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江苏省响水中学高中数学 第二章《分段函数与值域的求法》课件 苏教版必修1_图文

第3课时 分段函数 与值域的求法 1.根据函数图象或基本函数的性质计算函数的值域. 2.通过具体实例,了解分段函数的概念和意义,会求分段 函数的值,绘制分段函数的图象和求分段函数的值域. 3.掌握一些基本函数图象的变换、培养分析问题和解决 问题的能力. 从A地到B地首先经过一段路程为5 km 的下坡路,再经过一段路程为4 km的上 坡路,最后经过一段路程为10 km的平路, 某同学骑自行车从A地到B地,下坡路的 骑车速度为30 km/h,上坡路的骑车速度 12 km/h,平路的骑车速度为20 km/h,则 该同学骑车从A地到B地的行驶时间t(h) 关于行驶的路程S(km)的函数关系式为 S=S(t). 问题1 问题2 分段函数如何定义? 分段函数:一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每 个子区间的 不同,这种函数称为分段函数.分段函数 是 函数,其定义域是各段自变量取值集合的 ,其 值域是各段函数值集合的 . 函数图象一般有平移变换、对称变换与翻折变换三种 形式,它们的变换规则是怎样的? (1)平移变换 ①将函数y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位可得函 数 的图象; ②将函数y=f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位可得函 数 的图象; ③将函数y=f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位可得函 数 的图象; 问题3 ④将函数y=f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位可得函数 的图象. 简记为 . (2)对称变换 ①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于 对称; ②函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于 对称; ③函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于 对称. (3)翻折变换 ①函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x) ; ②函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x) . 1 2 已知函数 f(x)=4x -3,x∈{-1,0,1},则它的值域为 {1,-3} . 【解析】因为 f(-1)=1,f(0)=-3,f(1)=1,所以函数的值 域为{1,-3}. 2 下列函数中的 f(x)与 g(x)是相等函数的序号 ④ 是 . ①f(x)=x,g(x)=( x) ; 2 ②f(x)=x ,g(x)= ; ③f(x)=1,g(x)=x0 ; x (x ≥ 0), ④f(x)=|x|,g(x)= -x (x < 0). x 2 x3 ①②③选项中 f(x)的定义域为 R,而①选项中 g(x)的定义域为 [0,+∞),②③选项中 g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).只有 ④选项相同. 3 2 + 2,x ≤ 2, 设函数 f(x)= 则 f(-4)= 2, > 2, f(x0)=8,则 x0= . 【解析】由于-4<2,所以 f(-4)=(-4) +2=18. 若 f(x0)=8,则x 2 0 +2=8(x0≤2)或 2x0=8(x0>2), 分别解得 x0=- 6或 x0=4. 2 18 ,又知 4 作出函数 y=2x -4x-3(0≤x<3)的图象,并根据图象求出函 数的值域. 2 【解析】∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线 2 y=2(x-1) -5 介于[0,3)之间的一段弧,如图所示. 由图象可以看出,函数在[0,3)上的值域为[-5,3). 分段函数的求值问题 1 1 + ,x > 1, x 已知函数 f(x)= x2 + 1,-1 ≤ x ≤ 1, 2x + 3,x < -1. (1)求 f(11 2 -1 3 2 ),f(f(f(-2)))的值; (2)求 f(3x-1)的解析式; (3)若 f(a)= ,求 a 的值. 【解析】(1)∵1∴f(11 2- 1 1 2- 1 =1-( 2+1)=- 2<-1, )=f(- 2)=-2 2+3; ∵f(-2)=-1,f(f(-2))=f(-1)=2, ∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+ = . 2 2 1 3 2 3 1 3x (2)当 3x-1>1,即 x> 时,f(3x-1)=1+ 2 3 3x -1 3x -1 = ; 2 2 当-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤ 时,f(3x-1)=(3x-1) +1=9x -6x+2; 当 3x-1<-1,即 x<0 时,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1. 3x 3x -1 ,x > , 3 3 2 综上,f(3x-1)= 9x 2 -6x + 2,0 ≤ x ≤ 2 , 6x + 1,x < 0. (3)当 a>1 时,f(a)=1+ = ,∴a=2>1; a 2 1 3 2 当-1≤a≤1 时,f(a)=a +1= ,∴a=± ∈[-1,1]; 2 2 3 2 当 a<-1 时,f(a)=2a+3= ,∴a=- >-1(舍去). 2 4 3 3 综上,a=2 或 a=± . 2 2 求函数的值域 (1)求函数 y=2x+1(x∈{1,2,3,4,5})的值域. (2)求函数 y= x2 + 6x + 10的值域. 2x + 3,x ≤ 0, (3)求函数 y= x + 3,0 < x ≤ 1,的最大值. -x + 5,x > 1 【解析】 (1)将自变量 x 的值逐一代入,计算可 得 y∈ {3,5,7,9,11}. (2)因为 y= x 2 + 6x + 10 = (x + 3) + 1≥1, 所以函数的值域为 [1,+∞ ). (3)画出函数 f(x)的图象(如图): 由图象可知,当 x=1 时,f(x)取最大值,最 大值为 f(1)=4,故函数 f(x)的最大值为 4. 2 分段函数的应用 某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售; 同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案相应获 得第二次优惠: 消费金额 (元)的范围 第二次优 惠金额(元) [200,400) [40

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