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浅谈高考数学选择题的解法


浅谈高考数学选择题的解法
数学选择题在福建高考试卷中, 所占的分值占全卷的 40%, 它具有概括性强, 知识覆盖面广,小巧灵活,且有一定的综合性和深度等特点,考生能否迅速、准 确、全面、简捷地解好选择题,对于能否进入最佳状态,以至于整个考试的成败 起着举足轻重的作用.解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题 的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细 审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的 必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过 40 分钟左右,速度越快 越好,高考要求每道选择题在 1~3 分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发 生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大 多数题的解答可用特殊的方法快速选择。 解选择题的基本思想是既要看到各类常 规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且 仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题 过程, 要充分利用题干和选择支两方面提供的信息, 依据题目的具体特点, 灵活、 巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。数学选择题 的求解,一般有两种思想,一是从题干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支 联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件。由于选择题提供了备选答案, 又不要求写出解题过程,因此出现了一些特有的解法,在选择题求解中很适合, 下面结合近年的高考试题,分别介绍几种常用方法。 直接法: 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结 论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数 学基础。 例 1、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜 线 l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的 任一个平面与 b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都 解析 是正确的,故选 D。 例 2、(08 浙江)若双曲线 2,则双曲线的离心率是( (A)3 (B)5 x2 y2 ? = 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3: a 2 b2 ) (C) 3 (D) 5

a2 a2 解析:由已知得, ( + c) : (c ? ) = 3 : 2 ,解得 c 2 = 5a 2 ,故选 D. 解析 c c 2、特例法:就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特 特例法: 殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特 殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。用 特例法解选择题时,特例取得愈简单、愈特殊愈好。 (1)特殊值

例 3、(08 四川)若 0 ≤ α ≤ 2π ,sin α > 3 cos α ,则 α 的取值范围是:(
?π π ? (A) , ? ? ?3 2? ?π ? (B) , π ? ? ?3 ? ? π 4π ? (C) , ? ? ?3 3 ?

)

? π 3π ? (D) , ? ? ?3 2 ?

解析:取 α = 解析

π
2

, 排除A,α=π ,排除B,α=
1 2

4π ,排除D,故选C . 3
a+b? ? ,则 ( ? 2 ?

例 4、 a > b > 1, P = lg a ? lg b , Q = ( lg a + lg b ) , R = lg ? ?



( A) R < P < Q

( B) P < Q < R

(C ) Q < P < R
3 2

( D) P < R < Q
100 + 10 ? 3 ? > lg 100 × 10 = . 2 2 ? ?

则 解析: 解析 由 a > b > 1, 不妨取 a = 100, b = 10 , P = 2, Q = , R = lg ? ? 故选 B.

1) 例 5、(08 全国二)若 x ∈ (e?1,,a = ln x,b = 2 ln x,c = ln 3 x ,则(
A. a < b < c
? 1 2



B. c < a < b

C. b < a < c

D. b < c < a

1 1 解析:令 x = e , 则, a = ? , b = ?1, c = ? ,故选 C. 解析 2 8
(2)特殊函数 例 6、定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数,设 a+b≤0,给出下列不等式:① f(a)· f(-a)≤0; ②f(b)· f(-b)≥0; ③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b); ④f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)。其中正确的不等式序号是( A.①②④ B.①④ C.②④ ) D.①③

解析:取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选 B。 解析 (3)特殊数列 已知等差数列 例 7、 A、
a1 + a101 > 0

{an }

满足

a1 + a2 + ??? + a101 = 0

, 则有 D、
a51 = 51





B、

a2 + a102 < 0 an = 0

C、 ,则

a3 + a99 = 0

解析:取满足题意的特殊数列 (4)特殊位置

a3 + a99 = 0

,故选 C。

直三棱柱 ABC—A B C 的体积为 V, Q 分别为侧棱 AA 、 上的点, AP=C Q, P、 CC 且 例 8、 则四棱锥 B—APQC 的体积是( (D) V 解 析 : 令 P 、 Q 分 别 为 侧 棱 AA 、 CC 的 中 点 , 则 可 得
/ /

/ /

/

/

/

/

)(A) V

1 2

(B) V

1 3

(C) V

1 4

1 5

V=

1 1 1 1 1 S A′ACC ′ h,VB ? APQC = S APQC h = h S A′ACC ′ = V ,故选 B 2 3 3 2 3

例9、(99高考)向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的 函数关系的图象如右图所示,那么水瓶的形状是 ( )

解析:取 h = 解析 (5)特殊点

H 1 ,由图象可知,此时注水量 V 大于容器容积的 ,故选B。 2 2

10、(08 天津)函数 y = 1 + x ( 0 ≤ x ≤ 4 )的反函数是( 例 10 (A) y = ( x ? 1) 2 (1 ≤ x ≤ 3 ) (C) y = x 2 ? 1 (1 ≤ x ≤ 3 )



(B) y = ( x ? 1) 2 ( 0 ≤ x ≤ 4 ) (D) y = x 2 ? 1 ( 0 ≤ x ≤ 4 )

解析: x=4时,y=3, y ≤ 1 + 4 = 3 ,则它的反函数过点 且 (3, , 4) 解析 由函数 y = 1 + x , 故选A (6)特殊方程

α
例 11、 11 双曲线 b x -a y =a b (a>b>0)的渐近线夹角为α, 离心率为 e,则 cos 2 等 于( ) 1 C. e 1 2 D. e
2 2 2 2 2 2

A.e

B.e2

解析:本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来 解析 x2 y2 5 α 2 考察。取双曲线方程为 4 - 1 =1,易得离心率 e= 2 ,cos 2 = 5 ,故选 C。 3、图像法:就是利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、 图像法 解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观几性,再辅 以简单计算,确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想,每年高考均有 很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决,既简捷又迅速。 12、 例 12

若 关 于 x的 方 程 ( A)k = ± 3

1 ? x 2 = kx + 2有 唯 一 实 数 解 , 则 实 数 k为 ( ) 3

( B )k < ? 2或 k > 2

(C ) ? 2 < k < 2 ( D ) k < ? 2或 k > 2或 k = ±

解析:如图,令 y1 = 1 ? x 2 , y2 = kx + 2 ,则它们分别表示半圆和过点(0,2) 解析 的直线系,由图可知,直线和半圆相切,以及交点横坐标在(-1, 1)内 时,有一个交点,故选 D.

4、验证法(代入法):就是将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去 验证法(代入法) 验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验 证法解题时,若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。 13、满足 7 x ? 3 + x ? 1 = 2 的值是 ( 例 13 )

( A) x = 3

( B) x =

3 7

(C ) x = 2

( D) x = 1

解析:将四个选择支逐一代入,可知选 D . 解析 筛选法(也叫排除法、淘汰法):就是充分运用选择题中单选题的特征,即 5、筛选法 有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的 关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾 的干扰支逐一排除, 从而获得正确结论的方法。 使用筛选法的前提是 “答案唯一” , 即四个选项中有且只有一个答案正确。 14、若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( ) 例 14 A.(1, 2 ]
3 B.(0, 2 ]
1 2 C.[ 2 , 2 ] 1 2 D.( 2 , 2 ]

x ∈ (0, ] 3 ,由此可得 y=sinx+cosx>1,排 解析:因 x 为三角形中的最小内角,故 解析

π

除 B,C,D,故应选 A。 6、分析法:就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、 分析法 分析和加工后而作出判断和选择的方法。 (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特 特征分析法 征等,进行快速推理,迅速作出判断的方法,称为特征分析法。

15、已知 例 15

sin θ =

m?3 4 ? 2m π θ , cos θ = ( <θ <π) tan m+5 m+5 2 2 等于 ( ,则 m?3 | B、 9 ? m | 1 C、 3



m?3 A、 9 ? m

D、 5

2 2 解析: 故 于是 sinθ,cos 解析 由于受条件 sin θ+cos θ=1 的制约, m 为一确定的值,

θ θ
tan 2 >1,故选 D。

π

π θ π

θ的值应与 m 的值无关,进而 tan 2 的值与 m 无关,又 2 <θ<π, 4 < 2 < 2 ,∴

(2)逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误 逻辑分析法— 支,选出正确支的方法,称为逻辑分析法。(1)若(A)真 ? (B)真,则(A) 必排出,否则与“有且仅有一个正确结论”相矛盾. (2) 若(A) ? (B),

则(A) (B)均假。 (3)若(A) (B)成矛盾关系,则必有一真,可否定(C)(D). 16、 则 例 16 设 a,b 是满足 ab<0 的实数, A.|a+b|>|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| B.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<|a|+|b| ( )

解析:∵A,B 是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除错误支 C,D。又由 ab<0, 解析 可令 a=1,b= -1,代入知 B 为真,故选 B。 7、估算法:就是一种粗略的计算方法,即对有关数值作扩大或缩小,从而对运 估算法: 算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法。 例 17 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF//AB, EF=3/2,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为( A)9/2 B)5 C)6 D)15/2
E D


F C

解析:连接 BE、CE 则四棱锥 E-ABCD 的体积 解析
1 VE-ABCD= 3 ×3×3×2=6,又整个几何体大于部分的体积,

A

B

所求几何体的体积 V 求> VE-ABCD,选(D)

说明: 解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的方法, 说明:1、解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的方法,其它方法不再

一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合 一一举例。 起来进行解题,会使题目求解过程简单化。 起来进行解题,会使题目求解过程简单化。 2、对于选择题一定要小题小做,小题巧做,切忌小题大做。“不择手段,多快 对于选择题一定要小题小做 小题巧做,切忌小题大做。 不择手段, 好省”是解选择题的基本宗旨。 好省”是解选择题的基本宗旨。


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