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【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题15 圆锥曲线(含解析)


【走向高考】 (全国通用)2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题 强化练 专题 15 圆锥曲线

一、选择题 1.(2015?四川文,7)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线 3 的两条渐近线于 A,B 两点,则|AB|=( A. 4 3 3 ) B.2 3 D.4 3
2

y2

C.6 [答案] D

[解析] 由题意,a=1,b= 3,故 c=2, 渐近线方程为 y=± 3x, 将 x=2 代入渐近线方程,得 y1,2=±2 3,故|AB|=4 3,选 D. 2.设 P 是椭圆 + =1 上一点,M、N 分别是两圆:(x+2) +y =1 和(x-2) +y =1 9 5 上的点,则|PM|+|PN|的最小值,最大值分别为( A.4,8 C.6,8 [答案] A [解析] 如图, 由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点, 由椭圆定义知 |PA|+|PB|=2a=6,连接 PA,PB,分别与两圆相交于 M、N 两点,此时|PM|+|PN|最小, 最小值为|PA|+|PB|-2R=4;连接 PA,PB 并延长,分别与两圆相交于 M′、N′两点,此 时|PM′|+|PN′|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=8,即最小值和最大值分别为 4、8. B.2,6 D.8,12 )

x2 y2

2

2

2

2

[方法点拨]

涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题,及到抛物线焦点

(或准线)距离的问题,可优先考虑圆锥曲线的定义. 3 . ( 文)(2015?唐山一模) 已知抛物线的焦点 F(a,0)(a<0) ,则抛物线的标准方程是 ( )
1

A.y =2ax C.y =-2ax [答案] B
2

2

B.y =4ax D.y =-4ax
2

2

[解析] 设抛物线方程为 y =mx,由焦点为 F(a,0),a<0 知 m<0,∴ =a,∴m=4a, 4 故选 B. (理)(2015?河北衡水中学一模)已知抛物线 C 的顶点是原点 O,焦点 F 在 x 轴的正半轴 → → 上,经过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点,如果OA?OB=-12, ,那么抛物线 C 的方程为 ( ) A.x =8y C.y =8x [答案] C [解析] 由题意,设抛物线方程为 y =2px(p>0),直线方程为 x=my+ ,代入抛物线 2
2 2 2

2

m

B.x =4y D.y =4x
2

2

p

p?? p? → → ? 2 2 方程得 y -2pmy-p =0,设 A(x1,y1)、B(x2,y2),得OA?OB=x1x2+y1y2=?my1+ ??my2+ ? 2?? 2? ? pm p 3 2 2 2 +y1y2=m y1y2+ (y1+y2)+ +y1y2=- p =-12? p=4,即抛物线 C 的方程为 y =8x. 2 4 4
[方法点拨] 求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线,焦点 在哪个轴上,然后利用条件求 a、b、p 的值. 4.(文)(2015?南昌市一模)以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线 C 的 π 一条渐近线的倾斜角为 ,则双曲线 C 的离心率为( 3 A.2 或 3 C. 2 3 3 )
2

2 3 B.2 或 3 D.2

[答案] B [解析] (1)当双曲线的焦点在 x 轴上时,由题意知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的

x2 y2 a b

b b π 2 2 渐近线方程为 y=± x,所以 =tan = 3,所以 b= 3a,c= a +b =2a,故双曲线 C a a 3
的离心率 e= =

c 2a =2; a a

y2 x2 (2)当双曲线的焦点在 y 轴上时,由题意知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方 a b

2

a a π 2 2 程为 y=± x,所以 =tan = 3,所以 a= 3b,c= a +b =2b,故双曲线 C 的离心率 b b 3
e= =

c a

2b

2 3 = . 3 3b

2 3 综上所述,双曲线 C 的离心率为 2 或 . 3

x2 y2 (理)(2015?东北三省三校二模)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1、 a b x y F2,以 F1F2 为直径的圆被直线 + =1 截得的弦长为 6a,则双曲线的离心率为( a b
A.3 C. 3 [答案] D [解析] 由已知得:O(0,0)到直线 + =1 的距离为:d= +d =r 即?
2 2

)

B.2 D. 2

x y a b

ab ? 6 ?2 ,由题意得:? a? ?2 ? a2+b2

? 6 ?2 ? ab ?2 2 a? +? 2 2? =c ? 2 ? ? a +b ?

5 2 2 5 2 1 4 4 4 2 2 整理得:c - a c +a =0,即 e - e +1=0,解得:e =2 或 e = (舍),∴e= 2. 2 2 2 [方法点拨] 1.求椭圆、双曲线的离心率问题,关键是根据已知条件确定 a、b、c 的关 系,然后将 b 用 a、c 代换,求 e= 的值;另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系. 2.注意圆锥曲线的对称性在解题中的应用.

c a

y2 5.(文)设 F1、F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与椭圆 b
2

相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为( A. C. 2 3 4 3 B.1 D. 5 3

)

[答案] C [解析] 由条件知,|AF2|+|BF2|=2|AB|, |AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2, 4 ∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4,∴|AB|= . 3 (理)(2014?河北名师名校俱乐部模拟)设抛物线 x =8y 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛 物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的倾斜角等于 60°,那么|PF|等于( )
3
2

A.2 3 C. 8 3

B.4 3 D.4

[答案] C 8 3 [解析] 在△APF 中,|PA|=|PF|,|AF|sin60°=4,∴|AF|= ,又∠PAF=∠PFA 3 1 |AF| 2 |BF| 8 =30°,过 P 作 PB⊥AF 于 B,则|PF|= = = . cos30° cos30° 3 [方法点拨] 圆锥曲线的性质常与等差、等比数列、三角函数、不等式等问题联系在一 起,一般先利用条件转化为单一知识点的问题求解. 6.(文)从抛物线 y =8x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物 线的焦点为 F,则△PFM 的面积为( A.5 6 C.10 2 [答案] A [解析] 抛物线的焦点 F(2,0),准线方程为 x=-2.设 P(m,n),则|PM|=m+2=5, 1 1 2 解得 m=3.代入抛物线方程得 n =24,故|n|=2 6,则 S△PFM= |PM|?|n|= ?5?2 6= 2 2 5 6. (理)若双曲线 - =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1(m>n>0)有共同的焦点 F1、F2,P 是 两条曲线的一个交点,则|PF1|?|PF2| ( A.m -a
2 2 2

) B.6 5 D.5 2

x2 y2 a b

x2 y2 m n

) B. m- a D. m-a

1 C. (m-a) 2 [答案] D

[解析] 不妨设 F1、F2 分别为左、右焦点,P 在双曲线的右支上,由题意得|PF1|+|PF2| =2 m,|PF1|-|PF2|=2 a,∴|PF1|= m+ a,|PF2|= m- a,故|PF1|?|PF2|=m-a. 7.(文)(2015?湖南文,6)若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双 曲线的离心率为( A. C. 7 3 4 3 ) B. D. 5 4 5 3
4

x2 y2 a b

[答案] D [解析] 考查双曲线的几何性质. 由题设利用双曲线的渐近线方程经过的点(3,-4),得到 a、b 关系式,然后求出双曲 线的离心率即可.因为双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),∴3b=4a,∴9(c

x2 y2 a b

2

c 5 2 2 -a )=16a ,∴e= = ,故选 D. a 3
(理)(2015?重庆文,9)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别 是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点.若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的 斜率为( 1 A.± 2 C.±1 [答案] C [解析] 考查双曲线的几何性质. 由已知得右焦点 F(c,0)(其中 c =a +b ,c>0),A1(-a,0),A2(a,0);B(c,- ),C(c,
2 2 2

x2 y2 a b

) B.± 2 2

D.± 2

b2 a

b2 b2 → b2 );从而 A1B― →=(c+a,- ),A2C=(c-a, ),又因为 A1B⊥A2C,所以 A1B― →?A2C― → a a a
=0,即(c-a)?(c+a)+(- )?( )=0;化简得到 2=1? =±1,即双曲线的渐近线的 斜率为±1;故选 C. 8.(2015?新课标Ⅰ理,5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 2 → → 的两个焦点.若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是( A.?- ) 3 3? , ? 6 6?

b2 a

b2 a

b2 a

b a

x2

2

? ?

3 3? , ? 3 3?

B.?-

? ?

? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3
[答案] A

? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3

[解析] 考查向量数量积;双曲线的标准方程. 由题知 F1(- 3,0),F2( 3,0), -y0=1,所以 MF1― →?MF2― →=(- 3-x0,- 2
2 2 y0)?( 3-x0,-y0)=x2 0+y0-3=3y0-1<0,解得-

x2 0

2

3 3 <y0< ,故选 A. 3 3

二、填空题
5

9. (文)已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A、 B 两点,若该抛物线上存在点 C, 使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. [答案] a≥1 → 2 [解析] 显然 a>0,不妨设 A( a,a),B(- a,a),C(x0,x0),则CB=(- a-x0,a -x0), →
2

2

CA=( a-x0,a-x2 0),∵∠ACB=90°.
→ → 2 2 ∴CA?CB=( a-x0,a-x0)?(- a-x0,a-x0)=0. ∴x0-a+(a-x0) =0,且 x0-a≠0. ∴(a-x0)(a-x0-1)=0,∴a-x0-1=0. ∴x0=a-1,又 x0≥0.∴a≥1. (理)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a、b(a<b),原点 O 为 AD 的中点,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

抛物线 y =2px(p>0)经过 C、F 两点,则 =________.

2

b a

[答案]

2+1

[解析] 由题可得 C( ,-a),F( +b,b), 2 2

a

a

a =pa, ? ? 2 ∵C、F 在抛物线 y =2px 上,∴? 2 a b =2p? +b?, ? 2 ?
∴ = 2+1,故填 2+1. 10.(文)(2015?湖南理,13)设 F 是双曲线 C: 2- 2=1 的一个焦点.若 C 上存在点 P, 使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为________. [答案] 5

2

a b

x2 y2 a b

[解析] 考查双曲线的标准方程及其性质. 根据对称性,不妨设 F(c,0),短轴端点为(0,b),从而可知点(-c,2b)在双曲线上,

6

c 4b c ∴ 2- 2 =1? e= = 5. a b a
(理)(2015?南昌市二模)过原点的直线 l 与双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左右两支 → → 分别相交于 A,B 两点,F(- 3,0)是双曲线 C 的左焦点,若|FA|+|FB|=4,FA?FB=0, 则双曲线 C 的方程是________. [答案]

2

2

x2 y2 a b

x2
2

-y =1

2

[解析] 由已知得:c= 3,FA⊥FB,设右焦点为 F1,则四边形 FAF1B 为矩形,∴|AB| =2c=2 3且|FA| +|FB| =(|FA|+|FB|) -2|FA|?|FB|=16-2|FA|?|FB|, |AB| =|FA| +|FB| , ∴ |FA|?|FB| = 2 ,∴ (|FA| - |FB|) = (|FA| + |FB|) - 4|FA|?|FB| = 8 ,∴ ||FA| - |FB||=2 2, 即||AF|-|AF1||=2 2,∴a= 2, ∴b =1,∴双曲线标准方程为 -y =1. 2 三、解答题 11. (文)(2015?湖南文, 20)已知抛物线 C1: x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2:2+ 2=1(a>b>0) 的一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相 交于 C,D 两点,且AC与BD同向. (1)求 C2 的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. [分析] 考查直线与圆锥曲线的位置关系;椭圆的性质和转化思想,设而不求、整体代 换思想及运算求解能力等. (1)由 F 也是椭圆 C2 的一个焦点及 C1 与 C2 的公共弦长列方程组求解; (2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),根据AC=BD,可得,(x3+x4) - 4x3x4=(x1+x2) -4x1x2, 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1,联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方 程、利用韦达定理进行计算即可得到结果. [解析] (1)由 C1:x =4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1),因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点, 所以 a -b =1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

y2 x2 a b

→ →

→ →

2

①;
2

又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为:x =4y,由此

7

3 易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为(± 6, ), 2 ∴ 9 6 2+ 2=1②, 4a b
2 2

联立①②得 a =9,b =8,故 C2 的方程为

y2 x2
9

+ =1. 8

(2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),

C(x3,y3),D(x4,y4),

→ → 因AC与BD同向,且|AC|=|BD|, → → 所以AC=BD,从而 x3-x1=x4-x2,即 x3-x4=x1-x2,于是 (x3+x4) -4x3x4=(x1+x2) -4x1x2 ③ 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1,由? 由 x1,x2 是这个方程的两根, ∴x1+x2=4k,x1x2=-4 ④
? ?y=kx+1, ?x =4y ?
2 2 2

得 x -4kx-4=0,

2

y=kx+1, ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?8 9
得(9+8k )x +16kx-64=0, 而 x3,x4 是这个方程的两根,
2 2

x3+x4=-

16k 64 2,x3x4=- 2 9+8k 9+8k
2 2 2



16 k 4?64 将④、⑤代入③,得 16(k +1)= 2 2+ 2. ?9+8k ? 9+8k 16 ?9?k +1? 2 即 16(k +1)= , 2 2 ?9+8k ?
2 2

8

所以(9+8k ) =16?9,解得 k=± 即直线 l 的斜率为± 6 . 4

2 2

6 , 4

x y 1 (理)(2015?洛阳市期末)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,一个焦点与抛物 a b 2
线 y =4x 的焦点重合,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点,kOA?kOB=- 2,判断△AOB 的面积是否为定值?若是,求出定值, 若不是,说明理由.
2

2

2

b2 a

c 1 [解析] (1)由题意得 c=1,又 e= = , a 2
所以 a=2,从而 b =a -c =3, 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 2

x2 y2

x y ? ? + =1, 由? 4 3 ? ?y=kx+m.
2

2

2

得(3+4k )x +8mkx+4(m -3)=0,

2

2

2

由 Δ =(8mk) -16(3+4k )(m -3)>0 得 m <3+4k . 8mk 4?m -3? ∵x1+x2=- , 2,x1?x2= 2 3+4k 3+4k 3?m -4k ? 2 2 ∴y1?y2=(kx1+m)?(kx2+m)=k x1x2+mk(x1+x2)+m = . 2 3+4k
2 2 2

2

2

2

2

b2 3 3 由 kOA?kOB=- 2=- 得 y1y2=- x1x2, a 4 4
即 3?m -4k ? 3 4?m -3? 2 2 =- ? ,化简得 2m -4k =3,满足 Δ >0. 2 2 3+4k 4 3+4k
2 2 2 2

由弦长公式得|AB|= 1+k |x1-x2| = 1+k ?
2

48?4k -m +3? = 2 2 ?3+4k ?

2

2

24?1+k ? . 2 3+4k |m| 1+k
2 2

2

又点 O 到直线 l:y=kx+m 的距离 d= 1 1 所以 S△AOB= ?d?|AB|= 2 2



24?1+k ? |m| ? 2 2 3+4k 1+k

9

= =

1 2

24m 2= 3+4k
2

2

3?2m 2 3+4k

2

3??3+4k ? = 3, 2 3+4k

故△AOB 的面积为定值 3. 12.(文)(2014?东北三校二模)已知圆 M:x +(y-2) =1,直线 l:y=-1,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 相切.设动圆圆心 P 的轨迹为 E. (1)求 E 的方程; → → (2)若点 A,B 是 E 上的两个动点,O 为坐标原点,且OA?OB=-16,求证:直线 AB 恒 过定点. [解析] (1)⊙O 的圆心 M(0,2),半径 r=1,设动圆圆心 P(x,y),由条件知|PM|-1 等于 P 到 l 的距离, ∴|PM|等于 P 到直线 y=-2 的距离,∴P 点轨迹是以 M(0,2)为焦点,y=-2 为准线的 抛物线. 方程为 x =8y. (2)设直线 AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2) 将直线 AB 的方程代入到 x =8y 中得 x -8kx-8b=0,所以 x1+x2=8k,x1x2=-8b,
2 2 2 2 2

x1x2 → → 2 又因为OA?OB=x1x2+y1y2=x1x2+ =-8b+b =-16? b=4 64
所以直线 BC 恒过定点(0,4). (理)(2014?山东理,21)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的 任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点
2

2 2

A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形.
(1)求 C 的方程; (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, (ⅰ)证明:直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. [解析] (1)由题意知 F( ,0), 2 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为( 因为|FA|=|FD|, 由抛物线的定义知 3+ =|t- |, 2 2 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去),
10

p

p+2t
4

,0).

p

p



p+2t
4

=3,解得 p=2.
2

所以抛物线 C 的方程为 y =4x. (2)(ⅰ)由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,得|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 2 代入抛物线方程得 y + y- =0,

y0

y0

y0

y0

64 32b 由题意 Δ = 2 + =0,

y0

y0

2 得 b=- ,

y0

4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2.

y0

y0

+y0 y0 yE-y0 4y0 当 y ≠4 时,kAE= =- , 2= 2 xE-x0 4 y0 y0-4 2- y0 4
2 0

4

可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y0=4x0, 整理可得 y= 4y0 (x-1), y2 0- 4
2

4y0 (x-x0), y2 0-4

故直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). (ⅱ)由(ⅰ)知直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 1 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+( +1)=x0+ +2.
2

x0

x0

设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上,

11

故 m=

x0-1 . y0

设 B(x1,y1). 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 由于 y0≠0, 2 可得 x=- y+2+x0,

y0

y0

8 2 代入抛物线方程得 y + y-8-4x0=0.

y0

8 所以 y0+y1=- ,

y0

8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4.

y0

x0

所以点 B 到直线 AE 的距离为 4 8 | +x0+4+m?y0+ ?-1| x0 y0 d= 2 1+m = 4?x0+1? 1 =4( x0+ ).

x0

x0

1 1 1 则△ABE 的面积 S= ?4( x0+ )(x0+ +2)≥16, 2 x0 x0 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时等号成立.

x0

所以△ABE 的面积的最小值为 16. [方法点拨] 定点问题的求解策略 把直线或曲线方程中的变量 x、y 当作常数看待,把方程一端化为零,既然直线或曲线 过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得 到一个关于 x、y 的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

x2 y2 1 13.(文)(2014?甘肃省三诊)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点 O 为 a b 2
圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ 6=0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA?kOB=- 2,试判断△AOB 的 面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.

b2 a

c 1 [解析] (1)由题意知 e= = , a 2
12

∴e = 2= 又 b=

2

c2 a2-b2 1 4 2 2 = ,即 a = b , 2 a a 4 3
= 3,∴a =4,b =3, 1+1 6
2 2

故椭圆的方程为 + =1. 4 3

x2 y2

y=kx+m ? ? 2 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由?x y + =1 ? ?4 3
(3+4k )x +8mkx+4(m -3)=0,
2 2 2



△=64m k -16(3+4k )(m -3)>0,3+4k -m >0.

2 2

2

2

2

2

x1+x2=-

8mk 4?m -3? . 2,x1?x2= 2 3+4k 3+4k 3?m -4k ? . 2 3+4k
2 2

2

y1?y1=(kx1+m)?(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
3 y1y2 3 kOA?kOB=- , =- , 4 x1x2 4 3 3?m -4k ? 3 4?m -3? y1y2=- x1x2, =- ? 2 2 4 3+4k 4 3+4k 2m -4k =3, |AB|= 1+k = 1+k
2 2 2 2 2 2 2

?x1+x2? -4x1x2
2 2

2

48?4k -m +3? = 2 2 ?3+4k ? = 1 2 1 1- ≥ 2 4?1+k ?

24?1+k ? . 2 3+4k 1 3 1- = , 4 2

2

d=
1 2

|m| 1+k
2

S= |AB|d=
1 2 1 2

24?1+k ? |m| 2 2 3+4k 1+k
2 2

2

= =

24?1+k ?m 1 = 2 2 ?3+4k ??1+k ? 2 24 3+4k = 3. 2? 3+4k 2
2

24m 2 ?3+4k ?

2

[方法点拨] 定值问题的求解策略 (1)在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就是“定值”问题,解决这类问题常通 过取特殊值,先确定“定值”是多少,再进行证明,或者将问题转化为代数式,再证明该式 是与变量无关的常数,或者由该等式与变量无关,令其系数等于零即可得到定值. (2)求解定值问题的三个步骤 ①由特例得出一个值,此值一般就是定值;
13

②证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数 (某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值; ③得出结论. (理)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A、B、D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明:2m-k 为定值.

x2 y2 a b

3 ,a+b=3. 2

[解析] (1)因为 e= 所以 a= 2 3

3 c = , 2 a

c,b=

1 3

c.代入 a+b=3 得,

c= 3,a=2,b=1.
故椭圆的方程为 +y =1. 4 (2)方法一:因为 B(2,0),P 不为椭圆顶点,则直线 BP 的方程为 y=k(x-2)(k≠0,

x2

2

k≠± ).① x 8k -2 4k 2 ①代入 +y =1,解得 P( 2 ,- 2 ). 4 4k +1 4k +1
1 直线 AD 的方程为:y= x+1.② 2 4k+2 4k ①与②联立解得 M( , ), 2k-1 2k-1 8k -2 4k 由 D(0,1),P( 2 ,- 2 ),N(x,0)三点共线知 4k +1 4k +1 - 4k -1 2 4k +1 0-1 4k-2 = ,解得 N( ,0). 2 8k -2 x-0 2k+1 -0 2 4k +1
2 2 2

1 2

14

4k -0 2k-1 所以 MN 的斜率为 m= 4k+2 4k-2 - 2k-1 2k+1 = 4k?2k+1? 2k+1 , 2 2= 2?2k+1? -2?2k-1? 4

2k+1 1 则 2m-k= -k= (定值). 2 2 (2)方法二:设 P(x0,y0)(x0≠0,±2),则 k= 1 直线 AD 的方程为:y= (x+2). 2 直线 BP 的方程为 y=

y0 , x0-2

y0

x0-2

(x-2),

直线 DP 的方程为:y-1= 1 ? ?y=2?x+2?, 联立? y ?y=x -2?x-2?. ?
0 0

y0-1 -x0 x,令 y=0,由于 y0≠1 可得 N( ,0). x0 y0-1

4y0+2x0-4 4y0 解得 M( , ), 2y0-x0+2 2y0-x0+2 因此 MN 的斜率为 4y0 2y0-x0+2 4y0?y0-1? m= = 2 2 4y0+2x0-4 x0 4y0-8y0+4x0y0-x0+4 + 2y0-x0+2 y0-1 = 4y0?y0-1? y0-1 = , 2 2 4y0-8y0+4x0y0-?4-4y0?+4 2y0+x0-2

2?y0-1? y0 所以 2m-k= - 2y0+x0-2 x0-2 = = 2?y0-1??x0-2?-y0?2y0+x0-2? ?2y0+x0-2??x0-2? 2?y0-1??x0-2?-2y0-y0?x0-2? ?2y0+x0-2??x0-2?
2

1 2 2?y0-1??x0-2?- ?4-x0?-y0?x0-2? 2 = ?2y0+x0-2??x0-2? 1 = (定值). 2
15

14.(文)(2015?辽宁葫芦岛市一模)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率 为 3 4 3 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l:y=kx+t(t≠0)与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的垂直平分线与 y 轴交 1? ? 点 P?0,- ?,求△MON(O 为坐标原点)面积的最大值. 4? ? [解析] (1)∵e= 3 2 2 2 2 2 2 ,∴a =3c =3a -3b ,∴2a =3b 3
2

x2 y2 a b

将 x=-c 代入椭圆方程得:y = 2,y=± , 2b 4 3 2 由题意: = ,∴2a= 3b , a 3 解得:a =3,b =2 ∴椭圆 C 的方程为: + =1 3 2
2 2 2

b4 a

b2 a

x2 y2
2

x y ? ? + =1 (2)联立方程组:? 3 2 ? ?y=kx+t
2 2 2 2

2

消去 y 整理得:(3k +2)x +6ktx+3t -6=0

2

2

2



∴Δ =36k t -4(3k +2)?(3t -6)=24(3k +2-t )>0,∴3k +2>t

2

2

2

2



设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1,x2 是方程①的两个解,由韦达定理得:

x1+x2=

-6kt -6k t 4t , y1+y2=k(x1+x2)+2t= 2 +2t= 2 2 3k +2 3k +2 3k +2

2

设 MN 的中点为 G(x0,y0),则

x1+x2 -3kt y1+y2 2t x0= = 2 ,y0= = 2 2 3k + 2 2 3k +2
∴线段 MN 的垂直平分线方程为:

y-

3kt ? 2t 1? =- ?x+ 2 ? 2 3k +2 k? 3k +2?

1? 1 2t 3t ? 将 P?0,- ?代入得: + 2 = 2 4 4 3k +2 3k +2 ? ? 化简得:3k +2=4t 代入②式得:4t>t ,∴0<t<4 |MN| = 1+k
2 2 2

?

?x1+x2? -4x1x2 =

2

1+k

2

?

2 6? 3k +2-t 2 3k +2

2

2



16

1+k ?

2

2 6? 4t-t 4t
2

2

6? 4t-t = 1+k ? 2t

2

设 O 到直线 MN 的距离为 d,则 d= 1 1 ∴ S △ NOM = ?|MN|?d = ? 2 2 6 6 2 ? -?t-2? +4≤ 4 2

t
1+k
2 2

1+k ?

6? 4t-t ? 2t

2

t
1+k
2



6 ? 4

4t-t =

2

(当且仅当 t=2,k=± 2时取“=”号) ∴△MON 面积的最大值为 6 ,此时直线 l 的方程为:y=± 2x+2. 2
2

x 1 2 (理)(2015?浙江理, 19)已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A, B 关于直线 y=mx+ 对 2 2
称.

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). [分析] 考查直线与椭圆的位置关系; 点到直线的距离公式; 求函数的最值及运算求解 能力、函数与方程的思想. (1)可设出直线 AB 的方程,与椭圆方程联立消元化为一元二次方程,由 AB 的中点在已 1 知直线上知方程有两个不同的解,由此可得到关于 m 的不等式,从而求解;(2)令 t= ,可

m

将△AOB 表示为 t 的函数,从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值,从而获解.

[解析]

? ? 2 +y =1, 1 (1)由题意知 m≠0, 可设直线 AB 的方程为 y=- x+b, 由? m 1 y=- x+b ? ? m
2 2

x2

1 1 2 2b 1 x 2 2 消去 y,得( + 2)x - x+b -1=0,∵直线 y=- x+b 与椭圆 +y =1 有两个不同的交 2 m m m 2 4 2mb mb 1 2 点,∴Δ =-2b +2+ 2>0,①,将 AB 中点 M( 2 , 2 )代入直线方程 y=mx+ 解得 b m m +2 m +2 2
17
2

=-

m2+2 2 ,②. 2m
由①②得 m<- 6 6 或 m> . 3 3

1 6 6 (2)令 t= ∈(- ,0)∪(0, ), m 2 2 3 4 2 -2t +2t + 2 , 1 2 t+ 2

则|AB|= t +1?

2

t2+
且 O 到直线 AB 的距离为 d=
2

1 1 ,设△AOB 的面积为 S(t),∴S(t)= |AB|?d= 2 2 t +1

1 2

1 2 2 1 2 2 2 -2?t - ? +2≤ ,当且仅当 t = 时,等号成立,故△AOB 面积的最大值为 . 2 2 2 2 15.(2014?福建理,19)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:

x2 y2 a b

y=2x,l2:y=-2x.
(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1、l2 于 A,B 两点(A、B 分别在第一、 四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲 线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

[解析] (1)∵双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x,∴ =2, ∴

b a

c2-a2 =2,故 c= 5a, a c a

从而双曲线 E 的离心率 e= = 5.

x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a
设直线 l 与 x 轴相交于点 C,
18

当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 只有一个公共点, 则|OC|=a,|AB|=4a,

1 又∵△OAB 的面积为 8,∴ |OC|?|AB|=8, 2 1 x y 因此 a?4a=8,解得 a=2,此时双曲线 E 的方程为 - =1,若存在满足条件的双曲 2 4 16 线 E,则 E 的方程只能是 - =1. 4 16 以下证明:当直线 l 与 x 轴不垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件,设直线 l 的 4 16 方程为 y=kx+m,依题意得 k>2 或 k<-2, 则 C(- ,0),记 A(x1,y1)、B(x2,y2).
? ?y=kx+m ?y=2x ?
2 2

x2

y2

x2

y2

m k

由?

2m 2m 得 y1= ,同理得 y2= . 2-k 2+ k

1 1 m 2m 2m 由 S△OAB= |OC|?|y1-y2|得 |- |?| - |=8, 2 2 k 2-k 2+k

y=kx+m ? ? 2 2 即 m =4|4-k |=4(k -4),由?x y - =1 ? ? 4 16
2 2 2

得,

(4-k )x -2kmx-m -16=0,∵4-k <0 ∴Δ =4k m +4(4-k )(m +16)=-16(4k -m -16), 又∵m =4(k -4),∴Δ =0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 [方法点拨] 1.求曲线的轨迹方程时, 先看轨迹的形状是否预知, 若能依据条件确定其
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

x2

y2

19

形状,可用定义法或待定系数法求解;若动点 P 与另一动点 Q 有关,Q 在已知曲线上运动, 可用代入法求动点 P 的轨迹方程;否则用直译法求解. 2.存在性问题主要体现在以下几方面: (1)点是否存在; (2)曲线是否存在; (3)命题是否成立. 解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素, 经过推理论证, 如果可以得到 成立的结果,就可以作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾 的结论,则说明假设不存在,其一般步骤为:

20


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