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2009-2017全国高中数学联赛分类汇编 第1讲不等式

2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 01 讲:不等式 ?y≥0 ? 1、 (2009 一试 3)在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由不等式 ?y≤2 ? x ? t ≤ x ≤ t ? 1 所确定, t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ,则 M 和 N 的公共面积是函数 f ? t ? ? . 【答案】 ?t 2 ? t ? 【解析】 1 2 y A C O D F E B x 1 1 1 2 由题意知 f ? t ? ? S阴影部分面积 ? S?AOB ? S?OCD ? S?BEF ? 1 ? t 2 ? ?1 ? t ? ? ?t 2 ? t ? 2 2 2 2、 (2009 一试 4)使不等式 为. 【答案】2009 1 1 1 1 ? ??? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3 3、 (2011 一试 3)设 a , b 为正实数, 【答案】-1 【解析】由 1 1 ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ? . a b 1 1 ? ? 2 2 ,得 a ? b ? 2 2ab .又 (a ? b) 2 ? 4ab ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 4(ab) 3 ? 4 ? 2 ab? (ab) 3 ? 8(ab) 2 , a b 即 a ? b ? 2 2ab ①于是 a ? b ? 2 2ab ② ? ?a ? 2 ? 1, ? ?a ? 2 ? 1, 再由不等式①中等号成立的条件,得 ab ? 1 .与②联立解得 ? 或? 故 loga b ? ?1 . ? ?b ? 2 ? 1, ? ?b ? 2 ? 1, 4、 (2012一试3)设 x, y, z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是. 【答案】 2 ? 1 【解析】不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ? 因为 y ? x ? z ? y ? z ? x. y ? x ? z ? y ? 2[( y ? x) ? ( z ? y)] ? 2( z ? x). 所以 M ? 2( z ? x) ? z ? x ? ( 2 ?1) z ? x ? 2 ?1. 当且仅当 y ? x ? z ? y , x ? 0, z ? 1, y ? 1 时上式等号同时成立.故 M max ? 2 ?1. 2 5、(2014 一试 2)设集合 { ? b | 1 ? a ? b ? 2} 中的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ? m =_________. 【答案】 5 ? 2 3 3 a 6、 (2015 一试 6)在平面直角坐标系 xOy 中点 K ? {( x, y) | (| x | ? | 3 y | ?6)(| 3x | ? | y | ?6) ? 0} 所对应的平面区域的面积为. 【答案】24 【解析】设 K1 ? {( x, y) || x | ? | 3 y | ?6 ? 0} ,先考虑 K1 在第一象限中的部分,此时有 x+3y≤6, 故这些点对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知, K1 对应的区域是图中以原点 O 为中心的 菱形 ABCD 及其内部. 同理,设 K2 ? {( x, y) || 3x | ? | y | ?6 ? 0} ,则 K 2 对应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部. 由点集 K 的定义知,K 所对应的平面区域是被 K1 , K2 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题要 求的即为图中阴影区域的面积 S. 由于直线 CD 的方程为 x+3y=6,直线 GH 的方程为 3x+y=6,故它们的交点 P 的坐标为 ( , ) , 3 3 2 2 由对称性知, S ? 8S ?CPG ? 8 ? 1 3 ? 4 ? ? 24. 2 2 7、 (2016 一试 1)设实数 a 满足 a ? 9a ? 11a ?| a | ,则 a 的取值范围是 3 . 【答案】 a ? (? 2 3 10 ,? ) 3 3 【解析】由 a ?| a | 可得 a ? 0 ,原不等式可变形为 1 ? 9a 3 ? 11a | a | ? ? ?1 a a 2 2 即 ? 1 ? 9a ? 11 ? 1 ,所以 a ? ( 10 4 2 3 10 , ) .又 a ? 0 ,故 a ? (? ,? ). 9 3 3 3 8、 (2009 一试 11)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值. 又由柯西不等式得 y 2 ? 所以 y ≤11 . ? x ? x ? 27 ? 13 ? x ? 2 1? ?1 ≤ ? ? 1 ? ? ? 2 x ? ? x ? 27 ? ? 3 ?13 ? x ? ? ? 121 2 3? ? 由柯西不等式等号成立的条件,得 4x ? 9 ?13 ? x ? ? x ? 27 ,解得 x ? 9 .故当 x ? 9 时等号成立.因此 y 的最大 值为 11. 1 ? n k ? ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… 9、 (2009 二试 2)求证不等式: ?1 ? ? ? 2 ? 2 ? k ?1 k ? 1 ? 【解析】证明:首先证明一个不等式: ⑴ x ? ln(1 ? x) ? x , x ? 0 . 1? x x . 1? x 事实上,令 h( x) ? x ? ln(1 ? x) , g ( x) ? ln(1 ? x) ? 则对 x ? 0 , h?( x) ? 1 ? 1 1 x 1 ? ? ?0. ? 0 , g ?( x) ? 2 1 ? x (1 ? x) (1

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