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大一高数课件第八章 8-1-1多元函数的基本概念


第八章
一元函数微分学

多元函数微分法 及其应用
推广 多元函数微分学

注意: 善于类比, 区别异同

第八章

第一节 多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性

一、多元函数的概念
(1)邻域
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy平面上的一个点,? 是某一正数, 与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于? 的点 P ( x , y ) 的全体,称为点 P0 的? 邻域,记为U ( P0 , ? ) ,

U ( P0 , ? ) ? ?P | PP0 |? ? ?

? ( x , y ) | ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ? .
说明:若不需要强调邻域半径? ,也可写成

?

?

?

?

P0

U ( P0 ) .
点 P0 的去心邻域记为

0 ? PP0 ? δ

(2)区域
设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的 一个点.如果存在点 P 的某一邻域 U ( P ) ? E , 则称 P 为 E 的内点.

E 的内点属于 E .

?P

E

如果点集 E 的点都是内点, 则称 E 为开集.
例如, E1 ? {( x, y ) 1 ? x 2 ? y 2 ? 4} 即为开集.
?P

E

如果点 P 的任一个邻域内既有属 E 的点, 于 也有不属于 E 的点(点 P 本身可以属于 E ,也 可以不属于 E ),则称 P 为 E 的边界点.
E 的边界点的全体称为E 的边界.
?P

E

设 D 是开集.如果对于 D 内 任何两点,都可用折线 连结起来, 且该折线上的点都属于D ,则称 开集 D 是连通的.

?

?

连通的开集称为区域或开区域.
例如, {( x, y ) | 1 ? x 2 ? y 2 ? 4}.

y

o
y

x

开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如,

{( x, y ) | 1 ? x 2 ? y 2 ? 4}.
o x

对于点集 E 如果存在正数 K ,使一切点 P ? E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K , 即 AP ? K 对一切 P ? E 成立,则称 E 为有界点集,否 则称为无界点集.

y
例如, {( x, y ) | 1 ? x 2 ? y 2 ? 4} 有界闭区域;

{( x , y ) | x ? y ? 0}
无界开区域.

y

o

x

o

x

(3)n维空间
设n为取定的一个自然数,我们称n元数组 ( x1 , x2 ,?, xn ) 的 全 体 为 n 维 空 间 , 而 每 个 n 元 数 组 ( x1 , x2 ,?, xn ) 称为 n 维空间中的一个点,数 x i 称为该点的 第 i 个坐标.

说明: ? n维空间的记号为 R n ;

? n维空间中两点间距离公式
设两点为 P ( x1 , x2 ,?, xn ), Q ( y1 , y2 ,?, yn ),

| PQ |? ( y1 ? x1 )2 ? ( y2 ? x2 )2 ? ? ? ( yn ? xn )2 .
特殊地当 n ? 1, 2, 3 时,便为数轴、平面、空间两点 间的距离.

? n维空间中邻域、区域等概念 邻域: U ( P0 , ? ) ? P | PP0 |? ? , P ? R n 内点、边界点、区域等概念也可定义.

?

?

二、多元函数的概念
引例: ? 圆柱体的体积

r
h

? 定量理想气体的压强

机动

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结束

(1)二元函数的定义 设 D 是平面上的一个点集, 如果对于每个点 P( x, y ) ? D , 变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应,则称 z 是变量
x, y 的二元函数,记为 z ? f ( x, y )(或记为 z ? f (P )).

类似地可定义三元及三元以上函数.

当 n ? 2时, n 元函数统称为多元函数.

z D 称为该函数的定义域,x, y 称为自变量, 称为因变量
数集 W ? ?z z ? f ( x , y ), ( x , y ) ? D? 称为函数的值域

z ? f ( x, y )

在 ( x0 , y0 ) 点的值记为

z x ? x0 或 f ( x0 , y0 )
y ? y0

例1



arcsin( 3 ? x 2 ? y 2 ) 的定义域. f ( x, y) ? x ? y2

? 3 ? x2 ? y2 ? 1 ? 2 2 解 ? ?2 ? x ? y ? 4 ? ?? 2 ?x ? y ? 0 ? x ? y2 ? ?
所求定义域为

D ? {( x, y ) | 2 ? x 2 ? y 2 ? 4, x ? y 2 }.

是有界闭区域

例如

z ? ln( x ? y) 的定义域

y

D ? ?( x , y ) x ? y ? 0?
是无界开区域

z ? ln xy

o

x

的定义域

D ? ?( x , y ) xy ? 0? 不是区域

(2)

二元函数 z ? f ( x , y ) 的图形

设函数 z ? f ( x, y )的定义域为 D ,对于任意取定的

P( x, y ) ? D ,对应的函数 z ? f ( x, y ) ,这样,以 x 为横坐
标、 y 为纵坐标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M ( x, y, z ) , 当 x取遍 D 上一切点时,得一个空间点集

{( x, y, z ) | z ? f ( x, y ), ( x, y ) ? D},这个点集称为二元函数的
图形.

二元函数的图形

通常是一张曲面.

例如, z ? sin xy 图形如右图.

例如, x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2
左图球面.

z

D ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? a 2 }.
单值分支: z ? a 2 ? x 2 ? y 2
x

o

y

z ? ? a2 ? x2 ? y2 .

三、多元函数的极限
定义1 设函数 z ? f ( x, y ) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 )是 D 的内点或边界点,如果 P 以任何方式无限趋近于 P0 时, 函数的对应值总是无限趋近于某一个确定的常数 A, 则称A为函数 z ?
x ? x0 y ? y0

f ( x, y) 当 x ? x0 y ? y0 时的极限 记为 lim f ( x , y ) ? A 或 f ( x, y ) ? A ( ? ? 0)
这里 ? ?| PP0 |

定 义 1?

设 函 数 z ? f ( x, y ) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是
D 的内点或边界点,如果对于任意给定的正数? ,

总 存 在 正 数 ? , 使 得 对 于 适 合 不 等 式

0 ?| PP0 |? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ? 的一切点,

都 有 | f ( x, y ) ? A |? ? 成 立 , 则 称 A 为 函 数 z ? f ( x, y ) 当

x ? x0 , y ? y0 时的极限,
记为
x ? x0 y ? y0

lim f ( x , y ) ? A

(或 f ( x, y ) ? A ( ? ? 0) 这里 ? ?| PP0 | ).

说明: (1)定义中

P ? P0 的方式是任意的;
y ? y0
0

lim (2)二元函数的极限也叫二重极限 x ? x f ( x , y );
(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.

例2 求证 lim ( x 2 ? y 2 ) sin
x ?0 y ?0

1 ?0 2 2 x ?y

证 ( x 2 ? y 2 ) sin
2 2

1 ?0 2 2 x ?y

1 2 2 ? x ? y ? sin 2 2 ? x ? y x ?y

? ? ? 0, ? ? ? ? , 当 0 ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 0)2 ? ? 时,
( x 2 ? y 2 ) sin 1 ?0 ?? 2 2 x ?y
原结论成立.

sin( x y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x ?0 x ? y


2

sin( x y ) lim 2 x ?0 x ? y 2
y ?0

y ?0 2

sin( x 2 y ) x 2 y ? lim ? 2 , 2 2 x ?0 x y x ?y
y ?0

sin( x y ) u ? x 2 y sin u 其中 lim lim ? 1, 2 x?0 x y u?0 u y?0
2

x y x2 ? y2

2

sin( x 2 y ) 1 ? x ?x ?0? 0, ? lim x 2 ? y 2 ? 0. ? ? x ?0 2 y ?0

? 若当点 P ( x , y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数趋于不同 值或有的极限不存在,则可以断定函数极限不存在 .

xy 例4. 讨论函数 f ( x , y ) ? 2 2 在点 (0,0) 的极限. x ?y
解: 设 P ( x , y ) 沿直线 y ? kx 趋于点(0,0) ,

k k x2 ? lim f ( x , y ) ? lim 2 2 2 x ?0 x ?0 x ? k x 1? k2
y ? kx

k 值不同极限不同 !

故 f ( x , y ) 在 (0,0) 点极限不存在 .

确定极限不存在的方法:
(1) 令 P ( x, y ) 沿 y ? kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ),若极限值与 k 有 关,则可断言极限不存在;
(2) 找两种不同趋近方式, lim f ( x , y ) 存在, 使 但两者不相
x ? x0 y ? y0

等,此时也可断言 f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在.

利用点函数的形式有n 元函数的极限

定义 2

设 n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D, P0 是其内

点或边界点, 如果对于任意给定的正数? , 总存在正数
? ,使得对于适合不等式 0 ?| PP0 |? ? 的一切点 P ? D ,

都有 | f ( P ) ? A |? ? 成 立,则称 A 为 n 元函数 f (P ) 当
P ? P0 时的极限,记为
P ? P0

lim f ( P ) ? A .

四、多元函数的连续性
定义3 设 n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D, P0 是其内点或

边界点且 P0 ? D, 如果 lim f ( P ) ? f ( P0 ) 则称 n 元函数 f (P )
P ? P0

在点 P0 处连续.

对二元函数 f ( x, y) ,如果 xlim f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 ) ?x
0 y ? y0

则称函数 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处连续.

设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的内点或边界点,如果 f (P ) 在点 P0 处不连续,则称 P0 是函数 f (P ) 的间断点.

例如, 函数

? xy ? 2 2, f ( x, y) ? ? x ? y ? 0 , ?

x2 ? y2 ? 0 x2 ? y2 ? 0

在点(0,0) 极限不存在, 故 (0,0) 为其间断点. 又如, 函数 在圆周

x 2 ? y 2 ? 1 上间断.

注(1) 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D上 连续
(2)二元连续函数是一个无孔无缝的曲面

闭区域上连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数,在 D 上至少取 得它的最大值和最小值各一次.

(2)介值定理

在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得
两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两值之间的任 何值至少一次.

多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数经过有限
次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示 的多元函数叫多元初等函数 例如

z?

x2 ? x ? y 1? y
2

z ? sin( x ? y )

z ? ln( 1 ? x ? y )

等都是二元初等函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
一般地,求 lim f ( P ) 时,如果 f ( P ) 是初等函
P ? P0

数,且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点,则 f ( P ) 在 点 P0 处连续,于是 lim f ( P ) ? f ( P0 ).
P ? P0

例7




x ?0 y ?0

lim

xy ? 1 ? 1 . xy

1 xy ? 1 ? 1 ? lim 原式 ? lim x ?0 xy ? 1 ? 1 x ?0 xy ( xy ? 1 ? 1)
y ?0 y ?0

1 ? . 2

五、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
(注意趋近方式的任意性)

思考题

若点 ( x, y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于 点 ( x0 , y0 )时,函数 f ( x, y ) 都趋向于 A,能否断定
( x , y )?( x0 , y0 )

lim

f ( x , y ) ? A?

思考题解答

f ( x, y) ?
2

不能.
x3 y2
4 2

(x ? y )

,

( x, y ) ? (0,0)
x ?0



y ? kx ,

f ( x , kx ) ?

x3 ? k 2 x2 ( x 2 ? k 4 x 4 )2

?? ? 0 ?

但是

( x , y )?( 0,0)

lim

f ( x, y )
2

不存在.
f ( y2 , y) ?

原因为若取 x ? y ,

1 ? . 4 ( y 4 ? y 4 )2

y6 y2

练习 题
一、 填空题:

x 1、 若 f ( x , y ) ? x ? y ? xy tan ,则 f ( tx, ty ) =____. y x2 ? y2 2、 若 f ( x , y ) ? ,则 f (2,?3) ? __________; 2 xy y f (1, ) ? ________________. x
2 2

3、若

y f( )? x

x2 ? y2 ( y ? 0) ,则 f ( x ) ?________. y

y 2 2 4、若 f ( x ? y , ) ? x ? y ,则 f ( x, y ) ? _________. x 4x ? y2 函数 z ? 的定义域是__________. 2 2 ln( 1 ? x ? y )

6、函数 z ?

x?

y 的定义域是______________.

y 7、函数 z ? arcsin 的定义域是_______________. x

y2 ? 2x 8、函数 z ? 2 的间断点是________________. y ? 2x

二、 求下列各极限: 2 ? xy ? 4 1、 lim ; x?0 xy y?0

sin xy 2、 lim ; x ?0 x y ?0
1 ? cos( x 2 ? y 2 ) 3、 lim . x ?0 ( x 2 ? y 2 ) x 2 y 2 y?0

三、 证明: lim

xy x ?y
2 2

x ?0 y ?0

? 0.

四、 证明极限 lim

x?0 y?0

xy ? 1 ? 1 不存在 . x? y

练习题答案
13 一、 1、 t f ( x , y ) ; 2、? , f ( x , y ) ; 12 1 ? x2 2 1? y 3、 ; 4、 x ; x 1? y 2 2 2 5、 ( x , y ) 0 ? x ? y ? 1, y ? 4 x ; ( x , y ) x ? 0, y ? 0, x 2 ? y ; 6、
2

7、?( x , y ) x ? 0,? x ? y ? x? ? ?( x , y ) x ? 0, x ? y ? ? x?; 2 8、?( x , y ) y ? 2 x ? 0?. 1 二、1、? 4 ; 2、0; 3、? ? .

? ?

?

?


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