课时分层作业(五) 组合与组合数公式 (建议用时：40 分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．下列四个问题属于组合问题的是( ) A．从 4 名志愿者中选出 2 人分别参加导游和翻译的工作 B．从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中选取 3 个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出 3 名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出 3 名同学分别担任班长、副班长和学习委员 C [A、B、D 项均为排列问题，只有 C 项是组合问题．] 2．已知平面内 A，B，C，D，E，F 这 6 个点中任何 3 点均不共线，则由其中任意 3 个点 为顶点的所有三角形的个数为( ) 【导学号：95032053】 A．3 C．12 B 6×5×4 3 [C6＝ ＝20.] 3×2×1 x 2 B．20 D．24 3．若 C6＝C6，则 x＝( A．2 C．4 或 2 C ) B．4 D．3 [由组合数性质知，x＝2 或 x＝6－2＝4.] 3 2 4．若 An＝12Cn，则 n 等于( A．8 C．3 或 4 A ) B．5 或 6 D．4 1 3 2 [An＝n(n－1)(n－2)，Cn＝ n(n－1)， 2 1 所以 n(n－1)(n－2)＝12× n(n－1)． 2 由 n∈N ，且 n≥3，解得 n＝8.] 5．甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门， 则不同的选修方案共有( ) 【导学号：95032054】 A．36 种 C．96 种 C 2 * B．48 种 D．192 种 3 [甲选修 2 门有 C4＝6 种选法，乙、丙各有 C4＝4 种选法．由分步乘法计数原理可知， 1 共有 6×4×4＝96 种选法．] 二、填空题 6．方程：C4 ＋C4 2x 2x－1 ＝C6－C6的解集为________． 5 6 {x|x＝2} [由组合数公式的性质可知 ， 解得 x＝1 或 x＝2， 代入方程检验得 x＝2 满足方程，所以原方程的解为{x|x＝2}．] 7．C3＋C4＋C5＋…＋C21的值等于________. 【导学号：95032055】 7 315 [原式＝C4＋C4＋C5＋…＋C21＝C5＋C5＋…＋C21＝C21＋C21＝C22＝C22＝7 315.] 8．10 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组种数为________．(用 数字作答) 210 [从 10 人中任选出 4 人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有 C10 4 0 1 2 18 1 2 18 17 18 18 4 0 1 2 18 ＝210 种分法．] 三、解答题 9．从 1,2,3,4,5,6 六个数字中任选 3 个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则 可以得到多少个不同的这样的最小三位数？ 【导学号：95032056】 [解] 从 6 个不同数字中任选 3 个组成最小三位数，相当于从 6 个不同元素中任选 3 6×5×4 3 个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有 C6＝ ＝20 个． 3×2×1 1 1 7 10．求式子 x－ x＝ x中的 x. C5 C6 10C7 [解] 原式可化为： ∴x －23x＋42＝0， ∴x＝21(舍去)或 x＝2，即 x＝2 为原方程的解． [能力提升练] 一、选择题 1．满足方程 Cx －x16＝C16 的 x 值为( A．1,3,5，－7 C．1,3,5 B 2 2 2 5x－5 2 x！ －x ！ x！ －x ！ 7·x！ －x ！ － ＝ ， ∵0≤x≤5， 5！ 6！ 10·7！ ) B．1,3 D．3,5 [由 x －x＝5x－5 或 x －x＝16－(5x－5)，得 x＝1,3,5，－7，只有 x＝1,3 时满足 组合数的意义．] 2．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型和乙型电视机各 1 2 台，则不同的取法共有( A．140 种 C．70 种 C ) B．84 种 D．35 种 1 2 [可分两类：第一类，甲型 1 台、乙型 2 台，有 C4·C5＝4×10＝40(种)取法，第二 2 1 类，甲型 2 台、乙型 1 台，有 C4·C5＝6×5＝30(种)取法，共有 70 种不同的取法．] 二、填空题 3．按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 A，B，O，AB 四种之一，依血型遗传学，当 且仅当父母中至少有一人的血 型是 AB 型时，子女一定不是 O 型，若某人的血型为 O 型，则父母血型所有可能情况有 ________种. 【导学号：95032057】 9 [父母应为 A，B 或 O，C3C3＝9 种．] m－1 m m＋1 1 1 Cn Cn Cn 4．已知 ＝ ＝ ，则 m 与 n 的值为________． 2 3 4 14 34 [可得： 三、解答题 5．规定 Cx＝ m m x x－ m！ x－m＋ ，其中 x∈R，m 是正整数，且 Cx＝1，这是组合数 0 Cn(n，m 是正整数，且 m≤n)的一种推广． (1)求 C－15的值； (2)组合数的两个性质： ①Cn＝Cn ； ②Cn＋Cn ＝Cn＋1是否都能推广到 Cx(x∈R，m 是正整数)的情形；若能推广，则写出推广 的形式并给出证明，若不能，请说明理由. 【导学号：95032058】 [解] (1)C－15＝ ＝－11 628. (2)性质①不能推广，例如当 x＝ 2时， 性质②能推广，它的推广形式是 有意义，但 无意义． 5 5 m n－m m m－1 m m － － － 5！ － － 3 Cx＋Cx ＝Cx＋1，x∈R，m 为正整数． 证明：当 m＝1 时， 有 Cx＋Cx＝x＋1＝Cx＋1； 当 m≥2 时， Cx＋Cx ＝ ＝ ＝ m m－1 1 0 1 m