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二次函数图像与性质难重点 优秀教学设计(教案)

二次函数 y=a x2+bx+c 的图象和性质
教学重难点 重点:用描点法画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和通过配方确定抛物线的 对称轴、顶点坐标是教学的重点。 难点:理解二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分 别 是 x=-b2a、(-b2a,4ac-b2 4a)是教学的难点。 教学过程:问题 1 函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关系? 1 为了研究这一问题,我们可以先画出 y=2x2,y= x2,y=-2x2 的图象,通 2 过这些函数图象与函数 y=x2 的图象之间的关系,推导出函数 y=ax2 与 y=x2 的 图象之间所存在的关系. 先画出函数 y=x2,y=2x2 的图象. 先列表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2 x … 9 4 1 0 1 4 9 … 2 2x … 18 8 2 0 2 8 18 2 从表中不难看出,要得到 2x 的值,只要把相应 y y=x2 的 x2 的值扩大两倍就可以了. y=2x2 再描点、连线,就分别得到了函数 y=x2,y= 2x2 的图象(如图 2-1 所示) ,从图 2-1 我们可以 得到这两个函数图象之间的关系:函数 y=2x2 的图 2 象可以由函数 y=x 的图象各点的纵坐标变为原来 的两倍得到. 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y 1 x O = x2,y=-2x2 的图象,并研究这两个函数图象 2 图 2.2-1 与函数 y=x2 的图象之间的关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: y 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 y=2(x+1)2+1 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到.在 二次函数 y=ax2(a≠0)中,二次项系数 a 决定 y=2(x+1)2 了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口 y=2x2 的大小. 问题 2 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图 象之间存在怎样的关系? 同样地, 我们可以利用几个特殊的函数图象 之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可 以作出函数 y=2(x+1)2+1 与 y=2x2 的图象 (如 x -1 O 图 2-2 所示) ,从函数的同学我们不难发现, 只要把函数 y=2x2 的图象向左平移一个单位, 图 2.2-2 再向上平移一个单位,就可以得到函数 y=2(x +1)2+1 的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点.

类似地,还可以通过画函数 y=-3x2,y=-3(x-1)2+1 的图象,研究它们 图象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方 向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定 了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的 方法: b b b2 b2 由于 y=ax2+bx+c=a(x2+ x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- a a 4a 4a 2 b b ? 4ac ? a( x ? ) 2 ? , 2a 4a 所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右 平移、上下平移得到的,于是,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: ( 1 )当 a > 0 时,函数 y = ax2 + bx + c 图象开口向上;顶点坐标为 b b b 4ac ? b 2 (? , ) ,对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减 2a 2a 2a 4a b b 小;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= 2a 2a 2 4ac ? b . 4a ( 2 )当 a < 0 时,函数 y = ax2 + bx + c 图象开口向下;顶点坐标为 b b b 4ac ? b 2 (? , ) ,对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增 2a 2a 2a 4a b b 大;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= 2a 2a 2 4ac ? b . 4a 上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出 来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的 思想方法来解决问题.
y

b x=- 2a

y

b 4ac ? b 2 , ) A (? 2a 4a

A(-1,4)

y

D(0,1) O x O x C O B x

b 4ac ? b 2 , ) A (? 2a 4a
图 2.2-3

b x=- 2a
图 2.2-4

x=-1 图 2.2-5


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