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江苏省泰州市2016届高三第一次模拟考试数学试题 Word版含答案]


泰州市 2016 届高三第一次模拟考试 数学(理工方向)试题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
命题人:江兰云 李安华 审稿:鸡巴磊 签印人:陈杰龙 考试时间:2016.01.25

第I卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上. )
2 1.已知 U ? R ,函数 y ? ln ?1 ? x ? 的定义域为 M ,集合 N ? x x ? x ? 0 ,则下列结论中

?

?

正确的序号是 ①M ?N ? N ①



.

② M ? ?U N ? ?

?

?

③M ? N ?U

④ M ? ?U N ▲ ▲ . 2 条件.

?

?

2.若复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? ?1 ? i (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? 1 ? 3. 已知 a , b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ ln a ? ln b ”的 必要不充分条件 4. 已知 F 1 ,F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左右两个焦点,若在双曲线 C a 2 b2

上 存 在 点 P 使 ?F 1 PF2 ? 90? , 且 满 足 2?PF 1F 2 ? ? PF 2 F 1, 那 么 双 曲 线 C 的 离 心 率 为 ▲ .

3 ?1
5. 某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责, 每次献爱心活动均需该组 织 4 位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 4 位同 学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为 ▲ .

16 25
8. 已知 tan x ?

1 ? 2 ?? ,则 sin ? ? x ? ? 2 ?4 ?



.

9 10
14. 已知向量 a ? ?1, 2? , b ? ?1,0 ? , c ? ? 3, 4? ,若 ? 为实数, ? b + ?a ? ? c ,则 ? 的值为 _______. 16. 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , M 是 BC 的 中 点, BM ? 2 , AM ? c ? b ,则 ?ABC 面积的最大值为________.

-1-

14. ?

3 11

16. 2 3 )

12.若函数 f ? x ? ? 2ex ln ? x ? m? ? ex ? 2 存在正的零点,则实数 m 的取值范围为( A.

? ??, e ?

14.在△ ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别是 a, b, c ,且 b cos B 是 a cosC, c cos A 的等差中项, 则 B 的大小为_______. 16.在等腰直角△ ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? BC ? 2 , M 、N 为 AC 边上两个动点,且满足

???? ? ???? MN ? 2 ,则 BM ? BN 的取值范围为________.

14.

? 3

16. ? , 2 ? ?2 ?

?3

?

15.已知椭圆 ? 的中心在原点,焦点在 x 轴,焦距为 2 ,且长轴长是短轴长的 2 倍. 设 P(2, 0) ,过椭圆 ? 左焦点 F 的直线 l 交 ? 于 A 、 B 两点,若对满足条件的任意直线 l ,不 等式 PA ? PB ? ? ( ? ? R )恒成立,求 ? 的最小值. (Ⅱ)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,所以 ??? ? ??? ? PA ? PB ? ? x1 ? 2, y1 ? ? ? x2 ? 2, y2 ? ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2 , 当直线 l 垂直于 x 轴时, x1 ? x2 ? ?1 , y1 ? ? y2 且 y1 ?
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? PA ? ? ?3, y1 ? , PB ? ? ?3, y2 ? ? ? ?3, ? y1 ? , ??? ? ??? ? 17 2 2 所以 PA ? PB ? ? ?3? ? y1 ? .???????6 分 2
当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l : y ? k ? x ? 1? , 由?

1 ,此时 2

? ? y ? k ? x ? 1? 2 2 2 2 ,消去 y 整理得 ?1 ? 2k ? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 , 2 2 ? ?x ? 2 y ? 2

4k 2 2k 2 ? 2 所以 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ,???????8 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? ?1 ? k 2 ? x1x2 ? ? k 2 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? ? 4 ? k 2

??? ? ??? ? PA ? PB ? x1x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? k 2 ?x1 ? 1??x2 ? 1?

所以

? ?1 ? k 2 ? ?
??11 分

2k 2 ? 2 4k 2 17k 2 ? 2 17 13 17 2 2 ? k ? 2 ? ? 4 ? k ? ? ? ? .??? ? ? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2k ? 1 2 2 2k ? 1 2

?

?

要使不等式 PA ? PB ? ? ( ? ? R )恒成立,只需 ? ? PA ? PB

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

?

max

?

17 ,即 ? 的最小值为 2

17 .??12 分 2
-2-

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B 的对边分别为 a , b ,向量 m ? (cos A,sin B), n ? (cos B,sin A) . (1)若 a cos A ? b cos B ,求证: m / / n ; (2)若 m ? n , a ? b ,求 tan

A? B 的值. 2

-3-

16. (本题满分 14 分) 19.(本小题满分 12 分) 如 图 4, 三 棱 柱

A B? C 1

1

侧 面 A中 1B , C

AAC 1 1C
C

?
H




C1

ABB1 A1 , AC ? AA1 ? 2 AB , ?AAC 1 1 ? 60? , AB ? AA1 , H 为棱 CC1 的中点, D 为 BB1 的中点.
(Ⅰ) 求证: A1D ? 平面 AB1H ; (Ⅱ) 若 AB ? 2 ,求三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积.

A B D B1

A1

图4

17. (本题满分 14 分) AB ? 1 米, 一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成, 如图所示. 小 球从 A 点出发以 ?v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处后,经弹射器以 6v 的速度沿与点 E 切 线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内,落点记为 F .设 ?AOE ? ? 弧度,小球从 A 到 F 所需时 间为 T . (1)试将 T 表示为 ? 的函数 T (? ) ,并写出定义域; (2)求时间 T 最短时 cos ? 的值.

A E O

B

F D
18. (本题满分 16 分) 已知数列 {an },{bn } 满足 2Sn ? (an ? 2)bn ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.

C

2 1 ,公比为 ? 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式; 3 3 (2)若 bn ? n , a2 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式; a (3)在(2)的条件下,设 cn ? n ,求证:数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其他 bn
(1)若数列 {an } 是首项为 两项之积.

-4-

19. (本题满分 16 分)

x2 ? y 2 ? 1, A 为 4 椭圆右顶点.过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B, C 两点,直线 AB 与圆 O 的另一 6 交点为 P ,直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q ,其中 D ( ? , 0) .设直线 AB, AC 的斜率分别为 5 k1 , k2 .
如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 ,椭圆 C : (1)求 k1k2 的值; (2)记直线 PQ, BC 的斜率分别为 kPQ , kBC ,是否存在常数 ? ,使得 kPQ ? ? kBC ?若存在, 求 ? 值;若不存在,说明理由; (3)求证:直线 AC 必过点 Q .
y P B

D

O

A x

C Q

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ?
4

(1) 若 a ? 0 ,求证:

1 2 x , x ? (0, ??) , g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? . 2

(ⅰ) f ? x ? 在 f ?( x ) 的单调减区间上也单调递减; (ⅱ) g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点;

(2) 若 a ? 1 ,记 g ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ,求证: 4 ? x1 ? x2 ? a ? 4 .

泰州市 2016 届高三第一次模拟考试 数学试题(附加题)
21.【选做题】请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答.如果多做,按所做的前两题记
-5-

分.

A. (几何证明选讲,本题满分 10 分) 如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,点 D 是劣弧 BC 的中点,连结 AD 并延长,与以 C 为切点
的切线交于点 P ,求证:

PC BD ? . PA AC

C D O A

P

B

B. (矩阵与变换,本题满分 10 分)

? ?1 2 ? ? 的一个特征值为 ?2 ,求 M 2 . 已知矩阵 M ? ? 5 ? x? ?2 ?

C. (坐标系与参数方程,本题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 C1 : ?

? x ? t ?1 (t为参数) 与椭圆 ? y ? 7 ? 2t

? x ? a cos ? C2 : ? (? 为参数,a ? 0) 的一条准线的交点位于 y 轴上,求实数 a 的值. ? y ? 3sin ?

D. (不等式选讲,本题满分 10 分)
已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证:
2 3

1 1 1 ? 4 ? 6 ≥ 27 . 2 a b c

-6-

22. 【必做题】 (本题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC = 3,BC = 4,AB = 5,AA1 = 4. (1)设 AD ? ? AB ,异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为

9 10 ,求 ? 的值; 50

(2)若点 D 是 AB 的中点,求二面角 D—CB1—B 的余弦值.

C1 A1

B1

C A D

B

23. 【必做题】 (本题满分 10 分) 已知 k , m ? N* , 若存在互不相等的正整数 a1 , a2 , ? , am , 使得 a1a2 , a2 a3 , ? , am?1am , am a1 同 时小于 k ,则记 f ( k ) 为满足条件的 m 的最大值. (1) 求 f (6) 的值; (2) 对于给定的正整数 n (n ? 1) , (ⅰ)当 n(n ? 2) ? k ? (n ? 1)(n ? 2) 时,求 f ( k ) 的解析式; (ⅱ)当 n(n ? 1) ? k ? n(n ? 2) 时,求 f ( k ) 的解析式.

高三数学参考答案
一、填空题 1. ?1,0,1? ;

?

2. ?2 ? i ;

3. 2 2 ;

4. 200 ;

5. 5 ;

-7-

6.

4 ; 5

7.

1 ; 2

8. (2, ??) ;

9.

1 ; 2 2? . 3

10. (??, ?2) ;

11. ?16 ; 二、解答题

12. [7,11] ;

13.

3 2 ?1 ; 2

14. ?

15. 证明: (1)因为 a cos A ? b cos B , 所以 sin A cos A ? sin B cos B ,所以 m / / n .

?????7 分

(2)因为 m ? n ,所以 cos A cos B ? sin A sin B ? 0 ,即 cos( A ? B) ? 0 , 因为 a ? b ,所以 A ? B ,又 A, B ? (0, ? ) ,所以 A ? B ? (0, ? ) ,则 A ? B ? 所以 tan

?
2

,?12 分

A? B ? ? tan ? 1 . ?????14 分 2 4 19.【解析】(Ⅰ)连结 AC1 ,因为 ?ACC1 为正三角形, H 为棱 CC1 的中点,
? 面 ABB1 A1 , 所以 AH ? CC1 ,从而 AH ? AA1 ,又面 AAC 1 1C

AH ? 面 AAC 面 AAC 1 1C ? 面 ABB 1A 1 ? AA 1, 1 1C ,

AH ? A1D ?①,??2 分 所以 AH ? 面 ABB1 A 1 ,又 A 1 D ? 面 ABB 1A 1 ,所以
设 AB ?

2a ,由 AC ? AA1 ? 2 AB ,所以 AC ? AA1 ? 2a , DB1 ? a ,
H C1 G A1 B1

DB1 AB 1 ? ? 1 1 ,又 ?DB1 A1 ? ?B1 A1 A ? 90? ,所以 ?A1DB1 ? ?AB1 A1 , B1 A1 2 AA1
所以 ?B1 AA 1 ? ?B 1A 1D ,又 ?B 1A 1D ? ?AA 1D ? 90? , 所以 ?B1 AA 1 ? ?AA 1D ? 90? , 设 AB1 ? A 1 D ? O ,则 A 1 D ? AB 1 ?②,???????5 分 由①②及 AB1 ? AH ? A ,可得 A1D ? 平面 AB1H .???????6 分 7分 所以 VC1 ? AB1 A1 ?
B C

A D

M

(Ⅱ)方法一:取 AA1 中点 M ,连结 C1M ,则 C1M // AH ,所以 C1M ? 面 ABB1 A 1 .????

1 1 6 ,???????10 分 S?AB1 A1 ? C1M ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3

所以三棱柱 ABC ? A VC1 ? AB1A1 ? 6 .???????12 分 1B 1C1 的体积为 3 方法二:取 AC 1 1 中点 G ,连结 AG ,因为 ?AA 1C1 为正三角形,所以 AG ? AC 1 1,

? 面 ABB1 A1 ,面 AAC 因为面 AAC 1 1C 1 1C ? 面 ABB 1A 1 ? AA 1, A 1 B1 ? 面 ABB 1A 1,

A1B1 ? AA1 ,所以 A1B1 ? 面 AAC 1 1C ,又 AG ? 面 AAC 1 1C ,所以 A 1B 1 ? AG ,
又 AC 1 1?A 1B 1 ? A 1 ,所以 AG ? 平面 A 1B 1C1 ,所以 AG 为三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的高,?? 9分 经计算 AG ? 3 , S?A1B1C1 ?

1 1 A1 B1 ? A1C1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ,??????11 分 2 2

-8-

所以三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积 V ? S?A1B1C1 ? AG ? 17. 解: (1)过 O 作 OG ? BC 于 G ,则 OG ? 1 ,

2 ? 3 ? 6 .??????12 分
A E O D C G F B

OF ?

OG 1 1 ? , EF ? 1 ? ,? AE ? ? , sin ? sin ? sin ?

所以 T (? ) ?

? π 3π AE EF ? 1 1 ? ? ? ? , ? ? [ , ] .??7 分 4 4 5v 6v 5v 6v sin ? 6v

(写错定义域扣 1 分)

1 1 ? ? , (2) T (? ) ? 5v 6v sin ? 6v

?

T ?(? ) ?

1 cos ? 6sin 2 ? ? 5cos ? (2cos ? ? 3)(3cos ? ? 2) ,????9 分 ? ? ?? 2 2 5v 6v sin ? 30v sin ? 30v sin 2 ?
2 π 3π ], ,?0 ? [ , 3 4 4 ? ? ( ,? 0 ) 4 T ?(? )

记 cos ? 0 ?

?0
0

(? 0 ,

3? ) 4 +

T (? )
故当 cos ? ?

?

?
????14 分

2 时,时间 T 最短. 3 2 1 n ?1 1 n 18. 解: (1)因为 an ? (? ) ? ?2(? ) , 3 3 3 2 1 [(1 ? (? ) n ] 3 ? 1 [(1 ? (? 1 ) n ] , Sn ? 3 1 2 3 1 ? (? ) 3 1 1 ? (? ) n 2Sn 1 3 所以 bn ? ? ? . an ? 2 ?2(? 1 ) n ? 2 2 3
(2)若 bn ? n ,则 2Sn ? nan ? 2n ,∴ 2Sn?1 ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 两式相减得 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 2 ,即 nan ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 当 n ? 2 时, (n ?1)an?1 ? (n ? 2)an ? 2 , 两式相减得 (n ?1)an?1 ? (n ?1)an?1 ? 2(n ?1)an ,即 an?1 ? an?1 ? 2an , 又由 2S1 ? a1 ? 2 , 2S2 ? 2a2 ? 4 得 a1 ? 2 , a2 ? 3 ,

????2 分

????4 分

????8 分

-9-

所以数列 {an } 是首项为 2 ,公差为 3 ? 2 ? 1 的等差数列, 故数列 {an } 的通项公式是 an ? n ? 1 . (3)由(2)得 cn ? ????10 分

n ?1 , n

对于给定的 n ? N * ,若存在 k , t ? n, k , t ? N * ,使得 cn ? ck ? ct ,

n ?1 k ?1 t ?1 ? ? , n k t 1 1 1 1 1 1 1 n(k ? 1) 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? ,则 t ? , n k t n k t kt k ?n 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) ,
只需 ∴ 对 数 列 {cn } 中 的 任 意 一 项 cn ?

????12 分

n ?1 n?2 n 2 ? 2n ? 1 , 都 存 在 cn ?1 ? 和 cn2 ? 2 n ? 使得 n n ?1 n 2 ? 2n
????16 分

cn ? cn?1 ? cn2 ?2n .
19.解: (1)设 B( x0 , y0 ) ,则 C (? x0 , ? y0 ) ,

x0 2 ? y0 2 ? 1 4

1 2 x0 y0 y0 y0 1 4 ? ? 2 ? 2 ?? . 所以 k1k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 4
2

1?

????4 分

(2)联立 ?

? y ? k1 ( x ? 2) ?x ? y ? 4
2 2

得 (1 ? k12 ) x2 ? 4k12 x ? 4(k12 ?1) ? 0 ,

解得 xP ?

2(k12 ? 1) ?4k1 , , yP ? k1 ( xP ? 2) ? 2 1 ? k1 1 ? k12

? y ? k1 ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 得 (1 ? 4k12 ) x2 ?16k12 x ? 4(4k12 ?1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
解得 xB ?

2(4k12 ? 1) ?4k1 , , yB ? k1 ( xB ? 2) ? 2 1 ? 4k1 1 ? 4k12
yB ?2k ? 2 1 , k PQ xB 4k1 ? 1
?4k1 yP 1 ? k12 ?5k ? ? ? 2 1 , 2 6 2(k1 ? 1) 6 4k1 ? 1 xP ? ? 5 1 ? k12 5

????8 分

所以 k BC ?

- 10 -

5 5 5 k BC ,故存在常数 ? ? ,使得 k PQ ? k BC . 2 2 2 6 8 (3)当直线 PQ 与 x 轴垂直时, Q ( ? , ? ) , 5 5 8 ? 5 ? 1 ? k ,所以直线 AC 必过点 Q . 则 k AQ ? 2 6 ? ?2 2 5
所以 k PQ ? 当直线 PQ 与 x 轴不垂直时,直线 PQ 方程为: y ?

????10 分

?5k1 6 (x ? ) , 2 4k1 ? 1 5

?5k1 6 ? ?2(16k12 ? 1) 16k1 ? y ? 4k 2 ? 1 ( x ? 5 ) 联立 ? ,解得 xQ ? , , yQ ? 1 2 16k1 ? 1 16k12 ? 1 ? x2 ? y2 ? 4 ?

所以 k AQ

16k1 16k12 ? 1 1 ? ?? ? k2 ,故直线 AC 必过点 Q . 2 ?2(16k1 ? 1) 4k1 ?2 16k12 ? 1

????16 分

(不考虑直线 PQ 与 x 轴垂直情形扣 1 分) 20. 证: (1)因为 f ? x ? ? ax ?
4

1 2 x ? x ? 0 ? ,所以 f ?( x) ? 4ax3 ? x , 2

由 (4ax3 ? x)? ? 12ax2 ?1 ? 0 得 f ?( x ) 的递减区间为 (0,

1 ), 2 3a

????2 分

当 x ? (0,

1 ) 时, f ?( x) ? 4ax3 ? x ? x(4ax2 ?1) ? 0 , 2 3a
????4 分

所以 f ? x ? 在 f ?( x ) 的递减区间上也递减. (2)解 1: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4

1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2 1 2 1 4 3 3 2 因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 1 3 2 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ,则 ? ?( x) ? 3ax ? 8ax ? , 2 2 1 ( ) ?? ?0 , 因为 a ? 0 , 且 ? ?0 所以 ? ?( x ) 必有两个异号的零点, 记正零点为 x0 , 则 x ?0 ( , )x0 2

? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减; ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增, 时, 若 ? ( x) 在 (0, ??) x ? ( x0 , ??) 时,
上恰有两个零点,则 ? ( x0 ) ? 0 , ????7 分

- 11 -

1 1 ? 0 得 3ax0 2 ? 8ax0 ? , 2 2 4 8 1 32 1 7 ax0 ? x0 ? ,又因为对称轴为 x ? , 所以 ? ( ) ? ? (0) ? ? ? 0 , 所以 ? ( x0 ) ? ? 3 3 2 9 3 9 8 7 32 1 7 ax0 ? ( x0 ? ) ? 0 , 所以 x0 ? ? ,所以 ? ( x0 ) ? ? 3 3 9 3 3 1 1 2 1 3 2 2 又 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ? ax ( x ? 8) ? x(ax ? 1) ? 1 , 2 2 2
由 ? ?( x0 ) ? 3ax0 ? 8ax0 ?
2



1 ,8 中的较大数为 M ,则 ? (M ) ? 0 , a

故 a ? 0 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点. ????10 分

1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2 1 2 1 4 3 3 2 因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 3 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 , 2
解 2: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4

若 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点,则 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点, 当 x ? 2 时, 由 ? ( x) ? 0 得 a ? 0 ,此时 ? ( x) ? ? 意;
3 2 当 x ? 2 时,由 ? ( x) ? ax ? 4ax ?

1 x ? 1 在 (0, ??) 上只有一个零点,不合题 2

1 1 x3 ? 4 x 2 x ?1 ? 0 得 ? , 2 2a x?2

????7 分

令 ?1 ( x) ?

x3 ? 4 x 2 8 ? x2 ? 2 x ? 4 ? , x?2 x?2
2

5 7 2 x[( x ? ) 2 ? ] 2 x( x ? 5 x ? 8) 2 4 ? 0, ?( x ) ? ? 则 ?1 2 2 ( x ? 2) ( x ? 2)
当 x ? (0, 2) 时, ? ( x) 单调递增,且由 y ? x ? 2 x ? 4, y ? ?
2

8 值域知 x?2

? ( x) 值 域 为 (0, ??) ; 当 x ? (2, ??) 时 , ?1 ( x) 单 调 递 增 , 且 ?1 (4) ? 0 , 由
8 2 y? x ?2 x ?4 , y ? ? 值域知 ? ( x) 值域为 (??, ??) ; x?2 1 1 ? 0 ,而 y ? 因为 a ? 0 ,所以 与 ?1 ( x) 有两个交点,所以 ?1 ( x) 在 (0, ??) 上恰有 2a 2a
两个零点. ????10 分

- 12 -

1 x ? 1 在 (0, ??) 上恰有两个零点 x1 , x2 , 2 1 1 1 不妨设 x1 ? x2 ,又因为 ? (0) ? 1 ? 0 , ? ( ) ? (6 ? 7 a ) ? 0 ,所以 0 ? x1 ? ,??12 分 2 2 8
(3)解 1:由(2)知,对于 ? ( x) ? ax ? 4ax ?
3 2

又因为 ? (4) ? ?1 ? 0 , ? ( ) ?

9 9 1 (657 a ? 10) ? 0 ,所以 4 ? x2 ? , 2 2 8 1 9 所以 4 ? x1 ? x2 ? ? ? 5 ? a ? 4 . 2 2

????16 分

1 x3 ? 4 x 2 解 2:由(2)知 , ? 2a x?2
因为 x ? [0, 2) 时, ?1 ( x) 单调递增, ? ( ) ? 所以 0 ? x1 ?

1 2

7 1 1 ? ?1 ( ) , , ?1 (0) ? 0 ? ?1 ( x1 ) ? 12 2a 2
????12 分

1 , 2 9 2

当 x ? (2, ??) 时, ?1 ( x) 单调递增, ?1 ( ) ? 所以 4 ? x2 ?

81 1 9 ? ?1 ( ) , , ?1 (4) ? 0 ? ?1 ( x2 ) ? 20 2a 2

9 , 2

所以 4 ? x1 ? x2 ?

1 9 ? ?5? a?4. 2 2

????16 分

- 13 -

附加题参考答案
21.A.证明:连结 CD ,因为 CP 为圆 O 的切线, 所以 ?PCD ? ?PAC , 又 ? P 是公共角,所以 ?PCD ~ ?PAC , 所以

?????5 分

PC CD ? , PA AC
PC BD ? . PA AC
?????10 分

因为点 D 是劣弧 BC 的中点,所以 CD ? BD ,即

? ?1
21.B. 解: ? ? ?2 代入

?2

5 ? 2

??x

? ? 2 ? ( x ? 1)? ? ( x ? 5) ? 0 ,得 x ? 3

? ?1 2 ? ? 矩阵 M ? ? 5 ? 3? ?2 ?
∴M2 ? ?

?????5 分

?6 4 ? ? ?5 14 ?

?????10 分

21.C. 解:直线 C1 : 2 x ? y ? 9 , 椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1(0 ? a ? 3) , 9 a2

??????????5 分

准线: y ? ?

9 9 ? a2 ? 9 得, a ? 2 2
2 3



9 9 ? a2

??????????10 分

21.D.证明:因为正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,
2 3 所以 1 ? 3 3 ab2c3 ,即 ab c ? 1 ,

27

??????????5 分

1 ? 27 ab2c3 1 1 1 1 因此, 2 ? 4 ? 6 ? 3 3 2 4 6 ? 27 a b c abc
所以 22. 解 : ( 1 ) 由 AC = 3 , BC = 4 , AB = 5 得

????????10 分

?ACB ? 900

?????1分

以 CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建

- 14 -

立如图所示的空间直角坐标系. 则A(3,0,0),C1 (0,0,4),B(0,4,0), 设 D(x,y,z),则由 AD ? ? AB 得 CD ? (3 ? 3?, 4?,0) ,而 AC1 ? (?3,0, 4) ,

??? ?

???? ?

1 1 9 10 ?9 ? 9 ? ?????5分 ?| | 解得, ? ? 或 ? ? ? 5 3 50 5 25? 2 ? 18? ? 9 ??? ? ???? ? ? ? 3 (2) CD ? ( , 2, 0), CB1 ? (0, 4, 4) ,可取平面 CDB1 的一个法向量为 n1 ? (4, ?3,3) ; 2
根据 ??????????7分 而平面 CBB1 的一个法向量为 n2 ? (1,0,0) ,并且 ? n1 , n2 ? 与二面角 D—CB1—B 相等, 所以二面角 D—CB1—B 的余弦值为 cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

?? ?

? ? ? ?? ?

?? ? ?? ?

2 34 . ???10分 17

(第(1)题中少一解扣1分;没有交代建立直角坐标系过程扣 1 分.第(2)题如果结果 相差符号扣1分. ) 23. 解: (1)由题意,取 a1 ? 1, a2 ? 2 , a1a2 ? 6 ,满足题意, 若 ?a3 ? 3 ,则必有 a2 a3 ? 6 ,不满足题意, 综上所述: m 的最大值为 2 ,即 f (6) ? 2 . (2)由题意,当 n(n ? 1) ? k ? (n ? 1)(n ? 2) 时, 设A 1 ? {1, 2, ? , n} , A 2 ? {n ? 1, n ? 2, n ? 3, ? } , 显然, ? ai , ai ?1 ? A1 时,满足 ai ai ?1 ? n(n ? 1) ? n(n ? 1) ? k , ∴从集合 A 1 中选出的 a i 至多 n 个, ??????4 分

? a j , a j ?1 ? A2 时, a j a j ?1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? k ,
∴从集合 A2 中选出的 a j 必不相邻, 又∵从集合 A 1 中选出的 a i 至多 n 个, ∴从集合 A2 中选出的 a j 至多 n 个,放置于从集合 A 1 中选出的 a i 之间, ∴ f (k ) ? 2n , (ⅰ)当 n(n ? 2) ? k ? (n ? 1)(n ? 2) 时, 取一串数 ai 为: 1, 2n, 2, 2n ? 1,3, 2n ? 2, ? , n ? 1, n ? 2, n, n ? 1 , ??????6 分

- 15 -

? i ?1, i为奇数 ? 2 或写成 ai ? ? , ( 1 ? i ? 2n ) , ? 2n ? 1 ? i , i为偶数 ? 2
此时 ai ai ?1 ? n(n ? 2) ? k ,( 1 ? i ? 2n ? 1 ), a2n a1 ? n ? 1 ? k ,满足题意, ∴ f (k ) ? 2n , (ⅱ)当 n(n ? 1) ? k ? n(n ? 2) 时, 从A 1 中选出的 n 个 a i :1, 2, ? , n ,考虑数 n 的两侧的空位,填入集合 A2 的两个数 a p , aq ,不 妨设 na p ? naq ,则 nap ? n(n ? 2) ? k ,与题意不符, ∴ f (k ) ? 2n ? 1 , 取一串数 ai 为: 1, 2n ? 1, 2, 2n ? 2,3, 2n ? 3, ? , n ? 2, n ? 2, n ? 1, n ? 1, n ??????8 分

? i ? 1 , i为奇数 ? 2 2 n1 ? ) 或写成 ai ? ? , (1 ? i ? , i ?2n ? , i为偶数 ? 2
2 n2 ? ) 此时 ai ai ?1 ? n(n ? 1) ? k , (1 ? i ? , a2n11 a n ? k ? ,满足题意, ?
∴ f (k ) ? 2n ? 1 , (写出(ⅰ) 、 (ⅱ)题的结论但没有证明各给1分. ) ??????10 分

- 16 -


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