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【全程复习方略】2014年数学理(福建用)配套课件:选修4-5 第一节不等式和绝对值不等式


选修4-5 不等式选讲

第一节 不等式和绝对值不等式

1.不等式的基本性质 对称性 传递性 可加性 < a>b?b___a > a>b,b>c?a___c

可乘性
可乘方性 可开方性

> a>b?a+c___b+c > ①a>b,c>0?ac___bc
< ②a>b,c<0?ac___bc > a>b>0?an___bn(n∈N,n≥2) a>b>0?
n

> a ____

n

b (n∈N,n≥2)

2.基本不等式 ≥ (1)定理1如果a,b∈R,那么a2+b2___2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立. ____ (2)算术平均与几何平均
a?b 如果a,b都是正数,我们就称______ 为a,b的算术平均, 2

ab 为a,b的几何平均. ____

(3)定理2(基本不等式)

a?b ≥ 如果a,b>0,那么 ___ 2

ab ,当且

a=b 时,等号成立.也可以表述为:两个正数的算术平均 仅当____ 不小于(即大于或等于) 它们的几何平均. _____________________

(4)利用基本不等式求最值 对两个正实数x,y,

x=y 时,它们的积P取得 ①如果它们的和S是定值,则当且仅当____
S2 大 值_____ 最___ 4 ;

x=y 时,它们的和S取得 ②如果它们的积P是定值,则当且仅当____

小 值______. 2 P 最___

3.三个正数的算术——几何平均不等式 (1)定理3 如果a,b,c∈R+,那么
a?b?c ≥ 3 ___ abc ,当且仅当 3

a=b=c 时,等号成立. ______ 不小于 它们的几何平均. 即:三个正数的算术平均_______ (2)基本不等式的推广 不小于 它们的 对于n个正数a1,a2,?,an,它们的算术平均_______ 几何平均,即
a1 ? a 2 ? ?? a n ≥ ___ n
n

a1a 2 ?a n , 当且仅当

a1=a2=?=an 时,等号成立. ___________

4.绝对值三角不等式

定理
1 2





等号成立的条件
ab≥0 (a-b)(b-c)≥0

|a+b|≤|a|+|b| |a-c|≤|a-b|+|b-c|

5.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:

不等式
|x|<a

a>0
{x|-a<x<a} _____________ {x|x>a或x<-a} ________________

a=0
? __ {x∈R|x≠0} ____________

a<0
? __ R __

|x|>a

(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: -c≤ax+b≤c ①|ax+b|≤c?____________;

ax+b≥c或ax+b≤-c ②|ax+b|≥c?__________________.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若a<b,则一定有 1 ? 1 . ( (2)若 n ?
a?b , 则n≥1.( a?b
a b

) )

(3)|x-1|-|x-5|<2的几何意义为数轴上的点x到点1,-5的距离 之差小于2.(
a?b

)

(4)不等式 a ? b ? 1 成立的充要条件是|a|>|b|.(

)

【解析】(1)错误.当ab>0时,有
a?b a?b (2)正确. n ? ? ? 1. a?b a?b a?b ?1? a ? b . a?b

1 1 1 1 当ab<0时,有 < . ? ; a b a b

(3)错误.其几何意义为数轴上的点x到点1,5的距离之差小于2. (4)正确.

答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

考向 1

利用基本不等式求最值

2 ? 2x ? x ? 3 的最大值. 【典例1】(1)若x>0,求函数 f ? x ? ? x

(2)若0<x<3,求函数f(x)=2x(3-x)的最大值. (3)若x>0,y>0,且9x+y-xy=0,求x+y的最小值. 【思路点拨】对于(1)(2)可根据题目条件,变形构造出“和” 或“积”为定值的形式,利用基本不等式求解;对于(3)应将 已知条件变形并建立与x+y的关系,然后再利用基本不等式求 解.

【规范解答】(1)≧x>0,?f(x)=
3 3 3 ? 1 ? (2x ? ) ? 1 ? 2 2x ? 1 ? 2 6, x x x 当且仅当 2x ? 3 , 即 x ? 6 时等号成立, x 2 ?f(x)的最大值为 1 ? 2 6, 此时 x ? 6 . 2 1 ? 2x ?

(2)≧0<x<3,?3-x>0,

?f(x)=2x(3-x)=2[x(3-x)]≤ [ 2
2

x ? ?3 ? x ? 2

当且仅当x=3-x,即 x ? 3 时等号成立. ?函数y=2x(3-x)的最大值为 9 .
2

9 2 ] ? . 2

(3)≧x>0,y>0,9x+y-xy=0,
1 9 ?9x+y=xy,即 ? ? 1, x y 1 9 y 9x ?x+y= (x ? y) ( ? ) ? ? ? 10 ? x y x y y 9x 2 ? 10 ? 6 ? 10 ? 16. x y 1 9 y 9x 当且仅当 ? 时,“=”成立.又 ? ? 1, x y x y

即x=4,y=12时,上式取等号. 故当x=4,y=12时,x+y取最小值16.

【拓展提升】基本不等式的一般形式及条件 基本不等式的一般形式为a1+a2+?+an≥
n n a1 a 2 ? a n ①或 n a1 a 2 ? a n ?

a1 ? a 2 ??? a n ② n

(其中a1,a2,?,an为正实数)当且仅当a1=a2=?=an时取等号. 利用①式求最小值要求积为定值,利用②式求最大值要求和为 定值.

【变式训练】已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求
1 1 1 的最小值. ? ? a?b b?c a?c

【解析】≧a,b,c∈(0,+≦), ?[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·( 1 ? 1 ? 1 )≥
a?b b?c c?a

1 1 1 ? 9, a?b b?c c?a 即2(a+b+c)·( 1 ? 1 ? 1 )≥9. a?b b?c c?a 3 3 (a ? b) (b ? c) (c ? a) 3 3

又≧a+b+c=1,
1 1 1 9 ? ? ? , a?b b?c c?a 2 当且仅当a=b=c= 1 时,“=”成立, 3 ? 1 ? 1 ? 1 的最小值为 9 . 2 a?b b?c a?c

?

考向 2

绝对值不等式的解法

【典例2】解下列不等式: (1)|4x+5|≥25. (2)|2x-1|<2-3x. (3)|2x+1|-|x-4|>2. 【思路点拨】(1)(2)可利用绝对值的定义转化为不含绝对值的 不等式求解.对(2)也可采用两边平方法求解.(3)可采用“零点 分段法”,也可构造函数,利用分段函数的图象进行求解 .

【规范解答】(1)≧|4x+5|≥25, ?4x+5≥25或4x+5≤-25 ?4x≥20或4x≤-30,?x≥5或x≤ ? 15 .
2

?原不等式的解集为{x|x≥5或x≤ ? 15 }.
1 1 ? ? x ? , x ? , ? ? (2)方法一:|2x-1|<2-3x? ? 或 2 2 ? ? ?1 ? 2x ? 2 ? 3x ? ?2x ? 1 ? 2 ? 3x, 解得 x ? 1 或 1 ? x ? 3 . 2 2 5 ?原不等式的解集为{x|x< 3 }. 5
2

2 ? 3x ? 0, ? ? 方法二:|2x-1|<2-3x? ? 2 2 2x ? 1 ? 2 ? 3x ? ? ? ?, ? ? 2 ? x ? , ? 3 3 解得 ? 即 x ? , ? 5 ? x ? 1或x ? 3, ? 5 ? ?原不等式的解集为{x|x< 3 }. 5

(3)方法一:当x≥4时,(2x+1)-(x-4)>2, 解得x>-3,?x≥4; 当 ? 1 ≤x<4时,(2x+1)+(x-4)>2,解得 x ? 5 , ? 5 <x<4;当 x ? ? 1 时,-(2x+1)+(x-4)>2,解得x<-7,?x<-7. 综上可知,不等式的解集为{x|x<-7或x> 5 }.
3 3 2 2 3

方法二:令y=|2x+1|-|x-4|,则
1 ? ? x ? 5 , ???? x ? ? , ? 2 ? 1 ? y ? ?3x ? 3, ????? ? x ? 4, 2 ? ??????x ? 4, ? x ? 5, ? ?

作出函数y=|2x+1|-|x-4|与函数y=2的图象如图,
5 它们的交点为(-7,2)和 ( , 2) . 5 所以|2x+1|-|x-4|>2的解集为(-≦,-7)∪ ( , ??) . 3 3

【互动探究】将本例(3)的不等式改为“|2x+1|+|x-4|>2”, 试求该不等式的解集. 【解析】当x≤ ? 1 时,-(2x+1)+4-x>2,
2 解得 x ? 1 ,? x ? ? 1 ; 3 2 当 ? 1 ? x ? 4 时,2x+1+4-x>2, 2 解得x>-3,? ? 1 ? x ? 4; 2

当x≥4时,2x+1+x-4>2, 解得 x ? 5 , ?x≥4.
3

综上可知不等式的解集为R.

【拓展提升】用“零点分段法”解|x-a|+|x-b|≥c或|xa|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的一般步骤

(1)令每个含绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根 .
(2)将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为

若干个区间.
(3)由所分区间去掉绝对值符号可得若干个不等式,解这些不

等式,求出解集.
(4)取各个不等式解集的并集即原不等式的解集 .

【变式备选】解下列不等式. (1)1<|x-2|≤3. (2)|x+3|+|x-3|>8. 【解析】(1)原不等式等价于不等式组
? ? x ? 2 ? 1, ? x ? 1或x ? 3, 即? ? ? ? x ? 2 ? 3, ??1 ? x ? 5,

解得-1≤x<1或3<x≤5, ?原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3<x≤5}.

(2)当x<-3时,-x-3-x+3>8, 解得x<-4,此时不等式的解集为{x|x<-4}; 当-3≤x<3时,x+3-x+3>8,此时不等式无解; 当x≥3时,x+3+x-3>8,即x>4, 此时不等式的解集为{x|x>4}. 综上,不等式的解集为{x|x<-4或x>4}.

考向 3

含有参数的绝对值不等式的解法

【典例3】(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集.

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
【思路点拨】(1)将a=-3代入函数f(x),然后通过零点分区间

讨论不等式f(x)≥3的解集.(2)解不等式f(x)≤|x-4|的解集,
由区间[1,2]是解集的子集确立a的取值范围.

【规范解答】(1)当a=-3时,
??2x ? 5,?x ? 2, ? f ? x ? ? ?1,???????2 ? x ? 3, ?2x ? 5,????x ? 3. ?

当x≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x≤1. 当2<x<3时,f(x)≥3无解. 当x≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x≥4. 综上所述:不等式f(x)≥3的解集为(-≦,1]∪[4,+≦).

(2)由f(x)≤|x-4|,得|x+a|+|x-2|≤|x-4| 即|x-4|-|x-2|≥|x+a|, 当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a| ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[-3,0].

【拓展提升】含有参数的不等式的解法 若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项,一般 采用数形结合法(包括几何法、图象法)和区间讨论法,①数形 结合法是根据绝对值意义在数轴上找出满足题意的数,直接写 出解集,或构造函数画出图象,由图象直接写出未知数的取值 范围得出解集.②区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代 数值等于零时未知数的值.将这些值依次标在数轴上,这样数 轴被分成若干个区间,这些区间内的不等式的解集的并集即为 不等式的解集.分段讨论时,注意不要遗漏区间的端点.

【变式训练】设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3.

(2)

? x∈R,f(x)≥2恒成立,求a的取值范围.

【解析】(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|, 由f(x)≥3得|x-1|+|x+1|≥3, ①当x≤-1时,不等式化为1-x-1-x≥3, 即-2x≥3,
3 x ? ?1 , 不等式组 ? 的解集为 (≦, ]; ? ?

?f ? x ? ? 3

2

②当-1<x≤1时,不等式化为1-x+x+1≥3,此不等式无解,
??1 ? x ? 1, 故不等式组 ? 的解集为?; ?f ? x ? ? 3

③当x>1时,不等式化为x-1+x+1≥3,即2x≥3,
? x ? 1, 3 不等式组 ? 的解集为 [ , ?? ). 2 ?f ? x ? ? 3 3 综上得f(x)≥3的解集为 [??, ? 3 ][ ? , ??]. 2 2

(2)若a=1,f(x)=2|x-1|,不满足条件;

若a<1,
??2x ? a ? 1,?????x ? a, ? f ? x ? ? ?1 ? a,??????????a ? x ? 1, ?2x ? a ? 1 ,????x ? 1, ? ? ?

f(x)的最小值为1-a;

??2x ? a ? 1,?????x ? 1, 若a>1,f ? x ? ? ? ?a ? 1,?????????1 ? x ? a, ?2x ? a ? 1 ,????x ? a, ? ? ?

f(x)的最小值为a-1,
? x∈R,f(x)≥2恒成立的充要条件是|a-1|≥2,

即a≥3或a≤-1, ?a的取值范围为(-≦,-1]∪[3,+≦).

考向 4

含绝对值不等式的恒成立问题

【典例4】(1)若不等式|x+1|+|x-3|>a的解集为R,求a的取值 范围. (2)(2013·济宁模拟)不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x 恒成立,求实数a的取值范围. 【思路点拨】(1)求出|x+1|+|x-3|的取值范围,只要a小于 |x+1|+|x-3|的最小值即可. (2)求出|x+3|-|x-1|的取值范围,只要使其最大值小于或等于 a2-3a即可.

【规范解答】(1)因为|x+1|+|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定 点A(-1),B(3)距离的和,即 |x+1|+|x-3|=|PA|+|PB|.由绝对值的几何意义知,|PA|+|PB| 的最小值为|AB|=4,无最大值, ≧不等式|x+1|+|x-3|>a的解集为R, ?a的取值范围为a<4.

(2)方法一:因为|x+3|-|x-1|表示数轴上的点P(x)与两定点 B(-3),A(+1)距离的差,即|x+3|-|x-1|=|PB|-|PA|, 由绝对值的几何意义知|PB|-|PA|的最大值为|AB|=4,最小值 为-|AB|=-4. ≧对任意实数x,不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a恒成立.

?a2-3a≥4,即a2-3a-4≥0,
解得a≥4或a≤-1,

?a的取值范围为(-≦,-1]∪[4,+≦).

方法二:由|x+3|-|x-1|≤|x+3-(x-1)|=4知|x+3|-|x-1|的最 大值为4,由题意知4≤a2-3a,解得a≥4或a≤-1, ?a的取值范围为(-≦,-1]∪[4,+≦).

【拓展提升】不等式恒成立问题的常见类型及其解法

(1)分离参数法
运用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒

成立中的参数范围问题.
(2)更换主元法

不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不
可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换 ,常可得到

简捷的解法.

(3)数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所 蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直 观解决问题. 【提醒】不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不等式 的解集为?的对立面也是不等式恒成立问题,如f(x)>m的解集为 ?,则f(x)≤m恒成立.

【变式训练】(2013·福州模拟)已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m). (1)当m=5时,求函数f(x)的定义域. (2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范围.

【解析】(1)由题意|x+1|+|x-2|-5>0.
??2x ? 1, x ? ?1, 令g(x)=|x+1|+|x-2| ? ? ?3, ?1 ? x ? 2, ?2x ? 1, x ? 2, ?

解g(x)-5>0得x>3或x<-2,

?函数的定义域为{x|x>3或x<-2}.

(2)f(x)≥1,即log2(|x+1|+|x-2|-m)≥1=log22,
即|x+1|+|x-2|-m≥2. 由题意,不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R,则 m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立. 而|x+1|+|x-2|-2≥3-2=1,故m≤1.


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