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2019-2020年高中数学第一轮总复习 第十二章12.2 离散型随机变量的期望值和方差教案 (理) 新人教A版

2019-2020 年高中数学第一轮总复习 第十二章 12.2 离散型随机变量的期

望值和方差教案 (理) 新人教 A 版

巩固·夯实基础

一、自主梳理

1.期望:若离散型随机变量ξ ,ξ =xi 的概率为 P(ξ =xi)=pi(i=1,2,…,n,…),则称 Eξ =∑

xipi 为ξ 的数学期望,反映了ξ 的平均值. 2.方差:称 Dξ =∑(xi-Eξ )2pi 为随机变量ξ 的均方差,简称方差.叫标准差,反映了ξ 的

离散程度.

3.性质:(1)E(aξ +b)=aEξ +b,D(aξ +b)=a2Dξ (a、b 为常数).

(2)若ξ —B(n,p),则 Eξ =np,Dξ =npq(q=1-p).

二、点击双基

1.袋子里装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 个球,用ξ 表示取出的球的最大号码,则 E

ξ 等于( )

A.4

B.5

C.4.5

D.4.75

解析:ξ 可以取 3,4,5,

P(ξ =3)==,P(ξ =4)==,P(ξ =5)===.

∴Eξ =3×+4×+5×==4.5.

答案:C

2.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射 10 次,其出事故的次数为ξ ,则下列结论正确的是

()

A.Eξ =0.1 C.P(ξ =k)=0.01k·0.9910-k

B.Dξ =0.1 D.P(ξ =k)=Ck10·0.99k·0.0110-k

解析:ξ —B(n,p),Eξ =10×0.01=0.1.

答案:A

3.已知ξ —B(n,p),且 Eξ =7,Dξ =6,则 p 等于( )

A.

B.

C.

D.

解析:Eξ =np=7,Dξ =np(1-p)=6,所以 p=.

答案:A

4.一个盒子里装有 n-1 个白球,1 个红球,每次随机地取出一个球,若取到白球则放回再取,若取

到红球则停止取球,则取球次数ξ 的数学期望为__________________________.

解析:ξ 可以取 1,2,3,…,n,

P(ξ =k)=(k=1,2,…,n),

∴Eξ =(1+2+3+…+n)=.

答案:

5.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量ξ 1、ξ 2,已知 Eξ 1=Eξ 2,Dξ 1>Dξ 2,

则自动包装机_______________的质量较好.

解析:Eξ 1=Eξ 2 说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.Dξ 1>Dξ 2 说明甲机包装重量的差

别大,不稳定.

∴乙机质量好.

答案:乙

诱思·实例点拨

【例 1】设ξ 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求 Eξ 、Dξ .

ξ

-1

0

1

P

1-2q

q2

剖析:应先按分布列的性质,求出 q 的值后,再计算出 Eξ 、Dξ .

解:因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于 1,所以

?1

? ?

2

?1? 2q

?

q2

? 1,

?0 ? 1? 2q ? 1,

??q2 ? 1,

?

解得 q=1-.

于是,ξ 的分布列为

ξ

-1

0

1

P

-1

-

所以 Eξ =(-1)×+0×(-1)+1×(-)=1-, Dξ =[-1-(1-)]2×+(1-)2×(-1)+[1-(1-)]2×(-)=-1.

讲评:解答本题时,应防止机械地套用期望和方差的计算公式,出现以下误解:Eξ =(-1)×+0× (1-2q)+1×q2=q2-.

链接·提示

既要会由分布列求 Eξ 、Dξ ,也要会由 Eξ 、Dξ 求分布列,进行逆向思维.如:若ξ 是离散

型随机变量,P(ξ =x1)=,P(ξ =x2)=,且 x1<x2,又知 Eξ =,Dξ =.求ξ 的分布列.

解:依题意ξ 只取 2 个值 x1 与 x2,于是有

Eξ =x1+x2=, Dξ =x12+x22-Eξ 2=.

从而得方程组

解之,得或

? ?? ? ? ??

x1 x2

? ?

9, 5 4. 5

而 x1<x2,

∴x1=1,x2=2.

∴ξ 的分布列为

ξ

1

2

P

【例 2】 把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去,设ξ 表示空盒子的个数,求 Eξ 、Dξ . 剖析:每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为 44,空盒子的个数可能为 0

个,此时投球方法数为 A44=4!, ∴P(ξ =0)==;空盒子的个数为 1 时,此时投球方法数为 C14C24A33,

∴P(ξ =1)=.

同样可分析 P(ξ =2),P(ξ =3).

解:ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3.

P(ξ =0)==,

P(ξ =1)==,

P(ξ =2)==,

P(ξ =3)==.

∴ξ 的分布列为

ξ

0

1

2

3

P

∴Eξ =,Dξ =.

讲评:本题的关键是正确理解ξ 的意义,写出ξ 的分布列.

链接·提示

求投球的方法数时,要把每个球看成不一样的.ξ =2 时,此时有两种情况:①有 2 个空盒子,

每个盒子投 2 个球;②1 个盒子投 3 个球,另 1 个盒子投 1 个球.

【例 3】(xx 辽宁高考)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二道工序加

工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品,

两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品.

(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、

乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙.

表一

(2)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ 、η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在(1)的条件 下,求ξ 、η 的分布列及 Eξ 、Eη .
表二

(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资金 60 万 元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(2)的条件下,x、y 为何值时,z=xEξ +yEη 最大? 最大值是多少?(解答时需给出图示)
表三

解:(1)P 甲=0.8×0.85=0.68,P 乙=0.75×0.8=0.6.

(2)随机变量ξ 、η 的分布列是

ξ

5

P

0.68

2.5 0.32

η

2.5

1.5

P

0.6

0.4

Eξ =5×0.68+2.5×0.32=4.2,

Eη =2.5×0.6+1.5×0.4=2.1.

?5x ?10y ? 60,

(3)由题设知

??8x ? 2 ??x ? 0,

y

?

40,

?? y ? 0.

目标函数为 z=xEξ +yEη =4.2x+2.1y.作出可行域(如图):

作直线 l:4.2x+2.1y=0, 将 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上的点 M 且与原点距离最大,此时 z=4.2x+2.1y 取最大值. 解方程组 得 故 x=4,y=4 时,z 取最大值,z 的最大值为 25.2. 讲评:考查相互独立事件的概率,随机变量的分布列及期望,线性规划模型的建立与求解,考查 通过建模解决实际问题的能力.


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