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高二数学周练(二)有答案


高二数学周练(二)
姓名 班级 得分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分. 1. 集合 A = A.

?x 2 ? x ? 5?,B = ?x 3x ? 7 ? 8 ? 2x?则 (C A) ? B 等于 B. ?x x ? 2? C. ?x x ? 5? ?
R

D.

?x 2 ? x ? 5?

2.函数 y ? A. (-∞,1)

? x 2 ? 2x ? 3 的单调递减区间是
B. (1, +∞) C. [-1, 1] D. [1,3]

? ? 3 ? ? 1 3. 已知 a = ( , sin ? ), b = (cos ? , ) 且 a ∥ b ,则锐角 ? 的大小为 2 3
A. 4. 等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 , 则 ?an ? 的前 4 项和为 A. 81 B. 120 C. 168

? 6

B.

? 3

C.

? 4

D.

5? 12

D. 192

5. 在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ? A. ?

1 8

B. ?

1 7

13 ,则最大角的余弦值是 14 1 C. ? 6

D. ?

1 5

6. 下列函数中,图象如右图的函数可能是 A. y ? x3 C. y ? B. y ? 2x D. y ? log 2 x

x

7. 若平面向量 a , b 的夹角为 60 ,且 | a |? 2 | b | ,则 A. a ? (b ? a) C. b ? (b ? a ) B. a ? (b ? a) D. b ? (b ? a ) (第 6 题图)

8.直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 与圆 C : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定

9. 把正弦函数 y=sinx(x∈R)图象上所有的点向左平移 所有的点的横坐标缩短到原来的 A.y=sin ( x ?

? 个长度位,再把所得函数图象上 6

1 2

?
6

)

1 倍,得到的函数是 2 1 ? ? B.y=sin ( x ? ) C.y=sin (2 x ? ) 2 6 6

D. y=sin (2 x ?

?
3

)

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10.若满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 的点 P( x, y) 构成三角形区域,则实数 k 的取值范围是 ? kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 ?
A. (1, ??) B. (0,1) C. (?1,1) D. (??, ?1)

(1, ??)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分. 11. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 S n ? 3n 2 ? 2n ? 1 , 则 其 通 项 公 式 为

? 2 (n ? 1) an ? ? ?6n ? 5 (n ? 2)
12. 已知 A(m, n) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,则 2 ? 2 的最小值是
m n

4

13. 直线 l 经过点 P(5,5) ,且和圆 C: x2 ? y 2 ? 25 相交,截得弦长为 4 5 ,则 l 的方程

2 x ? y ? 5 ? 0或x ? 2 y ? 5 ? 0
14. 已知 A(-1,-2) ,B(2,3) ,C(-2,0) ,D(x, y) ,且 AC =2BD ,则 x+y=

11 2

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) 15. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 若 存 在 x1 , x 2 , 当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时 , 1 ? 2 x ?1 , x ? [ ,2) 2 ? 2? 2 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 f ( x2 ) 的取值范围是 [ , ] 4 2

一.选择题: (每小题 2 分,共 20 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C B 4 5 B 6 C 7 D 8 A 9 C 10 A

二.填空题: (每小题 2 分,共 10 分) 11. 12.

13.

14.

15.

三、解答题:本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分. 16. (10 分)函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x( x ? R) 的最大值为 M,最小正周期为 T (1)求 M、T; (2)若有 10 个互不相等的正数 x i 满足 f ( xi ) ? M ,且 xi ? 10? (i ? 1 , 2 , ? ,10) , 求 x1 ? x2 ? ? ? x10 的值。

17. 已知数列 {an } 中各项均为正数,且前 n 项和 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)对 n ? N ,设 bn ?
?

1 2 (a n ? a n ) 2

(an ? 1) 2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 2S n ? S n?1

18. 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ?

9 ? a , x ? [1, 6] , a ? R . x

(1)若 a ? 1 ,试判断并证明函数 f ( x ) 的单调性; (2)当 a ? (1, 6) 时,求函数 f ( x ) 的最大值的表达式 M (a) .

16. f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

M=2; T ?

2? ?? 2

(2)∵ f ( xi ) ? 2 ,即 sin( 2 xi ? ∴ 2 xi ?

?
6

) ? 2,

(k ? Z ) 6 2 6 又 0 ? xi ? 10? ,∴k=0,1,2,…,9。
∴ x1 ? x 2 ? ? ? x10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9)? ? 10 ? 17.解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

?

? 2k? ?

?

, xi ? k? ?

?

?
6

?

140 ? 3

1 2 (a1 ? a1 ) ,? a1 ? 1 2 1 1 2 2 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? a n ) ? ( a n ?1 ? a n ?1 ) 2 2 2 2 化简得 an ? an?1 ? an ? an?1 ,? an ? 0 ,? an ? an?1 ? 1,? an ? n ,验证 a1 ? 1

(n ? 1) 2 1 1 ? ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n n ? 2 2 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )?( ? )、 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 1 1 1 3 1 ? 1? ? ? ? ? 2 n ? 1 n ? 2 2 (n ? 1)(n ? 2)
(2)由(1)得 S n ?

n(n ? 1) ,? bn ? 2

18.证明:当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

9 ,在区间 [1, 6] 上任意 x1 , x2 ,设 x1 ? x2 , x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ?

9 9 9 9 ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) x1 x2 x1 x2

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 6) ?0 x1 x2

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x ) 在 [1, 6] 上是增函数.

9 ? 2a ? ( x ? ),1 ? x ? a, ? ? x (2)因为 a ? (1, 6) ,所以 f ( x) ? ? ?x ? 9 , a ? x ? 6, ? x ?
①当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, a] 上是增函数,在 [ a, 6] 上也是增函数,

所以当 x ? 6 时, f ( x ) 取得最大值为

9 ; 2

②当 3 ? a ? 6 时, f ( x ) 在 [1,3] 上是增函数,在 [3, a ] 上是减函数,在 [ a, 6] 上是增 函数, 而 f (3) ? 2a ? 6, f (6) ?

9 , 2 21 9 9 当3 ? a ? 时, 2a ? 6 ? ,当 x ? 6 时,函数 f ( x ) 取最大值为 ; 4 2 2 21 9 ? a ? 6 时, 2a ? 6 ? ,当 x ? 3 时,函数 f ( x) 取最大值为 2a ? 6 ; 当 4 2

21 ?9 , 1? a ? , ? ?2 4 综上得, M ( a ) ? ? ? 2a ? 6, 21 ? a ? 6. ? ? 4


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