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全国高中数学联赛(河南)赛区预赛试卷 Word版


全国高中数学联赛河南省预赛试题 本试卷满分 140 分 一、填空题(满分 64 分) 1、在小于 20 的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被 3 整除,则不用的取法种 数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、 在 ?ABC 中,?C ? ,?B ? ,AC ? 2 ,M 2 6 ? ? 为 AB 中点, 将 ?ACM 沿 CM 折起,使 A, B 之间的距离为 2 4、若锐角 2 ,则点 M ? 2 3 到面 ABC 的距离为_________________. ? 满足 1 tan 2 ? tano 1? 0 ? t a, n 则角? 2 的度数为 _________________. 5 、 函 数 ?| log 2 x |,0 ? x ? 4 ? f ( x) ? ? 2 2 70 x ? 8x ? , x ? 4 ? 3 ?3 , 若 a, b, c, 互 d 不 相 同 , 且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,则 abcd 的取值范围是_________________. 6、各项均为正数的等比数列 为_________________. 7、 一只蚂蚁由长方体 ABCD ? ?an? 中, 2a4 ? a3 ? 2a2 ? a1 ? 8 ,则 2a8 ? a7 的最小值 A1B1C1D1 顶点 A 出发,沿着长方体的表面达到顶点 C1 的 过 实 数 最短距离为 6,则长方体的体积最大值为______________. 8 、 ? x? 表 示 不 超 x 的 最 大 整 数 , 则 ?log 2 1? ? ?log 2 2? ? ?log 2 3? ? ? ? ?log 2 2012? ? _________ . 二 、 ( 本 题 满 分 16 分 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 E ? ABCD 的地面为菱形,且 ?ABC ? ? 3 , AB ? EC ? 2 , AE ? BE ? 2 . (1)求证:平面 EAB ? ABCD 平面; (2)求二面角 A ? EC ? D 的余弦值. 三、(本题满分 20 分)已知函数 (1)当时 x ? 0 ,求证: (2)当 x f ( x) ? ln(1 ? x) x 1 ? kx 成立,求实数的值. 1? x 1 n ?1 ? ?1且 x ? 0 时,不等式 f ( x) ? 四、(本题满分 20 分)数列 ?xn? 中, x1 ? 1且 xn?1 ? 1 ? x ?an? 的通项公式. (1)设 an ? 1 xn ? 2 ,求数列 (2)设 bn ? xn ? 2 ,数列 ?bn? 的前 n 项的和为 Sn ,证明: Sn ? 2 . 2 x2 五、 (本题满分 20 分) 已知椭圆 ? y 2 ? 1 ,P 是圆 x 2 ? y 2 ? 16 上任意一点,过 P 4 ??? ? ??? ? 点作椭圆的切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,求 PA ? PB 的最大值和最小值. 北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题 一、选择题(满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第 1 页指定地方,答对得 6 分,答错或不答均记 0 分) 2+x x>0 1.{5 x=0 则 f(

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