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高中数学2.4.2抛物线的简单几何性质练习新人教A版选修2_1

抛物线的简单几何性质 基 础 梳 理 1.抛物线的简单几何性质. 类型 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 焦点 准线 性 质 范围 对称轴 顶点 离心率 开口方向 ?p ? F? ,0? ?2 ? p x=- 2 ? p ? F?- ,0? ? 2 ? p x= 2 ? p? F?0, ? ? 2? 2 p? ? F?0,- ? ? 2? p y=- x∈R,y≥0 ____ ________ ______ p y= 2 x≥0,y∈R ____ x≤ 0,y∈R x∈R,y≤0 ____ ____ ____ ____ 2.焦半径与焦点弦. 抛物线上一点与焦点 F 的连线段叫做焦半径,过焦点的直线与抛物线相交 所得的弦叫 做焦点弦.设抛物线上任意一点 P(x0,y0),焦点弦端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则四种标准 形式下的焦点弦和焦半径公式如下表: 标准方程 焦半径|PF| 焦点弦|AB| y2=2px(p>0) |PF|=x0+ y2=-2px(p>0) |PF|= -x0 2 |AB|=p-x1-x2 x2=2py (p>0) |PF|=y0+ x2=-2py(p>0) |PF|= -y0 2 |AB|=p-y1-y2 p 2 p p 2 p |AB|=x1+x2+p 2 |AB|=y1+y2+p 想一想:过抛物线 y =2px(p>0)的焦点的弦 AB 中,有没有长度最短的弦? 基础梳理 1.x 轴 y 轴 O(0,0) e=1 向右 向左 向上 向下 2.想一想:解析:过抛物线的焦点且与抛物线对称轴垂直的弦,叫做抛物线的通径, 通径是长度最短的焦点弦,长度为|AB|=2p. 自 测 自 评 1 1.顶点在原点,对称轴为 y 轴,顶点到准线的距离为 4 的抛物线方程是( A.x =16y B.x =8y C.x =±8y 2 2 2 ) D.x =±16y 2 2 2.设点 A 为抛物线 y =4x 上一点,点 B(1,0),且 AB=1,则点 A 的横坐标为( A.-2 B.0 C.-2 或 0 D.-2 或 2 ) 3.设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如 果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( A.4 3 C.8 3 自测自评 1.D 2.解析:由 y =4x 知 B(1,0)为焦点,准线为 x=-1,由抛物线定义知 xA+ =1,得 2 2 2 ) B.8 D.16 p xA=0. 答案:B 3.B 基 础 巩 固 1.以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与 x 轴垂直的弦)长为 8,若抛物线的顶 点在坐标原点,则其方程为( A.y =8x B.y =-8x C.y =8x 或 y =-8x D.x =8y 或 x =-8y 1.解析:设抛物线 y =2px 或 y =-2px(p>0),p=4. 答案:C 2.(2014?新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y =x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点, 5 |AF|= x0,则 x0=( 4 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) A.1 B.2 C.4 D.8 2 1 p 1 5 2 2.解析:由抛物线方程 y =x,知 p= ,又因为|AF|=x0+ =x0+ = x0,所以得 x0 2 2 4 4 =1. 答案:A 3. 若抛物线 y =x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离, 则点 P 的坐标为( 1 2 A.( ,± ) 4 4 1 2 C.( , ) 4 4 1 2 B.( ,± ) 8 4 1 2 D.( , ) 8 4 2 ) 3.解析:由题意知,点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离,因此点 P 在线段 OF 1 1 2 的垂直平分线上,而 F( ,0),所以 P 点的横坐 标为 ,代入抛物线方程得 y=± ,故点 4 8 4 P 的 坐标为( ,± 答案:B 1 8 2 ), 故选 B. 4 4.抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,则抛 物线方程为________. 4.解析:因为过焦点且与对称轴 y 轴垂直的弦长等于 p 的 2 倍.所以所求抛物线方程 为 x =±16y. 答案:x =±16y 2 2 能 力 提 升 5.经过抛物线 y =2x 的焦点且平行于直线 3x-2y+5=0 的直线 l 的方程是( A.6x-4y-3=0 C.2x+3y-2=0 B.3x-2y-3=0 D.2x+3y-1=0 2 ) ?1 ? 2 5.解析:设直线 l 的方程为 3x-2y+c=0,抛物线 y =2x 的焦点 F? ,0?, ?2 ? 1 所以 3? -2?0+c=0, 2 3 所以 c=- ,故直线 l 的方程是 6x-4y-3=0.故选 A. 2 答案:A 6.(2014?辽宁卷)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,记 C 的焦点为 F, 则直线 AF 的斜率为( 4 A.- B.-1 3 3 2 ) 3 1 C.- D.- 4 2 p -p 2 6.解析:因为抛物线 C:y =2px 的准线为 x=- ,且点 A(-2,3)在准线上,故 = 2 2 3-0 2 -2, 解得 p=4, 所以 y =8x, 所以焦点 F 的坐标为(2,0), 这时直线 AF 的斜率 kAF= -2-2 3 =- . 4 答案:C 7.抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线 与双曲线 - =1 相交于 A、B 两点,若 3 3 △ABF 为等边三角形,则 p=________. 7.解析:由题意知 B( 答案:6 8.过抛物线 y =2px(p>

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