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与圆有关的位置关系复习课课件


圆一章教材知识梳理二

直线与圆的位置关系

考点清单
考点1 直线与圆的位置关系

考点2 切线的性质与判定(高频考点) 考点3 三角形的内切圆

考点1
直线与圆的位置关 系

直线与圆的位置关系
相离 相切 相交

图形 2 ③___ d<r

公共点个数 d与r的关系

0 > r d④___

1 = r d⑤___

考点3

切线的性质与判定(高频考点)

1. 切线的定义: 直线与圆 只有一个 公共点, 这时称直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线, 这个公共点叫做切点. 2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并

且____ 垂直于这条半径的直线是圆的切线

【智慧锦囊】 证明圆的切线技巧: (1)如果直线与圆有交点,连结圆心与交点的半径,证明 直线与该圆的半径垂直,即“有交点,作半径,证 垂直”; (2)如果直线与圆没有明确的交点,则过圆心作该直线的 垂线段,证明垂线段等于半径,即“无交点,作垂 直,证半径”.

垂直 于过切点的半径. 3. 切线的性质: 圆的切线____ 【智慧锦囊】 圆的切线的性质应用技巧: (1)如果直线与圆的切点已知,连结圆心与切点的半径, 可得切线与该圆的半径垂直,即“有切点,连半 径,得垂直”; (2)如果切线与圆没有明确的切点,则过圆心作该切线的 垂线段,可得垂线段等于半径,即“无切点,作垂 直,得半径”.

4.切线长定理

切线长定义:从圆外一点作圆的切线,把圆外这一点到切
点间的线段的长叫做切线长. 切线长定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长相等. 基本图形:如图,点P是⊙O外一点, PA,PB切⊙O于点A,B,AB交PO于点C, 则有如下结论: (1)PA=PB; (2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,∠AOP=∠BOP=

∠CAP=∠CBP;
(3)AB⊥OP且AC=BC.

考点4

三角形的内切圆

1. 定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切

圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心,内心是三角
角平分线 的交点. 形三条_________

2. 性质:
边 距离相等. 三角形的内心到三角形各____

【智慧锦囊】 ⊙I内切于△ABC,切点分别为D,E,F, 如图.

1 (1)∠BIC=90°+ ∠BAC; 2 (2)△ABC 三边长分别为 a,b,c,⊙I 的半径为 r, 1 则有 S△ABC= r(a+b+c); 2 (3)△ABC 中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内 a+b-c 切圆半径 r= . 2

常考类型剖析
类型 切线的证明及相关计算 例(’15武汉)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=

45°,AT=AB.
(1)求证:AT是⊙O的切线; (2)连接OT交⊙O于点C,连接AC, 求tan∠TAC的值.

(1)【思路分析】由AB=AT,知∠ATB=∠B=

45°,即∠BAT=90°,进而得证.
证明:∵AB是⊙O的直径,AB=AT,∠ABT= 45°, ∴∠ATB=∠ABT=45°,∴∠BAT=90°, ∴AT是⊙O的切线;

(2)【思路分析】过C点作CD⊥AB,即可得

OA OA ? 进而求得AD、CD长,即可求得tan∠TAC的值. TA AB 解:如解图,作CD⊥AB于点D,

OD ? CD

∵∠BAT=90°∴CD∥AT, OD OA OA 1 ? ? ? , ∴CD=2OD. ∴ CD TA AB 2 设OD=a,则CD=2a,∴OA=OC= 5a , ∴AD=OA-OD= ( 5 ?1)a ,∵CD∥AT,∴∠TAC=∠ACD, ∴tan∠TAC=tan∠ACD= . AD 5 ?1 ? CD 2

拓展(’15陕西)如图,AB是⊙O的直径,AC是

⊙O的弦,过点B作⊙O的切线DE,与AC的延长线交于点
D,作AE⊥AC交DE于点E. (1)求证:∠BAD=∠E; (2)若⊙O的半径为5,AC=8,求BE的长.

(1)证明:∵⊙O与DE相切于点B,
AB为⊙O的直径,

∴∠ABE=90°,
∴∠BAE+∠E=90°,

又∵∠DAE=90°,
∴∠BAD+∠BAE=90°, ∴∠BAD=∠E.

(2)解:如解图,连接BC. ∵AB为⊙O的直径.∴∠ACB=90°,

∵AC=8,AB=2×5=10,
∴BC=
AB2 ? AC 2 ? 6 .

又∵∠BCA=∠ABE=90°,∠BAD=∠E, AC BC ? ∴△ABC∽△EAB,∴ , EB AB 8 6 ? ∴ , EB 10 40 ∴BE= . 3


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