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新人教A版数学选修1-1《2.1.2椭圆的简单几何性质》导学案

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质学 案 新人教 A 版选修 1-1
【学习目标】 1.理解椭圆的范围、对称性、顶点 、长轴长及短轴长; 2.掌握椭圆的离心率及 a, b, c 的几何意义;

3.会应 用椭圆的简单几何性质解题. 【重点难点】 椭圆的简单几何 性质及其应用 ;椭圆离心率 【学习过程】 一、问题情景导入 1. 我们知道圆 x 2 ? y 2 ? R 2 有边长为 2 R 外切正方形,圆上所有的点都在这个正方形的范

x2 y2 围内,同样, 椭圆 2 ? 2 ? 1 a b

?a ? b ? 0?也有一个外切矩形,这个矩形的长为 2a ,宽为 2b ,椭圆上所有的点都在这个
矩形的范围之 内. 2.圆是中心对称图形又是轴对称图形.同样地,椭圆是中心对称图形,又是轴 对称图形. 3.圆上的各点到圆心的距离相等,而椭圆上的各点到椭圆的中心距离有最大,也有 最小. 4.有 些椭圆很扁平,有些椭圆凸的很接近圆,描述 这种“扁”与“凸” 的性质时,专门有 个几何量,叫椭圆的离心率. 二、自学探究: (阅读课本第 37-39 页,完成 下面 知识点的梳理) 标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

图形 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长

离心率

a, b, c 的关系

y2 x2 思考:⑴ 椭圆 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0?时,其性质如何? a b
⑵椭圆的离心率的范围是什么?为什么? ⑶离心率 e 的大小与椭圆的扁或圆的关系是怎样的? 三、例题演练: 例 1.求椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400的长 轴和短轴的长、离心率、焦点和顶 点的坐标.

变式: 求椭圆 25x 2 ? y 2 ? 25 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

例 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴椭圆过 ?3,0? ,离心率 e ?

6 ; 3

⑵在 x 轴上的一个焦 点与短轴两个端点的连线互相垂直且焦距为 8. ⑶经过点 P?? 3,0?, Q?0,?2? ; ⑷长轴长等 于 20,离心率等 于

3 . 5

例 3.比较下列每组中椭圆 的形 状,哪一个更圆,哪一个更扁?为什么?

⑴ 9 x ? y ? 36,
2 2

x2 y2 ? ? 1; 16 12 x2 y2 ? ? 1. 6 10

⑵ x ? 9 y ? 36,
2 2

【课堂小结与反思】

【课后作业与练习】 1. 求下列椭圆的焦点 坐标: ⑴

x2 y2 ? ? 1 ;⑵ 2x 2 ? y 2 ? 8 . 100 36

2. 求适合下 列条件的椭圆的标准方程:

1 ; 3 3 ⑵焦点在 y 轴上, c ? 3, e ? .; 5
⑴焦点在 x 轴上, a ? 6, e ?

3.⑴若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则其离心率为



⑵若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形,则其离心率为 ⑶若椭圆的 的两个焦点把 长轴分成三等 分,则其离心率为 。 ⑷若椭圆



1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则: k=___ __ 2 k ?8 9

⑸若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成 等差数列, 则其离心率 e=__________


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