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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案3.1.1方程的根与函数的零点


3.1.1 方程的根与函数的零点
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解函数零点的意义,了解函数零点与方程根的关系. (2)由方程的根与函数的零点的探究,培养转化化归思想和数形结合思想. 2.过程与方法 由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与 x 轴的交点情况分析,导入零点的概念, 引入方程的根与函数零点的关系,从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力. 3.情感、态度与价值观 在体验零点概念形成过程中, 体会事物间相互转化的辨证思想, 享受数学问题研究的乐 趣. (二)教学重点与难点 重点:理解函数零点的概念,掌握函数零点与方程根的求法. 难点:数形结合思想,转化化归思想的培养与应用. (三)教学方法 在相对熟悉的问题情境中,通过学生自主探究,合作交流中完成的学习任务.尝试指导 与自主学习相结合. (四)教学过程 教学 环节 复习 引入 方 程 教学内容 观察下列三组方程与函数 函 数 x2–2x–3 = 0 x2–2x+1 = 0 x2–2x+3 = 0 y=x2–2x–3 y=x2–2x+1 y=x2–2x+3 师生互动 设计意图

利用函数图象探究方程的根与 函数图象与 x 轴的交点之间的 关系 1.零点的概念 对于函数 y=f (x),称使 y=f (x)= 0 的实数 x 为函数 y=f (x)的零点 2.函数的零点与方程根的关系 方程 f (x) = 0 有实数根 ? 函数 y = f (x)的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y = f (x)的零点 3.二次函数零点的判定 对于二次函数 y = ax2 + bx + c 与二次方程 ax2 + bx + c,其判 别式△= b2 – 4ac
判别 方程 ax2 + bx 函数 y = ax2 + 式 + c = 0 的根 bx + c 的零点 △>0 两不相等实根 两个零点

师生合作 师: 方程 x2 – 2x –3 = 0 的根为–1, 3 函数 y = x2 – 2x – 3 与 x 轴交于点(–1,0) (3,0) 以旧 生:x2 – 2x + 1 = 0 有相等根为 1. 引新,导 函数 y= x2 – 2x + 1 与 x 轴有唯一交点 (1,0). 入课题 x2 – 2x + 3 = 0 没有实根 函数 y = x2 – 2x + 3 与 x 轴无交点

概念 形成

师:我们通俗地称函数与 x 轴交点的横坐标为 函数的零点,请同学归纳零点的定义 师:考察函数①y = lgx ②y = lg2(x + 1) ③y = 2x ④y = 2x – 2 的零点 生:①y = lgx 的零点是 x = 1 ②y = lg2(x + 1)的零点是 x=0 ③y = 2x 没有零点 ④y = 2x – 2 的零点是 x = 1

归纳总结 感知概念 分析特征 形成概念

△=0 两相等实根 △<0 没有实根

一个零点 0 个零点

概念 深化

引导学生回答下列问题 ①如何求函数的零点? ②零点与图象的关系怎样?

师生合作,学生口答,老师点评,阐述 生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点 以问题讨 即对应方程的根 论代替老 ②零点即函数图象与 x 轴交点的横坐标 师的讲援 ③求零点可转化为求方程的根 学生自主尝试练习完成练习 1、2、3 生:练习 1 解析:零点–3,1 x∈(–3,1)时 y>0 x ? (??,3) (1, ??) 时 y<0 练习 2 解析: 因为 x3–2x2–x+2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x–2) (x2–1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1), 所以已知函数的零点为–1,1,2. 3 个零点把 x 轴分成 4 个区间:(??, ?1] , [–1, 1],[1,2], [2, ??) 在这 4 个区间内, 取 x 的一些值 (包括零点) , 列出这个函数的对应值表:
x y … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … … –4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 …

练习 1.求函数 y = –x2 – 2x + 3 的 零点,并指出 y>0,y = 0 的 x 的取值范围 练习 2.求函数 y =x3 – 2x2 – x + 2 的零点,并画出它的图象

应用 举例

在直角坐标系内描点连线, 这个函数的图象如 让学生动 图所示 手练习或 借助多媒 体演示, 加深对概 念的说 明,培养 思维能力 练习 3 解析: (1)令 f (x) = –x2 + 3x + 5,作出 函数 f (x)的图象,它与 x 轴有两个交点,所以 练习 3.利用函数图象判断下列 方程–x2 + 3x + 5 = 0 有两个不相等的实数根. 方程有没有根,有几个根: (1) (2)2x (x – 2) = –3 可化为 2x2–4x+3=0 –x2+3x+5 = 0; (2) 2x (x–2) = –3; 令 f (x) = 2x2–4x+3 作出函数 f (x)的图象, 它与 2 (3)x = 4x – 4; x 轴没有交点,所以方程 2x (x – 2) = –3 无实 2 2 (4)5x +2x=3x +5. 数根 (3) x2 = 4x – 4 可化为 x2 – 4x + 4 = 0,令 f (x) = 2 x – 4x + 4,作出函数 f (x)的图象,它与 x 轴 只有一个交点(相切) ,所以方程 x2 = 4x – 4 有两个相等的实数根 (4) 5x2+2x=3x2+5 可化为 2x2 + 2x – 5 = 0, 令 2 f (x) = 2x + 2x–5,作出函数 f (x)的图象,它与 x 轴有两个交点, 所以方程 5x2+2x=3x2+5 有两

个不相等的实数根

师:点评板述练习的解答过程 (1)知识方面 零点的概念、求法、判定 (2)数学思想方面 函数与方程的相互转化, 即转化 思想 借助图象探寻规律, 即数形结合 思想 3.1 第一课时 习案 回顾、反 思、归纳 知识,提 高自我整 合知识的 能力 固化 知识,提 升能力

归纳 总结

学生归纳,老师补充、点评、完善

课后 作业

学生独立完成

备选例题
例:已知 a∈R 讨论关于 x 的方程|x2 – 6x + 8| = a 的实数解的个数. 【解析】令 f (x) = |x2 – 6x + 8|,g (x) = a,在同一坐标系中画出 f (x)与 g (x)的图象,如 图所示, f (x) = | (x – 3)2 – 1|, 下面对 a 进行分类讨论,由图象得, 当 a<0 时,原方程无实数解; 当 a = 0 时,原方程实数解的个数为 3; 当 0<a<1 时,原方程实数解的个数为 4; 当 a>1 或 a = 0 时,原方程实数解的个数为 2.


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