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高三数学第二轮复习教案设计


高三数学第二轮复习专题教案设计
《数列》 (约 2 课时)
一.复习目标 1.能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式解题; 2.能熟练地求一些特殊数列的通项和前 n 项的和; 3.使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指 导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问 题与解决问题的能力. 5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识 的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力. 6.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思 想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 二.基础再现 1.可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法: ① a n = a1 +(n-1)d= a k +(n-k)d ,则{an}为等差数列; 若 ② a n = a1 q n?1 ? a k q n?k 若 ,则{an}为等比数列。
2 (3)中项公式法:验证 2a n?1 ? a n ? a n? 2 , (a n?1 ? a n a n? 2 ) ,n∈N* 都成立。

3. 在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:
?a ? 0 (1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ? m ?a m ? 1 ? 0 ?a ? 0 (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ? m ?a m ? 1 ? 0

的项数 m 使得 Sm 取最大值. 的项数 m 使得 Sm 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 4.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法(累积、累加)、错位相减法、倒序相加法 等。 三.方法整理 a a 1. 证明数列 ?an ? 是等差或等比数列常用定义, 即通过证明 a n?1 ? a n ? a n ? a n?1 或 n ?1 ? n 而 an a n ?1 得。 2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性 质,可使运算简便。 3.对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 4.注意一些特殊数列的求和方法。 5.注意 sn 与 an 之间关系的转化。如:
n ?S1 n?1 , a n = a 1 ? ? ( a k ? a k ?1 ) . k ?2 ? S n ? S n ?1 n ? 2 6.数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的概念

an = ?

1 高三第二轮复习数列专题教学设计(窦世鹏)

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和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路. 7.写综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭 示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. 8.通过解题后的反思,找准自己的问题,总结成功的经验,吸取失败的教训,增强解综合题的 信心和勇气,提高分析问题和解决问题的能力. 四.范例分析 例 1 已知数列 ?an ? , a1 ? 1 ,求满足下列条件的通项公式 (1) an?1 ? an ? 3 ; (2) an?1 ? 2an ; (3) an?1 ? 2an ? 3 ; (4) an?1 ? an ? n (5)

an?1 n ? 1 ? an n

[设计意图]辨析等差、等比数列及其递推数列形式,并能掌握其求通项的方法 例 2 已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n ⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。
⑵设数列 c n ? [设计意图]1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通 项与前 n 项和。解决本题的关键在于由条件 S n?1 ? 4an ? 2 得出递推公式。2.解综合题要总揽全 局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用. 例 3 已知数列{an}是首项 a1 >0,q>-1 且 q≠0 的等比数列,设数列{bn}的通项 bn =a n?1 -ka n? 2 (n∈N),数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 S n ,T n .如果 T n >kS n 对一切自然数 n 都成立,求 实数 k 的取值范围. [设计意图]熟悉递推数列的题型,本题由探寻 T n 和 S n 的关系入手谋求解题思路。 例 4 设实数 a ? 0 ,数列 ?an ? 是首项为 a ,公比为 ? a 的等比数列,记

bn ? an 1g | an | (n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,
求证:当 a ? ?1 时,对任意自然数 n 都有 S n =

a lg a (1 ? a) 2

?1 ? (?1)

n ?1

(1 ? n ? na)a n

?

[设 计 意图 ] 主要熟悉利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究 通项,确定

Cn ? an ? bn ,{an } 是等差数列, {bn } 等比数列。
例 5 已知数列{an}是公差 d≠0 的等差数列,其前 n 项和为 S n . (1)求证:点 P1(1,S1) 2(2, ,P

S S2 )?Pn(n , n )在同一条直线上; 2 n
2 4

(2)过点 Q1(1,a 1 ),Q2(2,a2)作直线 l2 ,设 l 1 与 l 2 的夹角为θ ,求证: tan ? ≤

[设计意图]熟悉以解析几何为载体的数列题解法 例 6. 在直角坐标平面上有一点列 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )?, Pn ( xn , yn )? , 对一切正整数 n , Pn 点 1 位于函数 y ? 3 x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项,? 1 为公差的等差数列 ?xn ? 。 4 2

⑴求点 Pn 的坐标;
2 高三第二轮复习数列专题教学设计(窦世鹏) 第 2 页 共 4 页

⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶 点 为 Pn , 且 过 点 Dn (0, n 2 ? 1) , 记 与 抛 物 线 cn 相 切 于 Dn 的 直 线 的 斜 率 为 k n , 求 :

1 1 1 。 ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n ⑶ 设 S ? ?x | x ? 2xn , n ? N , n ? 1? T ? ?y | y ? 4 yn , n ? 1? , 等 差 数 列 ?an ? 的 任 一 项 , an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125,求 ?an ? 的通项公式。
[设计意图] 本例为数列与解析几何的综合题,难度较大; 、 (1)(2)两问运用几何知识算出 kn , 解决(3)的关键在于算出 S ? T 及求数列{an}的公差。 例 7 已知抛物线 x2 ? 4 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过点 P1 作斜

1 1 的直线交抛物线于点 P ,再过 P 作斜率为 的直线交抛物线于点 P ,? ,如此继续,一 2 2 3 2 4 1 般地,过点 P 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 P ( xn , yn ) . n n 2 (Ⅰ)令 bn ? x2n?1 ? x2n?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列.
率为

3 1 的大小. S n +1 与 4 3n ? 10 [设计意图]强化以解析几何为载体的数列问题解法,展示放缩法,数学归纳法在数列解题中的作 用
(Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 例 8 数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ?? | a n | ,求 S n ; ⑶设 bn =
1 (n ? N * ), Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,是否存在最大的整数 m ,使得 n(12 ? a n )
*

n? N*

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。 32 [设计意图] 熟悉数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
对任意 n ? N ,均有 Tn ?

五.每课一练
1. S n 和 T n 分别为两个等差数列{ a n }、 bn }的前 n 项和, 设 { 若对任意 n∈N, 都有
a 11 = ( b11

Sn 7n ? 1 ? , Tn 4n ? 27



A.4∶3 B.3∶2 C.7∶4 D.78∶71 2. 一个首项为正数的等差数列中, 3 项的和等于前 11 项的和, 前 当这个数列的前 n 项和最大时, n 等于. ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.若数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,且 an ?1 ? an 2 (n ? N * ) ,则数列的通项 an ? . 4.设在等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66, a2 ? an?1 ? 128 S n ? 126 求 n 及 q , , 5.根据下面各个数列 ?an ? 的首项和递推关系,求其通项公式 ⑴ a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n(n ? N )
*

3 高三第二轮复习数列专题教学设计(窦世鹏)

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n a n (n ? N * ) n ?1 1 ⑶ a1 ? 1, an?1 ? a n ? 1 (n ? N * ) 2 6.数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 1? ra n (r 为不等于 0,1 的常数),求其通项公式 an
⑵ a1 ? 1, an?1 ? 7.某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到 2001 年底全县的绿化率已达 30%。 从 2002 年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此同时,由于 各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化。 3 (1)设全县面积为 1,2001 年底绿化面积为 a1 ? , 经过 n 年绿化总面积为 an?1 . 10 4 4 求证 a n?1 ? ? an . 25 5 (2)至少需要多少年(年取整数, lg 2 ? 0.3010)的努力,才能使全县的绿化率达到 60%? 8.已知点的序列 An ( x n ,0),n∈N*,其中 x1 =0, x 2 =a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,…,An 是线段 An? 2 An?1 的中点,…。 (I)写出 x n 与 x n?1 、 x n? 2 之间的关系式(n≥3) (II)设 an= x n?1 - x n ,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明。 9.设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对所有自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列{an}的前三项;?(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);
a 1 a (3)令 bn= ( n ?1 ? n ) (n∈ N),求:b1+b2+…+bn-n. 2 an a n ?1

4 高三第二轮复习数列专题教学设计(窦世鹏)

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