 1 ? j1) H ( s) ? ( s ? 1) 2 ( s ? j 2)( s ? j 2)
极点:
j?
j2

p1 ? p2 ? ?1, p3 ? ? j 2, p4 ? j 2

1? j
?1 0

? 1? j
? j2

零点:

z1 ? 0,

z2 ? 1 ? j1, z3 ? 1 ? j1,

2. H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应 一阶极点
1 ?1 H ( s) ? , p1 ? 0在原点, h( t ) ? L [ H ( s )] ? u( t ) s 1 H ( s) ? , p1 ? ? a s?a a ? 0, 在左实轴上 , h( t ) ? e ? at u( t ), 指数衰减
a ? 0, 在右实轴上 , h( t ) ? e ?at u( t ), ?a ? 0, 指数增加 ω H ( s) ? 2 , p1 ? jω, 在虚轴上 2 s ?ω h( t ) ? sinωtu( t ),等幅振荡 ω p1, 2 ? ?α ? jω h(t ) ? e ? at sin ?tu(t ) H ( s) ? , 2 2 (s ?α ) ?ω

当 α ? 0 ,极点在左半平面,衰减振荡 当 α ? 0,极点在右半平面,增幅振荡

二阶极点
1 H ( s ) ? 2 , 极点在原点 h( t ) ? tu( t ), t ? ?, h( t ) ? ? , s 1 H ( s) ? , 极点在实轴上, 2 ( s ? a)

h( t ) ? t e ??t u( t ), α ? 0, t ? ?, h( t ) ? 0
2s H ( s) ? 2 , 在虚轴上, 2 2 (s ?ω ) h(t ) ? t sin tu(t ), t ? ?, h(t ) 增幅振荡

几种典型情况图示
jω0

j?



O

α

?

? jω0

H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应关系:
极点于S面左半平面 极点于S面右半平面 极点于S面虚轴上 h(t)呈衰减形式 h(t)呈增长形式 h(t)等幅振荡或等值

二.H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应 特性的对应 激励: e( t ) ? E ( s ) 系统函数: h( t ) ? H ( s )
E ( s) ?

? (s ? z ) ? (s ? P )
k ?1 k l ?1 v l

u

H ( s) ?

? (s ? z
j ?1 n i ?1

m

j

)

? (s ? P )
i

响应:
R(s ) ?

r ( t ) ? R( s )
u l ?1 v l

? (s ? z ) ? (s ? z
?
j ?1 n
k ?1 k

m

j

)

? (s ? P ) ? (s ? p )
n
i ?1 i

Ai Ak ?? R(s ) ? ? i ?1 s ? p i k ?1 s ? p k
v

n

r ( t ) ? L?1 ?R( s )? ?

Ai e pi t u( t ) ? ? Ak e pk t u( t ) ?
i ?1 k ?1

v

自由响应分量 +强迫响应分量

Ai e pi t u( t ) ? ? Ak e pk t u( t ) r ( t ) ? L ?R( s )? ? ?
?1
i ?1 k ?1

n

v

结论:
自由响应的响应形式由H(S)的极点决定。

强迫响应的响应形式由E(S)的极点决定。
H(S)和E(S)的零点只是影响响应的幅度和相位。

s?3 H (s) ? ? h(t ) ? e ?3t cos(2t )u (t ) 2 2 ( s ? 3) ? 2 s ?1 H (s) ? ? h(t ) ? 2e ?3t cos(2t ? 45? )u (t ) ( s ? 3) 2 ? 2 2

§ 4.8 由系统函数零、极点分布 决定频响特性
?定义 ?几种常见的滤波器

?根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线

一.系统频响特性定义
系统的前提:稳定的因果系统。

一般有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
时域条件:

? |h ? t ? | dt ? M
??

?

频域条件: H(s)的全部极点落在s左半平面。

设系统函数为H ? s ?,激励源e ? t ? ? Em sin ? ω0t ? 系统的稳态响应y mm(t)。
e(t)

E ( s) ?

Em?0

ymm(t)

H(S)
Em?0 s
2 2 ??0

Yzs ( s) ? E ( s) ? H ( s) ?
k? j?0 k j?0

2 s 2 ??0

? H ( s)

kn k1 k2 ? ? ? ? ??? s ? j?0 s ? j?0 s ? p1 s ? p2 s ? pn

yzs (t ) ? Em H 0 sin(?0t ? ?0 ) ? k1e ? k2e
p1t

p2t

? ? ? kn e
s ? j ω0

pnt

其中H 0 e

j?0

?| H ( j?0 ) | e

j ? (?0 )

? H ? j ω0 ? ? H ? s ?

yss (t ) ? lim yzs (t ) ? E m H 0 sin(?0t ? ?0 )
t ??

系统的稳态响应 e(t) 系统的稳态响应为: ymm ? t ? ? Em H 0 sin ? ω0t ? ?0 ? (1)
其中H 0 e j?0 ? H ? s ? s ? j ω0

ymm(t)

H(S)

? H ? j ω0 ? ?| H ( j?0 ) | e j? (?0 ) (2)

由(1):在频率为ω 0的正弦激励信号作用下,系统的稳态 响应仍为同频率的正弦信号,幅度被乘以系数H0,相位变 化φ 0。
由(2): H0和φ 0是系统函数H(s)在jω 0处的幅值和相位。

同理:在频率为ω 1、ω 2、? ω 的正弦激励信号作用下, 系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号,幅度被乘以系数 H1、H2、?H,相位变化φ 1、 φ 2 ? φ 。

定义:

所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励 下稳态响应随频率的变化情况。记为: ω? H ?j

ymm ? t ? ? Em H sin ? ωt ? ? ?
H ? jω? ? H ? s ? s ? jω ? H ? jω? e
j? ? ω ?

理解系统频 响特性意义

? ?ω?——相频特性(相移特性)

H ?jω? ——幅频特性

H ? jω? ? H ? jω? e
幅频特性:
H1 H2 H3 O H ?j? ?

j? ? ω ?

系统的频响特性由系 统自身的结构决定, 与激励没有关系。

相频特性: φ

?1 ?2

?3

?

φ2 φ3

1

? (? )

低通滤波器(LPF)

系统函数:H(s),H(jω )和h(t)的关系
拉氏变换对:

h(t)?H(S)

傅氏变换对:

h(t)?H(jω )

H ? jω? ? H ? s ?

s ? jω

二.几种常见的滤波器的频响特性
H ? j? ?

低通滤波器

H ? j? ?

高通滤波器

通带
O

阻带

?c 截止频率
H ? j? ?

?

O

?c

?

带通滤波器

H ?j? ?

带阻滤波器

O

?c1

?c 2

?

O

?c1

?c 2

?

三.根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线

H ?s? ? K

?? s ? z ?
m j

?? s ? P ?
i i ?1

j ?1 n

H ? jω? ? H ? s ?

s? jω

?K

? ? jω ? z ?
m j

? ? jω ? p ?
i i ?1

j ?1 n

因此H ? j ω?的特性与零极点的位置有关。
将 j ω ? z j、ω - pi 都看作两矢量之差,将 j 矢量图画于复 平面内。

令分子中每一项 令分母中每一项

jω ? z j ? N j e

jψ j

j ω ? Pi ? M i e


j θi

θi

Mi pi
Nj

zj

ψj
σ

S平面

O

H ? j ω ? ? H ?s ? s ? j ω ? K
jψ1

由矢量图确定频率响应特性 ? ?jω ? z ?
m j ?1 n j



p1
M3 θ3

z1
N1 ψ1

? ? jω ? p ?
i ?1 i

θ1 M1

N3

ψ3
z3 σ

N1 e N 2 e ? N m e H ?jω? ? K M1 e jθ 1 M 2 e jθ 2 ? M n e jθ n
N 1 N 2 ? N m e j?ψ1 ?ψ2 ??ψm ? ?K j?θ 1 ?θ 2 ??θ n ? M1 M 2 ? M n e

jψ2

jψm

p3

M2 θ2 p2

N2 ψ2
z2

w 变 化 时 , jw 沿 虚 轴

? ?ω? ? ?ψ1 ? ψ2 ? ?ψm ? ? ?θ 1 ? θ 2 ? ?θ n ?

N1 N 2 ? N m H ?jω? ? K M1 M 2 ? M n

移动时,各矢量的 模和辐角都随之改 变,于是得出幅频 特性曲线和相频特 性曲线。

例4-8-1 由系统函数的零、极点画出系统的频响特性。
R V2 ( s) ? H ?s? ? V1 ( s) R ? 1 sC s
H ( s) ? 1 s? RC
? V1 ?s ? ?

1 sC R

?
V2 ?s ?

?

j?

零点:z1 ? 0 极点:p1 ? ?

1 RC
? 1 RC

M1

N1

jω N 1 e jψ1 H ?jω? ? ? ? 1 ? M1 e jθ 1 jω ? ? ? ? ? RC ?

?1
O

?1

?

N1 | H ? j ω ? |? M1

频响特性分析
M1

j?

?ω ? 0 H ?jω? ? 0 ? 1 1 ? H ?jω? ? ?ω ? RC 2 ? ?ω ? ? H ?jω? ? 1 ?

N1

?1
?
1

?1
O

1 RC

?

??ω? ? ?1 ? ?1 ? ? 2 ? ?1
π ? ?ω ? 0 ? ?ω? ? 2 ? 1 π ? ? ?ω? ? ?ω ? RC 4 ? ?ω ? ? ? ?ω? ? 0 ? ?

0.5

辐频特性
0 2 4 6 8 10

0 2 1.5 1 0.5 0

相频特性

0

2

4

6

8

10

§ 4.8小结:
?

频响特性的定义与含义 由H(s)的零、极点确定系统的频响特性 H(s)、H(jω)、h(t)的关系

? ?

§4.9 全通函数与最小相移函数 的零、极点分布
?全通网络 ?最小相移网络

?非最小相移网络

一.全通网络
所谓全通是指它的幅频特性为常数,对全部频率 的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。
H ?jω? ? K


全通网络的特点:
?极点位于左半平面, ?零点位于右半平面, ?零点与极点对于虚轴 互为镜像

p1
M3 θ3 p3

z1
N1 ψ1

θ1 M1

N3

ψ3
z3 σ

M2 θ2 p2

N2 ψ2
z2

频率特性

N 1 N 2 N 3 j??ψ1 ?ψ2 ?ψ3 ???θ 1 ?θ 2 ?θ 3 ?? H ?jω? ? K e M1 M 2 M 3 ? Ke
j??ψ1 ?ψ2 ?ψ3 ?? ?θ 1 ?θ 2 ?θ 3 ??

由于N1N2N3与M1M2M3相消,幅频特性等于常数K,即
H ?jω? ? K

?幅频特性——常数 ?相频特性——不受约束 ?全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性, 只改变信号的相位频谱特性,在传输系统中常用来进

行相位校正,例如,作相位均衡器或移相器。

二.最小相移网络
若网络函数在右半平面有一个或多个零点,就称为“非 最小相移函数”,这类网络称为“非最小相移网络”。


? 零点仅位于左半平面或ω轴的网络称为“最小相 j 移网络”





p1

z1 j 2
j1

p3

j2
j1

z3

?2

?1

?1 θ 1
? j1

? ψ11
1 2

O

?

?2

?1
? j1

O

? θ 33

?3 ψ3
1
z4

2

σ

p2

z2 ? j 2

p4

? j2

?1 ? ?3

?1 ?? 3

| ψ1 ? θ1 |?| ψ3 ? θ3 |

三.非最小相移网络

非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。
jω jωj
O
? jωj


z1 z1

jωj
O

σj
z2

?

?σ j

+
σ

jωj



?σ j

O
? jωj

σj ?

z2

? jωj

非最小相移网络

最小相移网络
2 2 2 2 j j j

全通网络
2 j 2 j

非最小相 移函数

?s ? σ ? ? ω ?s ??? ? σ ? ?? H ?s ? ? ? ?H???s???? ω ???s ? σ ? ? ω ? ? ? ?? ??? ? ?
min j 最小相移函数 全通函数

§4.10 线性系统的稳定性
?引言 ?定义(BIBO) ?证明

?由H(s)的极点位置判断系统稳定性

稳定性是系统自身的性质之一,系 统是否稳定与激励信号的情况无关。

冲激响应 h(t)、和 H(s)系统函数从两
方面表征了同一系统的本性,所以能

从两个方面确定系统的稳定性。

一.系统的稳定性
一个系统,如果对任意的有界输入,其零状 态响应也是有界的,则称该系统为有界输入有界 输出(BIBO)稳定的系统,简称稳定系统。
数学描述: 对所有的激励信号e(t)

e ?t ? ? M e
其响应r(t)满足

r ?t ? ? Mr

则称该系统是稳定的。式中, Me , Mr为有界正值。

二、系统稳定性的判定
时域: h(t ) d t ? ? (t)绝对可积 h ?
?? ?

从频域:要求H(s)的极点位于S平面左半平面 h(t)绝对可积:系统稳定的充分必要条件

三.系统稳定性分类及判断 频域
1.稳定系统

时域
lim h( t ) ? 0
t ??

H(s)的极点 位于s左半平面 H(s)的极点 位于s右半平面

2.不稳定系统

lim h( t ) ? ?
t ??

3.临界稳定系统 H(s)极点

t ? ?, h(t )
为非零数值 或等幅振荡

位于s平面虚轴上

例4-10-1
如图所示反馈系统,子系统的系统函数

G ?s ? ?

?s ? 1??s ? 2?

1

F ?s ?

? ?

X ?s ?

G ?s ?

Y ?s ?

?

k

当常数k满足什么条件时,系统是稳定的? 加法器输出端的信号 输出信号

X ?s ? ? F ?s ? ? kY ?s ?

Y ?s ? ? G?s ?X ?s ? ? G?s ?F ?s ? ? kG?s ?Y ?s ?

则反馈系统的系统函数为

1 Y ?s ? G ?s ? ? 2 H ?s ? ? ? F ?s ? 1 ? kG ?s ? s ? s ? 2 ? k
H ?s ?的极点
p1, 2 1 9 ?? ? ?k 2 4

为使极点均在s左半平面,必须

9 ?k ?0 4

OR

?9 ?4 ? k ? 0 ? ? ?? 1 ? 9 ? k ? 0 ? 2 4 ?

可得 k ? 2,即k ? 2时系统是稳定的。

连续时间系统稳定性判断

罗斯-霍尔维兹准则

(本部分内容自修)

罗斯-霍尔维兹准则?

设n阶线性连续系统的系统函数为

B( s ) bm s m ? bm?1s m?1 ? ? ? b1s ? b0 H ( s) ? ? n n ?1 A( s ) an s ? bn ?1s ? ? ? a1s ? a0
式中,m≤n,ai(i=0, 1, 2, …, n)、bj(j=0, 1, 2, …, m)是实常数。H(s) 的分母多项式为

A( s) ? an s ? an ?1s
n

n ?1

? ? ? a1s ? a0

H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面, 则A(s)称为霍尔维兹多项式。? A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是:A(s)的各项系数ai都 不等于零,并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数, 可把负号归于H(s)的分子B(s),因而该条件又可表示为ai>0。显 然, 若A(s)为霍尔维兹多项式, 则系统是稳定系统。?

罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准
则,称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包 括两部分,一部分是罗斯阵列,一部分是罗斯判据(罗斯准则)。

罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准
则,称为罗斯-霍尔维兹准则 (R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包 括两部分,一部分是罗斯阵列,一部分是罗斯判据(罗斯准则)。

若n为偶数,则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列 共有n+1行(以后各行均为零),第三行及以后各行的元素按以 下规则计算:

罗斯判据(罗斯准则) 指出: 多项式A(s)是霍尔维兹多项式 的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。 若第 一列元素的值不是全为正值, 则表明A(s)=0在右半平面有根, 元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次

数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹
多项式的定义,若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正 值),则H(s)的极点全部在左半平面, 因而系统是稳定系统。 若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同, 则系统是不稳 定系统。?

综上所述,根据H(s)判断线性连续系统的方法是:首先根 据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0, 1, 2, …, n)。 若ai 中有缺项(至少一项为零),或者ai 的符号不完全相同,则 A(s)不是霍尔维兹多项式, 故系统不是稳定系统。若A(s)的系 数ai无缺项并且符号相同,则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要 条件,然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳

定。

例 4.8-2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为

s?2 H1 ( s ) ? 4 s ? 2 s 3 ? 3s 2 ? 5 2s ? 1 H 2 ( s) ? 5 s ? 3s 4 ? 2 s 3 ? 3s 2 ? 2 s ? 1 s ?1 H 3 ( s) ? 3 s ? 2 s 2 ? 3s ? 2
判断三个系统是否为稳定系统。

解 H1(s)的分母多项式的系数a1=0,H2(s)分母多项式的系数 符号不完全相同,所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定系统。 H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值,因此,进一步用RH准则判断。H3(s)的分母为

A3 ( s ) ? s ? 2 s ? 3s ? 2
3 2

A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4,罗斯阵列为

1 2 c2 d2

3 2 c0 d0

根据式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21), 得

1 3 ?1 c2 ? ?2 2 2 2 2 2 ?1 d2 ? ?2 2 2 0

1 0 ?1 c0 ? ?0 2 2 0 2 0 ?1 d0 ? ?0 2 0 0

因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零,所以根据? R-H准则,H3(s)对应的系统为稳定系统。

例 4.8-3 图 4.8-4 所示为线性连续系统的S域方框图表示。 图中,H1(s)为

K H1 ( s ) ? s( s ? 1)( s ? 10 )

K取何值时系统为稳定系统。

+ F(s) -

X(s) H1 (s) Yf(s)

图 4.8-4 例 4.8-3 图

解 令加法器的输出为X(s), 则有

X ( s) ? F ( s) ? Y f ( s) Y f ( s) ? H1 ( s) X ( s) ? H1 ( s)[ F ( s) ? Y f ( s)]
由上式得

H1 ( s ) Y f ( s) ? F ( s) 1 ? H1 ( s ) H1 ( s ) K H ( s) ? ? ? 3 2 F ( s ) 1 ? H1 ( s ) s ? 11s ? 10 s ? K Y f ( s)

根据H(s)的分母构成罗斯阵列,得

1 11 c2 d2

10 K c0 d0

由式(4.8-20)和式(4.8-21)计算阵列的未知元素,得到阵列为
1 11 K? ? ?10 ? ? 11 ? ? ?K

10 K 0 0

K? ? 根据R-H准则,若 ?10 ? ? ? 0 和-K>0,则系统稳定。 根 11 ? ? 据以上条件,当K<0时系统为稳定系统。

§4.12 拉普拉斯变换与傅里叶变 换的关系

引言
我们在引出拉氏变换 , 是针对 f ?t ? 不满足绝对 时 可积条件, 对其乘以一个衰减因子 e 演变为拉氏变换
??t

, 作傅氏变换,

L? f ( t )? ? F f ( t ) ? e

?

?σ t

u( t ) ? F ?s ? s?σ ? jω

?

傅氏变换与拉氏变换的关系
当t ? 0 f (t ) ? 0

双边拉氏变换 s ? σ ? jω ??? t ? ?
σ ?0

单边拉氏变换 s ? σ ? jω 0?t??
L? f ?t ?? ? F f ?t ?u?t ? e ?σt ( s ? σ ? jω)

傅氏变换 s ? jω ??? t ? ?

?

?

一. σ 0 ? 0 时, 收敛边界落于 s 平面右半边 当
f ( t ) ? eα t u( t ) (α ? 0)
1 其拉氏变换 : F ?s ? ? s ?α 收敛域 : σ ? α
eα t u?t ?



O

t

O α

σ

f (t )增长,不满足绝对可积的条件,F ( jω)不存在

二. σ 0 ? 0时, 收敛边界落于 平面左半边 当 s

f ?t ? ? e

?α t

u( t )

(α ? 0)

1 F ?s? ? s?α
e ?α t u?t ?

F (jω) ? F ?s ? s? jω


收敛域 : σ ? ?α

O

t



O

σ

1 f(t)衰减函数,傅氏变换存在: F (j ω) ? jω ? α

三.当σ 0 ? 0时, 收敛边界位于虚轴
因为傅氏变换中包括奇异函数项。

F ? s ? 是存在的,F ? jω ? 与F ? s ? 之间不再是简单的置换关系,

例如: ?t ? ? u?t ? f
1 1 F ?s ? ? , F (j ? ) ? π ? (? ) ? j? s

那么如何由 ?s?求F ?jω?? F

那么如何由 ?s?求F ?ω?? F
对于只有一阶极点的情况,极点位于虚轴

由F ?s? 出发 ,将其展开成部分分式 : kn L[ f ( t )] ? F ( s ) ? ? , (jωn为极点) n s ? jωn 则
n

F [ f (t )] ? F ( s ) |s ? jω ? π ? kn δ (ω ? ωn )
一系列冲 激之和: 每个一阶极点位于 s ? j?n 处, 每个冲激函数与每个极 点相对应, 而冲激函数之强度为kn ? π。

F ?s ?中以 j? 代 s

证明:

根据变换的惟一性 ?F ( s) ? f ( t ) ? F (jω)?

kn jωn t F ( s) ? ? ? f ( t ) ? ? kn e u( t ) n s ? jωn n

? ? jωn t F ?jω? ? F ? ? kn e u( t )? ? n ?

1 线性,卷积定理 ? k n F e jωn t ? F ?u( t )? 2π n ? 1 1 ? ?2 π δ(ω ? ωn )?? ? π δ(ω) ? ? ? ? kn 2π jω? n ? 1 ? ? kn ? ? kn π δ(ω ? ωn ) j( ω ? ωn ) n n
n

? ?

? F ( s ) |s ? jω ? ? kn π δ(ω ? ωn )

§4.12 小结
F ?s?和F (jω)的关系:
σ 0 ? 0, 收敛轴位于 平面的右半平面则F ?ω?不存在 s ,
σ 0 ? 0, 收敛轴位于 平面的左半平面则F ?ω? ? F ?s ? s? jω s ,

σ 0 ? 0, 收敛轴位于虚轴
则F ?ω? ? F ?s ? s? jω ? ? ? knδ ?ω ? ωn ?
n

本章小结:
? 拉氏变换对定义 ? 拉氏变换的基本性质 ? 拉氏逆变换的求法(部分分式展开法) ? 拉氏分析法 ? 电路系统的s域网络模型

? 系统函数H(s)
? 系统的频响特性H(jω )

? 系统的稳定性(时域、频域)
? LT和FT之间的关系

本章作业:
? ? ? ? ? ? ? ? ? 4-1 (3、4、 7、8、12、13、16、19) 4-3 (1、4、5) 4-4 (6、7、14、15、16、19) 4-11 4-19 4-21 4-41 4-45 4-49


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com