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空间几何体的表面积和体积(教案)


41 中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积
一.命题走向
由于本讲公式多反映在考题上,预测 008 年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题;

二.要点精讲
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底
1 S 底·h 3

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

1 h(S 上底+S 下底 3

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2



S侧 S全
V

4π R

2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、 分别表示母线、 r 表示圆柱、 h 高, 圆锥与球冠的底半径, 1、 2 分别表示圆台 上、 r r 下底面半径,R 表示半径。

四.典例解析
题型 1:柱体的体积和表面积 例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: ?

?2( xy ? yz ? zx) ? 20 ?4( x ? y ? z ) ? 24

(1) ( 2)

由(2)2 得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm)。
1

点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系。 例 2.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱分 成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ____ _。 解:设三棱柱的高为 h,上下底的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh。 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴S△AEF=

1 S, 4

V1=

1 1 1 7 h(S+ S+ S ? )= Sh 4 12 3 4

V2=Sh-V1=

5 Sh, 12

∴V1∶V2=7∶5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型 2:锥体的体积和表面积 例 3. (2006 上海,19)在四棱锥 P-ABCD 中,底面是 边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ? ,对角线 AC 与 BD 相交 于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角 为 60 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积? 解: 在四棱锥 P-ABCD 中, PO⊥平面 ABCD, (1) 由 得∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,∠PBO=60° 。 在 Rt△ AOB 中 BO=ABsin30° 由 PO⊥BO, =1, 于是 PO=BOtan60° 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 。 = ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=
?

P

D A B O C

1 × 3 × 3 =2。 2 3

点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力。
A

例 4. (2006 江西理,12)如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心 O,且与 BC, DC 分别截于 E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分, 设四棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1,S2,则 必有( ) A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定
2

O

D F

B

E C

解:连 OA、OB、OC、OD, 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC, 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC +SEFC 又面 AEF 公共,故选 C 点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

题型 3:棱台的体积、面积 例 5. (1998 全国,9)如果棱台的两底面积分别是 S、S′,中截面的面积是 S0,那么 (1) ( ) A. 2

S0 ? S ? S ?

B. S 0

? S ?S

C.2S0=S+S′ D.S02=2S′S

(2) (1994 全国,7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体 积为( ) A.32

3

B.28

3

C.24

3

D.20

3

解析: (1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为 A; (2) 正六棱台上下底面面积分别为: 上=6· S

3 2 3 2 · =6 3 , 下=6· 2 S · =24 3 , 4 4 4

V 台= h( S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 ) ? 28 3 ,答案 B。 点评:本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解,此种 解法在解选择题时很普遍,如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。

1 3

题型 6:圆柱的体积、表面积及其综合问题 例 6. (2000 全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与 侧面积的比是( ) A.

1? 2? 2?

B.

1? 4? 4?

C.

1? 2?

?

D.

1? 4? 2?

解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则由题设知 h=2π r. ∴S 全=2π r2+(2π r)2=2π r2(1+2π ).S 侧=h2=4π 2r2, ∴

S 全 1? 2? ? 。答案为 A。 S侧 2?

点评:本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。

3

例 7. (2003 京春理 13,文 14)如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适 量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则

R = r



解析:水面高度升高 r,则圆柱体积增加π R2·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积, 因此有

R 2 3 4 3 2 3 π r =π R2r。故 ? 。答案为 。 3 r 3 3

点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。

题型 4:圆锥的体积、表面积及综合问题 例 8. (2002 京皖春,7)在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如 (1) 图所示) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( ) A.

9 π 2

B.

7 π 2

C.

5 π 2

D.

3 π 2



(2) (2001 全国文,3)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 全面积是( )A.3π B.3

3 ,则这个圆锥的

3 π C.6π D.9π

解析: (1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥 C—ADE 与圆锥 B—ADE 体积之差,又 ∵求得 AB=1。 ∴ V ? VC ? ADE ? VB ? ADE ? (2)∵S=

1 5 1 3? ,答案 D。 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ?1 ? 3 2 3 2

1 1 absinθ ,∴ a2sin60°= 3 , 2 2

∴a2=4,a=2,a=2r, ∴r=1,S 全=2π r+π r2=2π +π =3π ,答案 A。 点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是 空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

4

例 9. (2000 全国文,12)如图所示,OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线, OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分, 则母线与轴的夹角的 余弦值为( ) A.

3

1 2

B.

1 2

C.

1 2

D.

4

1 2


1 1 解析:如图所示,由题意知, π r2h= π R2h, 3 6
∴r=

R . 又△ABO∽△CAO, 2



r OA R2 R , OA ? 4 , ? ,∴OA2=r·R= OA R 2 2
OA 1 ? 4 ,答案为 D。 R 2



∴cosθ =

点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。

题型 5:球的体积、表面积 例 10 . 已 知 过 球 面 上 A, B, C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 , 且

AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积。 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R ,
则 O?A ?

2 3 2 3 ? ?2 ? , 3 2 3
2 2 2

在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O , ∴R ?(
2

2 3 2 1 2 ) ? R , 3 4

∴R ?

4 , 3
2

∴ S ? 4? R ?

64 ?。 9

点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。

5

例 11.如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

解析:如图,设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′,球心到该圆面 的距离为 d。 在三棱锥 P—ABC 中,∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= 2 a,且 P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′。

由正弦定理,得

2a 6 =2r,∴r= a。 sin 60 ? 3

又根据球的截面的性质,有 OO′⊥平面 ABC,而 PO′⊥平面 ABC,
2 2 2 ∴P、 O′共线, O、 球的半径 R= r ? d 。 PO′= PA ? r = a ? 又
2 2

3 2 2 a = a, 3 3

∴OO′=R -

3 3

a=d= R ? r ,(R-
2 2

3 3

a)2=R2 – (

6 2 3 a) ,解得 R= a, 3 2

∴S 球=4π R2=3π a2。 点评:本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体 内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径 R= 题型 9:球的面积、体积综合问题 例 12. (2006 四川文,10)如图,正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶 (1) 点 A, B, C, D 在球 O 的同一个大圆上, P 在球面上, 点 如果 VP ? ABCD ? 则球 O 的表面积是( ) A. 4? B. 8? C. 12? D. 16?

3 a,下略。 2

16 , 3

(2)半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 , 求球的表面积和体积。 解析: (1)如图,正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点

6

2 S 点 PO⊥底面 ABCD, PO=R, ABCD ? 2 R , A, B, C, D 在球 O 的同一个大圆上, P 在球面上,

VP ? ABCD ?

16 1 16 ,所以 ? 2 R 2 ? R ? ,R=2,球 O 的表面积是 16? ,选 D。 3 3 3

(2)作轴截面如图所示,

CC? ? 6 , AC ? 2 ? 6 ? 2 3 ,
设球半径为 R , 则 R ? OC ? CC ?
2 2 2

? ( 6)2 ? ( 3)2 ? 9
∴ R ? 3, ∴ S球 ? 4? R ? 36? , V球 ?
2

4 3 ? R ? 36? 。 3

点评: 本题重点考查球截面的性质以及球面积公式, 解题的关键是将多面体的几何要素 转化成球的几何要素。 例 13.表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积。 解: 设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,

则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ? 又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 ,
2

2a ,

∴ AC ?

AC ?2 ? CC ?2 ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,
王新敞
奎屯 新疆

∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ?14 ? 576

7

题型 6:球的经纬度、球面距离问题 例 14.在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经过 这三点的截面的距离。 解:设经过 A, B, C 三点的截面为⊙ O? , 设球心为 O ,连结 OO? ,则 OO? ? 平面 ABC , ∵ AO? ?

3 2 ?12 ? ? 4 3 , 2 3
2 2

∴ OO? ? OA ? OA? ? 11 , 所以,球心到截面距离为 11cm .

例 15.在北纬 45 圈上有 A, B 两点,设该纬度圈上 A, B 两点的劣弧长为 球半径) ,求 A, B 两点间的球面距离。 解: 设北纬 45 圈的半径为 r , r ? 则
?

?

2 ? R ( R 为地 4

2 R , O? 为北纬 45? 圈的圆心,?AO' B ? ? , 设 4

∴?r ? ∴? ?

2 2 2 R? ? ?R, ? R ,∴ 2 4 4
,∴ AB ?

?
2

2r ? R ,

∴ ?ABC 中, ?AOB ?

?
3



所以, A, B 两点的球面距离等于

? R. 3

点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,

例 16.地球半径为 R,A、B 两地都在北纬 45°线上,且 A、B 的球面距离为 两地经度的差. 解:90 度

,求 A、B

8

空间几何体的表面积和体积思维总结
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a ;
2

(2)体积:V=

2 3 a; 12 2 a; 2

(3)对棱中点连线段的长:d=

(4)内切球半径:r=

6 a; 12
R=

(5)外接球半径

6 a; 4

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2. 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角 四面 体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③体积 V=

1 abc; 6
a 2b2 ? b2c2 ? c2a 2 ;

④底面△ABC=
2

1 2

⑤S △ABC=S△BHC·S△ABC; 2 2 2 2 ⑥S △BOC=S △AOB+S △AOC=S △ABC

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c 1 a 2 ? b2 ? c2 ; ⑧外切球半径 R= 2
⑦ ⑨内切球半径 r=

S ?AOB ? S ?BOC - S ?ABC a?b?c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为β ,母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,底面半径为 r,则 sinα =cos α +

? =90° ? 2

? h = , l 2

9

cosα =sin

? r = . 2 l

②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,上、下底面半径分 别为 r ′、r,则 h=lsinα ,r-r′=lcosα 。 ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r= R - d .
2 2

4.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平 面所成的二面角的度数。 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

?

10

5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离, 就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度, 我们 把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
王新敞
奎屯 新疆

11


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