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江苏省响水中学高中数学 第二章《函数的概念》导学案 苏教版必修1


江苏省响水中学高中数学 第二章 《函数的概念》 导学案 苏教版必修 1

1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的定义域、函数值.

我国著名数学家华罗庚说过这样一句话:从具体到抽象是数学发展的一条重要大道 .我 们来看三个现象:①清晨,太阳从东方冉冉升起;②随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐 变暖;③中国的国内生产总值在逐年增长.

问题 1:在初中,我们学习过函数,函数是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型, 上述三个事例,向我们阐述了一个事实,世界时刻都是变化的,那么变化的本质是什么呢? 从数学的角度看,我们发现在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化 时,另一个变量随之发生变化.若当第一个变量确定时,另一个变量也随之确定,则它们之间 具有 . 问题 2: 设 A 、 B 是非空数集 , 如果按照某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的 数 x,在集合 B 中都有 的数 y 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数.记作 .其中 x 叫作 ,x 的取值集合叫作函数的 ;与 x 的 值相对应的 y 值叫作 ,函数值的集合叫作函数的 . 问题 3:(1)函数 f:A→B 应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分? (2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么 新的认识? (1)应满足:①集合 A、B 都是 ;②对于数集 A 中的每一个元素 x,在对应关 系 f:A→B 下,在数集 B 中都有 的元素 y 与之对应. 一个函数的构成要素: 、 和 ,简称为函数的三要素. (2)如果两个函数的 和 分别相同,那么它们的值域一定相同.由此 可以认识到:只要两个函数的 和 分别相同,那么这两个函数就相等.

1

问题 4:如何求函数的定义域? 函数的定义域主要通过解不等式(组)或方程(组)来求解,定义域要用集合或区间表示. 求给出解析式的函数的定义域需注意:①分式的分母 不能为 ;②偶次根式的被 开方数 ;③0 次幂的底数不能为 ;④实际问题中定义域要由 确 定.

1.四个函数:①y=x+1;②y=x ;③y=x -1;③y= . 其中定义域相同的函数有 . 2.若[a,3a-1]为一确定区间,则 a 的取值范围是 3.已知 f(x)=2x+1,则 f(5)= . 4.已知函数 f(x)= (1)求函数的定义域; (2)求 f(-1),f(12)的值. .

3

2

.

对函数概念的考查 (1)设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 y=f(x)的定义域为 M,值域为 N,对于下列四 个图象,不可作为函数 y=f(x)的图象的是 .

(2)下列函数中,与函数 y=x+1 相等的函数是 ①y=(x+1) ;②y=t+1;③y=(
0

.

) ;④y=|x+1|.

2

函数值的求法 3 已知 f(x)=x +2x+ 3,求 f(1),f(t),f(2a-1)和 f[f(-1)]的值.

函数定义域的求法

2

求下列函数的定义域: (1)f(x)= ;

(2)f(x)=

(a 为不等于 0 的常数).

判断下列各组函数是否表示相等函数. (1)f(x)= 与 g(x)= ;

(2)f(x)= 与 g(x)=1; (3)f(x)=x -x 与 g(t)=t(t-1); (4)f(x)= 与 g(x)=( ).
2 2

已知函数 f(x)=x +|x-2|,求 f(1)和 f(x +2).

2

2

求下列函数的定义域. (1)y= + ;

(2)y=

.

1.函数 y= 的定义域是

.
R

2.设全集 U=R,集合 A=[3,7),B=(2,10),则 3.把下列集合用区间表示出来. (1){x| ≥0}= ;

(A∩B) =

.

3

(2){x|-2≤x<8 且 x≠1}= 4.已知 f(x)=
2

.

,g(x)=x +2,求 f(2),f(g(2)).

(2013 年·陕西卷)设全集为 R,函数 f(x)= A.[-1,1] B.(-1,1) 考题变式(我来改编):

的定义域为 M,则

R

M 为(

).

C.(-∞,-1]∪[1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

第二章 函



第 1 课时 函数的概念 知识体系梳理 问题 1 :函数关系 问题 2:任意一个 唯一确定 y=f(x),x∈A 自变量 定义域 函数值 值域 问题 3:(1)①非空数集

②唯一确定 定义域 对应关系 值域

(2)定义城 对应关系 定义域 对应关系 问题 4:①0 ②非负 ③0 ④实际意义 基础学习交流 1.①②③ ①②③的定义域都是 R,④的定义域是{x∈R|x≠0}.

4

2.( ,+∞) 由题意,得 3a-1>a,则 a> . 3.11 f(5)=2×5+1=11. 4.解:(1)由题意知,x-1≠0 且 x+4≥0, 即 x≥-4 且 x≠1. 即函数的定义域为[-4,1)∪(1,+∞). (2)f(-1)=

-

=-3-

;

f(12)=

-

= -4=- .

重点难点探究 探究一:【解析】(1)由函数定义可知,任意作一条直线 x=a,则与函数的图象至多有一个 交点,结合选项可知③中的图象不表示 y 是 x 的函数. (2)①③选项中定义域与 y=x+1 不同;④项中对应关系不同.对于②,尽管自变量不一样, 但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数. 【答案】(1)③ (2)② 【小结】(1)给定图象 判断是否为函数关系时,可用垂直于 x 轴的直线与已知图象的交 点个数来判断,若交点多于一个,则不是函数关系;(2)当且仅当定义域和对应关系完全相同 时,两个函数才相等. 探究二:【解 析】f(1)=1 +2×1+3=6;
3

f(t)=t3+2t+3; f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a; f[f(-1)]=f[(-1)3+2×(-1)+3]=f(0)=3.
【小结】求函数的值只需将自变量的值代入函数的解析式化简即可. 探究三:【解析】(1)要使函数有意义,需满足 x-2≠0,故函数的定义域为 x≠2. (2)要使函数有意义,需满足 ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥ }. [问题]上面两个题目的解答正确 吗? [结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨 论. 于是,正确解答如下: (1)要使函数有意义,需满足 x-2≠0,即 x≠2. 故函数的定义域为{x|x≠2}. (2)要使函数有意义,需满足 ax-3≥0. 当 a>0 时,函数的定义域为{x|x≥ };
5

当 a<0 时,函数的定义域为{x|x≤ }. 【小结】 在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即 可求得函数的定义域.其依据有分式的分母不为 0、 偶次根式中被开方数不小于 0、 零次幂的 底数不等于零等.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时, 定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合. 思维拓展应用 应用一 :(1)f(x) 与 g(x) 不相等 ;(2)f(x) 与 g(x) 不相等 ;(3)f(x) 与 g(t) 是相等函 数;(4)f(x)与 g(x)不相等. 应用二:f(1)=1 +|1-2|=2.
2

f(x2+2)=(x2+2)2+|x2+2-2|=x4+5x2+4.
应用三:(1)为使函数式有意义,则有 故所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞). ( 2)要使函数有意义,需满足 解得 x<0 且 x≠-1, 故函数的定义 域为(-∞,-1)∪(-1,0). 基础智能检测 1.{x|x≠0} 要使函数有意义,需满足 x≠0,用集合表示为{x|x≠0}. 2.(-∞,3)∪[7,+∞) ∵A∩B=[3,7),∴ 3. (1)[2,+∞) (2)[-2,1)∪(1,8) 4.解:f(2)=
R

解得

即 x>-2,且 x≠3.



(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).

= ,g(2)=22+2=6,

故 f(g(2))=f(6)= 全新视角拓展 D

=.

∵1-x2≥0,即 x∈[-1,1],∴f(x)的定义域 M=[-1,1],则

R

M=(-∞,-1)∪(1,+∞).

思维导图构建 唯一 定义域、值域、对应法则 定义域 对应关系

6


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