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第4篇 第3讲 平面向量的数量积


第3讲 平面向量的数量积
[最新考纲]

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3 .掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运 算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两

个平面向量的垂直关系.

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知识梳理
1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a与b,它们的夹角为 θ,则数 |a||b|cosθ 叫作 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ,记作 a·b ,即 量 __________ |a||b|cosθ ,规定零向量与任一向量的数量积为 a·b = __________

0,即0·a=0.
(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 |b|cos θ 的乘积. 投影__________

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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
2 (2)模:|a|= a· a= x2 + y 1 1.

x1x2+y1y2 a· b (3)夹角:cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1· x2+y2 (4)两非零向量 a⊥b 的充要条件:a· b=0?x1x2+y1y2=0. (5)|a· b|≤|a||b|( 当且仅当 a ∥ b 时等号成立 ) ? |x1x2 + y1y2|≤
2 2 2 x2 1+y1· x2+y2.

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3.平面向量数量积的运算律

(1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

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辨 析 感 悟 1.对平面向量的数量积的认识 (1)两个向量的数量积是一个向量,向量加、减、数乘运算的 结果是向量. ( ×)

(2)(2013· 湖北卷改编)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1), 3 2 → → D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为- . 2 ( ×)

(3)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角. ( ×)

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2.对平面向量的数量积的性质、运算律的理解

(4)a·b=0,则a=0或b=0.
(5)(a·b)·c=a·(b·c). (6)a·b=a·c(a≠0),则b=c.

(× )
(× ) (× )

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[感悟·提升]

三个防范
量,如(1);

一是两个向量的数量积是一个数量,而不是向

二是在向量数量积的几何意义中,投影是一个数量,不是 向量.设向量 a , b 的夹角为 θ ,当 θ 为锐角时,投影为正 值;当θ为钝角时,投影为负值;当θ为直角时,投影为0; 当θ=0°时,b在a的方向上投影为|b|,当θ=180°时,b在 a 方向上投影为- |b| ,如 (2) ;当 θ = 0°时, a·b > 0 , θ = 180°,a·b<0,即a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必

要而不充分条件,如(3);
三是a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能 a⊥b,如(4).
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考点一 平面向量数量积的运算
【例 1】 A.4 C.2 a·b= A.2 C.4 B.3 D.5 (1)(2013· 茂名二模 ) 若向量 a , b , c 满足 a∥b ,且 ( B.3 D.0 ( ). ). b·c=0,则(2a+b)·c=

(2)(2014· 威海期末考试 ) 已知 a = (1,2) , 2a - b = (3,1) ,则

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解析 (1)∵a∥b,∴b=λa. 又b·c=0,∴a·c=0,

∴(2a+b)·c=2a·c+b·c=0.
(2)∵a=(1,2),2a-b=(3,1) ∴b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3). ∴a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5. 答案 (1)D (2)D

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规律方法

求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;

利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用
时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算 律的应用.

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【训练 1】 (1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a -b)· c=30,则 x= A.6 C.4 B.5 D.3 ( ).

π (2)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为3,若向量 b1=e1-2e2, b2=3e1+4e2,则 b1· b2=________.

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解析 (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=30, 即 18+3x=30,解得 x=4.故选 C. (2)b1· b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2) =3e2 e2-8e2 1-2e1· 2 π =3-2×1×1×cos -8=-6. 3
答案 (1)C (2)-6

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考点二 向量的夹角与向量的模

【例2】

(1)(2013·安徽卷)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+

2b|,则a与b夹角的余弦值为________. (2) 已知向量 a ,b 满足 a·b = 0, |a| = 1 ,|b| = 2,则|2a -b| = ________.

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解析 (1)等式平方得|a|2=9|b|2 =|a|2+4|b|2+4a· b, 则|a|2=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos θ, 即 0=4|b|2+4· 3|b|2cos θ, 1 得 cos θ=- . 3 (2)因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4a· b=4a2+b2=4+4= 8,故|2a-b|=2 2.
1 答案 (1)-3 (2)2 2

规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式. (2)|a|= a· a常用来求向量的模.
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【训练 2】 (1)(2014· 长沙模拟)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a| =1,|2a-b|= 10,则|b|=________. (2)若平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|≤1,且以向量 a,b 为邻 1 边的平行四边形的面积为2, 则 a 和 b 的夹角 θ 的取值范围是 ________.

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解析 (1)由|2a-b|= 10平方得, 4a2-4a· b+b2=10, 即|b|2-4|b|cos 45° +4=10, 亦即|b|2-2 2|b|-6=0, 解得|b|=3 2或|b|=- 2(舍去).

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1 (2)依题意有|a||b|sin θ= , 2 1 即 sin θ= ,由|b|≤1,得 2|b| 1 2≤sin θ≤1,又 0≤θ≤π, π 5π 故有6≤θ≤ 6 .

答案 (1)3 2

?π 5π? (2)?6, 6 ? ? ?

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考点三 平面向量的垂直问题 【 例 3】 已 知 a = (cos α , sin α) , b = (cos β , sin

β)(0<α<β<π).
(1)求证:a+b与a-b互相垂直; (2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α(其中k为非零实数). 审题路线 证明两向量互相垂直,转化为计算这两个向量 的数量积问题,数量积为零即得证 ? 由模相等,列等式、

化简求β-α.

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(1)证明 ∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2

=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,
∴a+b与a-b互相垂直.

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(2)解 ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β), a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β), |ka+b|= k2+2kcos?β-α?+1, |a-kb|= 1-2kcos?β-α?+k2. ∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α). 又 k≠0,∴cos(β-α)=0. π ∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α= . 2

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规律方法

(1) 当 向 量 a 与 b 是 坐 标 形 式 给 出 时 , 若 证 明

a⊥b,则只需证明a·b=0?x1x2+y1y2=0.
(2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线 向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角, 从而进行运算证明a·b=0. (3)数量积的运算 a·b=0?a⊥b中,是对非零向量而言的,

若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.

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【训练 3】 已知平面向量 a=( (1)证明:a⊥b;

?1 3,-1),b=? ?2, ?

3? ? . 2? ?

(2)若存在不同时为零的实数 k 和 t, 使 c=a+(t2-3)b, d=- ka+tb,且 c⊥d,试求函数关系式 k=f(t).

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(1)证明 (2)解

1 3 ∵a· b= 3×2-1× 2 =0,∴a⊥b. ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,

∴c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0. 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0, ∴c· d=-4k+t3-3t=0, t3-3t ∴k=f(t)= 4 (t≠0).

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1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的

几何意义,要灵活选用,和图形有关的不要忽略数量积几何
意义的应用. 2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算 转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数

或最值问题常用的方法与技巧.

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教你审题 5——数量积的计算问题 【典例】 (2012· 上海卷)在矩形 ABCD 中,设 AB,AD 的长分别 → → |BM| |CN| 为 2,1.若 M, N 分别是边 BC, CD 上的点, 且满足 = , → → |BC| |CD| → → 则AM· AN的取值范围是________.

[审题] 一审:抓住题眼“矩形ABCD”; 二审:合理建立平面直角坐标系,转化为代数问题解决.

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解析

如图, 以 A 点为坐标原点建立平面直角坐标系, 则各

→ → |BM| |CN| 点坐标为 A(0,0) , B(2,0) , C(2,1) , D(0,1) ,设 = = → → |BC| |CD| k(0≤k≤1), 则点 M 的坐标为(2, k), 点 N 的坐标为(2-2k,1), → → → → 则AM=(2,k),AN=(2-2k,1),AM· AN=2(2-2k)+k=4- 3k,而 0≤k≤1,故 1≤4-3k≤4.

答案 [1,4]
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[反思感悟]

在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问

题时,首先要想到是否能建立平面直角坐标系,利用坐标 运算题目会容易的多.

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【自主体验】 → → 在△ABC 中, ∠C=90° , 且 CA=CB=3, 点 M 满足BM=2AM, → → 则CM· CA=________.

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解析 所示.

法一

→ → 由BM=2AM可知,A 是线段 MB 的中点,如图

由题意,AC⊥BC,且 CA=CB=3, → → → → → ∴CM· CA=(CA+AM)· CA → → → =(CA+BA)· CA → → → → =(CA+CA-CB)· CA → → → =(2CA-CB)· CA → → → =2CA2-CB· CA =2×32=18.
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法二 如图建立平面直角坐标系,则 C(0,0),B(3,0),A(0,3). → 由题意知:|AB|=3 2, → ∴|BM|=6 2.设 M(x,y), → → BM=2 BA,∴(x-3,y)=2(-3,3), 则 x=-3,y=6,即 M(-3,6). → → ∴CM· CA=(-3,6)· (0,3)=18.
答案 18

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