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《空间几何体的表面积和体积》教案(苏教版必修2).


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空间几何体的表面积和体积预习提纲
1.平面展开图

2.概念: 直棱柱: 正棱柱: 正棱锥: 正棱台: 3.面积公式: S 直棱柱侧= S 正棱台侧= S 圆锥侧= S 球面= 相互间的关系: 4.体积公式: V 长方体= V 锥体= V 球= 相互间的关系: = V 柱体= V 台体= = S 正棱锥侧= S 圆柱侧= S 圆台侧= = =

空间几何体的表面积和体积教案
例 1:已知直三棱柱底面各边的比为 17:10:9,侧棱长为 16 cm,全面积为 1440 cm2,求 底面各边之长. 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚.www.ks5u.com 1

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例 2:正三棱锥底面边长为 a,侧棱与底面成 45°角,求此棱锥的侧面积与全面积.

例 3:从一个正方体中,如图那样截去 4 个三棱锥后,得到一个正三棱锥 A—BCD,求它的 体积是正方体体积的几分之几?

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例 4:假设正棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a,求对角面的面积和侧面积.

例 5:如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积; 2 (2)球的表面积等于圆柱全面积的 3

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例 6:有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切, 第三个球过这个正方体的各顶点,求这三个球的表面积之比.

例 7:已知圆锥的全面积是它内切球表面积的 2 倍,求圆锥侧面积与底面积之比.

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练习: 1.已知球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半,且 AB=BC=CA=2, 求球的体积. 2.一个体积为 8 的正方体的各个顶点都在球面上,求此球的体积.

例 8:求球与它的外切圆柱,外切等边圆锥的体积之比.

例 9:半径为 R 的球的内接四面体内有一内切球,求这两球的 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚.www.ks5u.com 5

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体积比?

空间几何体的表面积和体积教案
例 1:已知直三棱柱底面各边的比为 17:10:9,侧棱长为 16 cm,全面积为 1440 cm2,求 底面各边之长. 分析:这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题,从结论出发,欲 求底面各边之长,而各边之比已知,可分别设为 17a,10a, 9a,故只须求出参数 a 即可,那么如何利用已知条件去求 a 呢? [生]设底面三边长分别是 17a,10a,9a, S 侧=(17a+10a+9a)16=576a 设 17a 所对三角形内角 α, (10a)2+(9a)2-(17a)2 3 4 则 cosα= =- ,sinα= 2×10a×9a 5 5 1 4 S 底= 10a9a =36a2 2 5 ∴576a+72a2=1440 解得:a=2 ∴三边长分别为 34 cm,20 cm,18 cm. [师]此题中先设出参数 a,再消去参数,很有特色. 例 2:正三棱锥底面边长为 a,侧棱与底面成 45°角,求此棱锥的侧面积与全面积. 分析:可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得. 解:如图所示,设正三棱锥 S—ABC 的高为 SO,斜高为 SD, 在 Rt△SAO 中,∴AO=SAcos45°

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2 2 3 ∵AO= AD= a 3 3 2 在 Rt△SBD 中 SD= ( ∴SA= 6 a 3

6 2 1 15 a) ( a ) 2 = a 3 2 6
∵S 底= 3 2 a 4

1 15 2 ∴S 侧= 3aSD= a. 2 4 ∴S 全=( 15 3 + )a2 4 4

例 3:从一个正方体中,如图那样截去 4 个三棱锥后,得到一个正三棱锥 A—BCD,求它的 体积是正方体体积的几分之几? 分析:在准确识图的基础上,求出所截得的每个三棱锥的 体积和正三棱锥 A—BCD 的体积即可. 解:设正方体体积为 Sh,则每个截去的三棱锥的体积 为 1 1 1 Sh= Sh. 6 3 2 1 1 Sh= Sh. 6 3

∵三棱锥 A—BCD 的体积为 Sh-4

1 ∴正三棱锥 A—BCD 的体积是正方体体积的3 . 例 4:假设正棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a,求对角面的面积和侧面积. 解:如图所示,在正四棱锥 P—ABCD 中,AB=a,PB=2a, 作 PO⊥底面 ABCD 于 O.连结 BD, O∈BD, PO⊥BC, 则 且 由 AB=a,得 BD= 2 a,在 Rt△PAB 中, PO2=PB2-BO2=(2a)2-( ∴PO= 2 a)2 2

14 1 7 a,S 对角面= POBD= a2. 2 2 2

又作 PE⊥BC 于 E,这时 E 是 BC 的中点 1 ∴PE2=PB2-BE2=(2a)2-( a)2 2 ∴PE= 15 a 2 ∴S 侧=4×

1 PEBC= 15 a2 2
15 a2.

∴对角面面积为

7 2 a ,侧面积为 2

例 5:如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积; 2 (2)球的表面积等于圆柱全面积的 3 证明: (1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R, 高为 2R,得 ∴S 球=S 圆柱侧 S 球=4πR2,S 圆柱侧=2πR2R=4πR2 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚.www.ks5u.com 7

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(2)∵S 圆柱全=4πR2+2πR2=6πR2 2 ∴S 球= S 圆柱全 3 例 6:有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切, 第三个球过这个正方体的各顶点,求这三个球的表面积之比. 解:设正方体的棱长为 a,则第一个球的半径为 的半径为 3 a. 2 a 2 ,第二个球的半径是 a,第三个球 2 2 S 球=4πR2

∴r1:r2:r3=1: 2 : 3 ∴S1:S2:S3=1:2:3 例 7:已知圆锥的全面积是它内切球表面积的 2 倍,求圆锥侧面积与底面积之比. 解:过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面 SAB 和球的大圆⊙O,且⊙O 为 △SAB 的内切圆. 设圆锥底面半径为 r,母线长为 l;内切圆半径为 R,则 S 锥全=πr2+πrl,S 球=4πR2,∴r2+rl=8R2 ① 又∵△SOE∽△SAO1 ∴

R lr lr = = 2 2 r l+r l r



由②得:R2=r2 l=3r ∴

lr lr 代入①得:r2+rl=8r2 ,得: l+r l+r

S 锥侧 πrl l = 2 = =3 S底 πr r

∴圆锥侧面积与底面积之比为 3:1. 练习: 1.已知球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半,且 AB=BC=CA=2, 求球的体积. 2.一个体积为 8 的正方体的各个顶点都在球面上,求此球的体积. 例 8:求球与它的外切圆柱,外切等边圆锥的体积之比. 解:如图所示,等边△SAB 为圆锥的轴截面,此截面截圆柱得正方形 C1CDD1,截球面 得球的大圆圆 O1. 设球的半径 O1O=R, 则它的外切圆柱的高为 2R, 底面半径 为 R,则有 OB=O1Ocot30°= 3 R SO=OBtan60°= 3 R 3 =3R 4 ∴V 球= πR3,V 柱=πR22R=2πR3 3 1 V 锥= π( 3 R)23R=3πR3 3 ∴V 球:V 柱:V 锥= 4:6:9 [师]以上题目,通过作球及外切圆柱,等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相 互关系. 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚.www.ks5u.com 8

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让我们继续体会有关球的相接切问题. 例 9:半径为 R 的球的内接四面体内有一内切球,求这两球的体积比? 解:如图所示,大球 O 的半径为 R;设正四面体 A—BCD 的棱长为 a,它的内切球半径为 r,依题意 2 3 3 BO1= a= a, 3 2 3 AO1= AB2-BO12 = 又∵BO2=BO12+OO12, a2-( 3 6 a)2 = a 3 3

3 2 6 2 6 a) + ( a R) 2 ∴a= R 3 3 3 连结 OA,OB,OC,OD,内切球球心到正四面体各面距离为 r, VO—BCD=VO—ABC+VO—ACD+VO—AOB+VO—BCD 1 1 ∴ S BCD AO1 = 4 S BCD r 3 3 AO1 ∴r= 4
∴R2= (

6 6 2 6 1 a= R= R 12 12 3 3 4 1 4 ∴V 小球:V 大球= π( R)3: πR3=1:27 3 3 3 ∴内切球与外接球的体积比为 1:27.
∴r=

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