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2016年河南省八市重点高中高考数学三模试卷(文科)(解析版)


2016 年河南省八市重点高中高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. n∈Z}, B={x|y= 已知集合 A={x|x=3n﹣1, }, 则集合 A∩B 的元素个数为 ( )

A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知 =(x,1) = , (﹣1,3) ,若 ∥ ,则 x=( A. B.﹣ C.3 D.﹣3



3.已知命题 p:? α∈R,sin(π﹣α)≠﹣sinα,命题 q:? x∈[0,+∞) ,sinx>x,则下面 结论正确的是( ) A.¬p∨q 是真命题 B.p∨q 是真命题 C.¬p∧q 是真命题 D.q 是真命题 4.定义 m⊕n=nm(m>0,n>0) ,已知数列{an}满足 an= n,都有 an≥ A.3 B. (n0∈N*) ,则 C.1 D. 的值为( ) (n∈N*) ,若对任意正整数

5.存在函数 f(x)满足对任意的 x∈R 都有( ) 2 2 A.f(|x|)=x+1 B.f(x +4x)=|x+2| C.f(2x +1)=x D.f(cosx)= 6.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是( )

A.3+

B.2+

C.2+

D.3+

7.已知 O 为直角坐标原点,点 A(2,3) ,点 P 为平面区域

(m>0)内的

一动点,若 A.1 B.

?

的最小值为﹣6,则 m=( C. D.



8.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 为(



第 1 页(共 23 页)

A.3 B.4 C.5 D.6 9.在△ABC 中,已知 ? =8,sinB=cosA?sinC,S△ABC=3,D 为线段 AB 上的一点,且 =m? +n? ,则 mn 的最大值为( )

A.1

B.

C.2

D.3

10.已知双曲线



=1(a>0,b>0) ,A(0,﹣b) ,B(0,b) ,P 为双曲线上的一点, ) D.[ ,+∞)

且|AB|=|BP|,则双曲线离心率的取值范围是( A.[ ,+∞) B. (1, ] C.[ ,+∞)

11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f′(x)<e,f(0)=e+2(其中 e 为自然对数的 底数) ,则不等式 exf(x)>ex+1+2 的解集为( ) A. 0 B e 2 C 0 ∞ ∞ ∞ (﹣ , ) . (﹣ , + ) . (﹣ , )∪(e+2,+∞) D. (0,+∞) 12.公差不为 0 的等差数列{an}的部分项 an1,a n2=2,n3=6,n4=22,则下列项中是数列{a A.a46 B.a89 C.a342 D.a387 ,a ,…构成等比数列{a ) },且

}中的项是(

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若复数 z 满足 z2= ﹣i(i 为虚数单位) ,则 z 的模为______. 14.已知 A(0,1) ,B(﹣ ,0) ,C(﹣ ,2) ,则△ABC 外接圆的圆心到直线 y=﹣ x 的距离为______. 15.棱长为 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内切球 O,以 A 为顶点,以平面 B1CD1,被球 O 所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为______.

第 2 页(共 23 页)

16. 存在正数 m, 使得方程

sinx﹣cosx=m 的正根从小到大排成一个等差数列. 若点 A (1,

m)在直线 ax+by﹣2=0(a>0,b>0)上,则 + 的最小值为______.

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 A)?sinA+cos(B+C)= ,c=2 . ?cosA﹣sin(C﹣

(Ⅰ)求 sinC; (Ⅱ)求△ABC 面积的最大值. 18.某校在高三抽取了 500 名学生,记录了他们选修 A、B、C 三门课的选修情况,如表: 科目 A B C 学生人数 120 是 否 是 60 否 否 是 70 是 是 否 50 是 是 是 150 否 是 是 50 是 否 否 (Ⅰ)试估计该校高三学生在 A、B、C 三门选修课中同时选修 2 门课的概率. (Ⅱ)若该高三某学生已选修 A,则该学生同时选修 B、C 中哪门的可能性大? 19.多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD、四边形 BDEF 均为正方形,且平面 BDEF⊥平面 ABCD,点 G,H 分别为 BF,AD 的中点. (Ⅰ)求证:GH∥平面 AEF; (Ⅱ)求直线 EA 与平面 ACF 所成角的正弦值.

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的焦距为 2

,且椭圆 C 过点 A(1,

) ,

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 O 是坐标原点,不经过原点的直线 l:y=kx+m 与椭圆交于两不同点 P(x1,y1) , 2 Q(x2,y2) ,且 y1y2=k x1x2,求直线 l 的斜率 k; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求△OPQ 面积的最大值. 21.已知函数 f(x)=lnx+m(x﹣1)2, (m∈R) (Ⅰ)讨论函数 f(x)极值点的个数;
第 3 页(共 23 页)

(Ⅱ)若对任意的 x∈[1,+∞) ,f(x)≥0 恒成立,求 m 的取值范围. [选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,PA 为半径为 1 的⊙O 的切线,A 为切点,圆心 O 在割线 CD 上,割线 PD 与⊙O 相交于 C,AB⊥CD 于 E,PA= . (1)求证:AP?ED=PD?AE; (2)若 AP∥BD,求△ABD 的面积.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲 (α 为参数) , 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2 (sin2θ+4cos2θ)

线 C1 的参数方程为

=4. (1)求曲线 C1 与曲线 C2 的普通方程; (2)若 A 为曲线 C1 上任意一点,B 为曲线 C2 上任意一点,求|AB|的最小值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=2|x+a|﹣|x﹣1|(a>0) . (1)若函数 f(x)与 x 轴围成的三角形面积的最小值为 4,求实数 a 的取值范围; (2)对任意的 x∈R 都有 f(x)+2≥0,求实数 a 的取值范围.

第 4 页(共 23 页)

2016 年河南省八市重点高中高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. n∈Z}, B={x|y= 已知集合 A={x|x=3n﹣1, A.2 B.3 C.4 D.5 }, 则集合 A∩B 的元素个数为 ( )

【考点】交集及其运算. 【分析】求出 B 中 x 的范围确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可作出判断. 【解答】解:∵A={x|x=3n﹣1,n∈Z},B={x|y= 5}, ∴A∩B={﹣4,﹣1,2,5}, 则集合 A∩B 的元素个数为 4, 故选:C. 2.已知 =(x,1) , =(﹣1,3) ,若 ∥ ,则 x=( A. B.﹣ C.3 D.﹣3 ) }={x|25﹣x2≥0}={x|﹣5≤x≤

【考点】平行向量与共线向量. 【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程,求解即可. 【解答】解: =(x,1) , =(﹣1,3) ,若 ∥ , 可得﹣1=3x,解得 x=﹣ . 故选:B. 3.已知命题 p:? α∈R,sin(π﹣α)≠﹣sinα,命题 q:? x∈[0,+∞) ,sinx>x,则下面 结论正确的是( ) A.¬p∨q 是真命题 B.p∨q 是真命题 C.¬p∧q 是真命题 D.q 是真命题 【考点】复合命题的真假. 【分析】命题 p:是假命题,例如取 α=0 时,sin(π﹣α)=﹣sinα.命题 q:? x∈[0,+∞) , sinx>x,是假命题,取 x=0 时,sinx=x.再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论. 【解答】解:命题 p:? α∈R,sin(π﹣α)≠﹣sinα,是假命题,例如取 α=0 时,sin(π ﹣α)=﹣sinα. 命题 q:? x∈[0,+∞) ,sinx>x,是假命题,令 f(x)=x﹣sinx,则 f′(x)=1﹣cosx≥0, ∴函数 f(x)在∈[0,+∞)单调递增,∴f(x)≥f(0)=0,∴x>0 时,sinx<x.x=0 时, sinx=x. 则下面结论正确的是¬p∨q 是真命题. 故选:A.

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4.定义 m⊕n=nm(m>0,n>0) ,已知数列{an}满足 an= n,都有 an≥ A.3 B. (n0∈N*) ,则 C.1 D. 的值为( )

(n∈N*) ,若对任意正整数

【考点】数列的函数特性. 【分析】由题意可得:an= = , = =f(n) ,可知:f(n)关于 n

单调递增,经过假设可得:a1>a2>a3<a4<a5<…,即可得出. 【解答】解:由题意可得:an= = ,

=

×

=

=f(n) ,则 f(n)关于 n 单调递增,

n=1 时,f(1)= <1;n=2 时,f(2)= <1;n≥3 时,f(n)>1. ∴a1>a2>a3<a4<a5<…, ∴n0=3 时,满足:对任意正整数 n,都有 an≥ = =1. (n0∈N*) ,

故选:C. 5.存在函数 f(x)满足对任意的 x∈R 都有( ) 2 2 A.f(|x|)=x+1 B.f(x +4x)=|x+2| C.f(2x +1)=x D.f(cosx)= 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【分析】根据函数解析式,举特殊值,计算函数值,可判断 A,C,D 均不恒成立,可得 B 正确. 【解答】解:A 项,当 x=1 时,f(1)=2;当 x=﹣1 时,f(1)=0,不合题意; C 项,当 x=1 时,f(3)=1;当 x=﹣1 时,f(3)=﹣1,不合题意; D 项,当 x=0 时,f(1)=1;当 x=2π 时,f(1)= ,不合题意; 故选 B. 6.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是( )

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A.3+

B.2+

C.2+

D.3+

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥,由三视图求出几何元素的长度、并判断出线面 位置关系, 由勾股定理和三角形的面积公式求出各个面的面积, 并加起来求出几何体的表面 积. 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个三棱锥,直观图如图所示: 且 D 是 AB 的中点,PD⊥平面 ABC,PD=AD=BD=CD=1, ∴PD⊥CD,PD⊥AB,由勾股定理得,PA=PB=PC= , 由俯视图得,CD⊥AB,则 AC=BC= , ∴几何体的表面积 S= =2+ , 故选:B. +

7.已知 O 为直角坐标原点,点 A(2,3) ,点 P 为平面区域

(m>0)内的

一动点,若 A.1 B.

?

的最小值为﹣6,则 m=( C. D.



【考点】简单线性规划;平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量数量积的公式求出 ? =2x+3y,结合

?

的最小值为﹣6,得到 y=

﹣ x﹣2,作出对应的直线方程,求出交点坐标进行求解即可. 【解答】解:∵ ? =2x+3y,
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∴设 z=2x+3y,得 y= ∵ ? 的最小值为﹣6,



∴此时 y=﹣ x﹣2, 作出 y=﹣ x﹣2 则 y=﹣ x﹣2 与 x=﹣1 相交为 B 时, 此时 B(﹣1,﹣ ) ,此时 B 也在 y=m(x﹣2)上, 则﹣3m=﹣ ,得 m= , 故选:C.

8.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 为(



A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 a,k 的值,当 a= 1.42|<0.01,退出循环,输出 k 的值为 4.
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时,满足条件|a﹣

【解答】解:模拟执行程序,可得 a=1,k=1 不满足条件|a﹣1.42|<0.01,执行循环体,a= ,k=2 不满足条件|a﹣1.42|<0.01,执行循环体,a= ,k=3 不满足条件|a﹣1.42|<0.01,执行循环体,a= ,k=4

满足条件|a﹣1.42|<0.01,退出循环,输出 k 的值为 4. 故选:B. 9.在△ABC 中,已知 =m? +n? ? =8,sinB=cosA?sinC,S△ABC=3,D 为线段 AB 上的一点,且 )

,则 mn 的最大值为(

A.1

B.

C.2

D.3

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据三角形内角和定理,利用三角恒等变换求出 C= ,再利用边角关系以及向量

的数量积求出 a、b 和 c 的值;通过建立坐标系,利用平面向量的坐标表示,结合基本不等 式,即可求出 mn 的最大值. 【解答】解:△ABC 中,sinB=cosA?sinC=sin(A+C) , ∴cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinAcosC=0, ∵A,C∈(0,π) ,∴C= ∵ ? ; ; ;

=8,∴ca?cosB=8,∴a2=8,解得 a=2 ab=3,且 a=2 ; ,∴b=

又∵S△ABC=3,∴ ∴c= =

建立坐标系如图所示:

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∴点 B(2

,0) ,A(

,0) ,

∴直线 AB 的方程是

+

=1,



=m?

+n?

=m(0,1)+n(1,0)=(n,m) ,点 D(n,m)为线段 AB 上

的一点, ∴ + =1,

化简得 4m+3n=6 ; 4m+3n≥2 ,当且仅当 4m=3n=3 ∴12mn≤ = =18,

时“=”成立;

即 mn≤ . 故选:B.

10.已知双曲线



=1(a>0,b>0) ,A(0,﹣b) ,B(0,b) ,P 为双曲线上的一点, ) D.[ ,+∞)

且|AB|=|BP|,则双曲线离心率的取值范围是( A.[ ,+∞) B. (1, ] C.[ ,+∞)

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设 P(m,n) ,即有 ﹣ =1,运用两点的距离公式,可得 2b= ,

转化为 n 的函数,由配方可得最小值,由离心率公式,解不等式可得 e 的范围. 【解答】解:设 P(m,n) ,即有 ﹣ =1,

由|AB|=|BP|,可得 2b= 即有 4b2=a2(1+ )+(n﹣b)2,



即为 3b2﹣a2=

n2﹣2bn=

(n﹣

)2﹣



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即有 3b2﹣a2≥﹣



即为(3c2﹣4a2)c2+(c2﹣a2)2≥0, 化简可得 4c4﹣6a2c2+a4≥0, 由 e= 可得 4e4﹣6e2+1≥0, (e>1) , 解得 e2≥ 故选:D. 11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f′(x)<e,f(0)=e+2(其中 e 为自然对数的 底数) ,则不等式 exf(x)>ex+1+2 的解集为( ) A. (﹣∞,0) B. (﹣∞,e+2) C. (﹣∞,0)∪(e+2,+∞) D. (0,+∞) 【考点】导数的运算. 【分析】构造函数 g(x)=exf(x)﹣ex+1﹣2(x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数 的性质和函数值,即可求解. 【解答】解:设 g(x)=exf(x)﹣ex+1﹣2(x∈R) , x x x+1 x 则 g′(x)=e f(x)+e f′(x)﹣e =e [f(x)+f′(x)﹣e], ∵f(x)+f′(x)<e, ∴f(x)+f′(x)﹣e<0, ∴g′(x)<0, ∴y=g(x)在定义域上单调递减, ∵f(0)=e+2, ∴g(0)=e0f(0)﹣e﹣2=e+2﹣e﹣2>0, ∴g(x)>g(0) , ∴x<0, ∴不等式的解集为(﹣∞,0) 故选:A. ,即为 e≥ .

12.公差不为 0 的等差数列{an}的部分项 an1,a n2=2,n3=6,n4=22,则下列项中是数列{a

,a

,…构成等比数列{a )

},且

}中的项是(

A.a46 B.a89 C.a342 D.a387 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由题意 a2,a6,a22 成等比数列,求出等比数列的公比 q,从而写出等比数列{a kn} 的通项公式,再验证选项是否正确即可. 【解答】解:等差数列{an}中,a2,a6,a22 构成等比数列, ∴(a1+5d)2=(a1+d) (a1+21d) ,且 d≠0, 解得 d=3a1, ∴等比数列的公比为 q= = =4;

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又等差数列{an}的通项公式为 an=a1+(n﹣1)×3a1=3a1n﹣2a1=(3n﹣2)a1, ∴等比数列{a kn}的通项公式为 akn=a1×4n﹣1, 且 a46=a1+45d=136a1, a89=a1+88d=265a1, a342=a1+341d=1024a1=a1?45, a387=a1+386d=1159a1, ∴a342 是数列{a 故选:C. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若复数 z 满足 z2= ﹣i(i 为虚数单位) ,则 z 的模为 【考点】复数求模. 【分析】根据复数模的定义,直接求模即可. 【解答】解:∵z2= ﹣i, ∴|z|2=| ﹣i|= . }中的项.

= ,

∴z 的模为|z|= 故答案为: .



14.已知 A(0,1) ,B(﹣ x 的距离为 .

,0) ,C(﹣

,2) ,则△ABC 外接圆的圆心到直线 y=﹣

【考点】点到直线的距离公式. 【分析】由三角形的三个顶点坐标求出外接圆的圆心,再由点到直线的距离公式求得答案. 【解答】解:∵A(0,1) ,B(﹣ ,0) ,C(﹣ ,2) , ∴AB 的中点坐标为( 又 , , 则 AB 的垂直平分线方程为 ) , , ) ,

∴AB 的垂直平分线的斜率为 k=

又 BC 的垂直平分线方程为 y=1,代入上式得:△ABC 外接圆的圆心 C(

则 C 到直线 y=﹣

x 的距离为 d=



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故答案为: .

15.棱长为 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内切球 O,以 A 为顶点,以平面 B1CD1,被球 O 所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为 π . 【考点】球内接多面体. 【分析】作出图形,求出截面圆的半径为 ,AF= = ,利用圆锥的侧面积公式求出

以 A 为顶点,以平面 B1CD1,被球 O 所截的圆面为底面的圆锥的侧面积. 【解答】解:如图所示,△B1CD1,与球的切点为 E,F,G,则 EF=1, 截面圆的半径为 ,AF= = , =π.

∴以 A 为顶点, 以平面 B1CD1, 被球 O 所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为 故答案为:π.

16. 存在正数 m, 使得方程

sinx﹣cosx=m 的正根从小到大排成一个等差数列. 若点 A (1, .

m)在直线 ax+by﹣2=0(a>0,b>0)上,则 + 的最小值为 【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】运用两角差的正弦公式,化简可得 y=2sin(x﹣

) ,可得 0<m≤2,讨论 m 的范

围,结合三角函数的图象和等差数列的定义,可得 m=2,将 A 代入直线方程,可得 a+2b=2, 再由乘 1 法和基本不等式即可得到所求最小值. 【解答】解:由 sinx﹣cosx=2( sinx﹣ cosx)=2sin(x﹣ ) ,

存在正数 m,使得方程 即有 0<m≤2.

sinx﹣cosx=m 的正根从小到大排成一个等差数列,

若 0<m<2,由 y=2sin(x﹣

)的图象可得:直线 y=m 与函数 y=2sin(x﹣

)的图象

的交点的横坐标不成等差数列, 若 m=2,即有 x﹣ =2kπ+ ,即为 x=2kπ+ ,k∈Z,

可得所有正根从小到大排成一个等差数列,公差为 2π, 则 m=2, 由点 A(1,2)在直线 ax+by﹣2=0 上,
第 13 页(共 23 页)

可得 a+2b=2,a,b>0, 即 b+ a=1, 则 + =( + ) (b+ a)=2+ + + ≥ +2 = +2= .

当且仅当 a=b= 时,取得最小值 . 故答案为: .

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 A)?sinA+cos(B+C)= ,c=2 (Ⅰ)求 sinC; (Ⅱ)求△ABC 面积的最大值. 【考点】余弦定理. 【分析】 (Ⅰ)由三角函数恒等变换的应用,三角形内角和定理化简已知等式可得 cosC= , 利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值. (Ⅱ)由已知及余弦定理、基本不等式可得 8=a2+b2﹣ ab≥ ab,解得 ab≤6,利用三角形 面积公式即可得解. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)在△ABC 中,由 ?cosA﹣sin(C﹣A)?sinA+cos(B+C)= ,得 . ?cosA﹣sin(C﹣

cos(C﹣A)cosA﹣sin(C﹣A)?sinA=cosC= .… 即 sinC= .…

(Ⅱ)由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC,得 8=a2+b2﹣ ab≥ ab.… 当且仅当 a=b 时取等,即 ab≤6, 所以 S△ABC= absinC= ab≤2 . .…

所以△ABC 面积的最大值为 2

18.某校在高三抽取了 500 名学生,记录了他们选修 A、B、C 三门课的选修情况,如表: 科目 A B C 学生人数 120 是 否 是
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否 否 是 是 是 否 是 是 是 否 是 是 是 否 否 (Ⅰ)试估计该校高三学生在 A、B、C 三门选修课中同时选修 2 门课的概率. (Ⅱ)若该高三某学生已选修 A,则该学生同时选修 B、C 中哪门的可能性大? 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (Ⅰ)由频率估计概率得到答案, (Ⅱ) ,分别求出学生同时选修 B、C 的概率,比较即可. 【解答】解: (I)由频率估计概率得 P= =0.68. .

60 70 50 150 50

(Ⅱ)若某学生已选修 A,则该学生同时选修 B 的概率估计为 选修 C 的概率估计为 ,

即这位学生已选修 A,估计该学生同时选修 C 的可能性大. 19.多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD、四边形 BDEF 均为正方形,且平面 BDEF⊥平面 ABCD,点 G,H 分别为 BF,AD 的中点. (Ⅰ)求证:GH∥平面 AEF; (Ⅱ)求直线 EA 与平面 ACF 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【分析】 (I) 设 AE 中点 M, 以 D 为原点建立空间坐标系, 求出 从而得出 HG∥MF,故而 HG∥平面 AEF; (II) 求出



的坐标, 得出



和平面 ACF 的法向量 的坐标, 设所求线面角为 θ, 则 sinθ=|cos<

>|,

利用同角三角函数的关系得出 tanθ. 【解答】证明: (I)以 D 为原点,以 DA,DC,DE 为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所 示: 设 AB=2,AE 的中点为 M,则 M(1,0, ) ,H(1,0,0) ,F(2,2,2 ) ,G(2,2, ) . =(1,2, ) , =(1,2, ) . ∴ , ∴HG∥MF,又 HG?平面 AEF,MF? 平面 AEF,
第 15 页(共 23 页)

∴GH∥平面 AEF. (II)A(2,0,0) ,F(2,2,2 ) ,C(0,2,0) ,E(0,0,2 ∴ =(﹣2,0,2 ) , =(0,2,2 ) , =(﹣2,2,0) , 设平面 ACF 的法向量为 =(x,y,z) ,则 .

) .

∴ ∴ ∴cos< =4

,令 z=1 得 =(﹣ ,| |= >= ,| = |=2

,﹣ . .

,1) .

设直线 EA 与平面 ACF 所成角为 θ,则 sinθ= 即直线 EA 与平面 ACF 所成角的正弦值为 .



20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的焦距为 2

,且椭圆 C 过点 A(1,

) ,

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 O 是坐标原点,不经过原点的直线 l:y=kx+m 与椭圆交于两不同点 P(x1,y1) , 2 Q(x2,y2) ,且 y1y2=k x1x2,求直线 l 的斜率 k; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求△OPQ 面积的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆的焦距为 2 此能求出椭圆 C 的方程. (Ⅱ)由 ,得: (1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,由此利用根的判别式、 ,且椭圆 C 过点 A(1, ) ,列出方程求出 a,b,由

韦达定理,结合已知条件能求出直线 l 的斜率.

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(Ⅲ)把直线方程

与椭圆方程

联立,得:2x2+8mx+4m2﹣4=0,由此利

用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能求出△OPQ 面积的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C: =1(a>b>0)的焦距为 2 ,且椭圆 C 过点 A(1,

) ,

∴由题意得

,可设椭圆方程为 ,得 b2=1, . …





所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由

消去 y 得: (1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,

△=64k2m2﹣16(1+4k2) (m2﹣1)=16(4k2﹣m2+1)>0, ,





又∵

,∴

,∴



∵m≠0,∴

,解得 k=



∴直线 l 的斜率为 或﹣ .… (Ⅲ)由(Ⅱ)可知直线 l 的方程为 由对称性,不妨把直线方程 消去 y 得:2x2+8mx+4m2﹣4=0, △=64m2﹣4(4m2﹣4)>0, ∵P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,∴x1+x2=﹣4m, 设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 d= = , , 与椭圆方程 联立,



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. 当且仅当 m2=1 时,等号成立. ∴△OPQ 面积的最大值为 1. … 21.已知函数 f(x)=lnx+m(x﹣1)2, (m∈R) f x (Ⅰ)讨论函数 ( )极值点的个数; (Ⅱ)若对任意的 x∈[1,+∞) ,f(x)≥0 恒成立,求 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的导数,通过讨论 m 的范围,结合二次函数的性质判断函数 f(x) 的单调区间,从而判断其极值的个数; (Ⅱ)通过讨论 m 的范围,结合函数的单调性求出 m 的具体范围即可. 【解答】解: (I)由已知得函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , , 令 g(x)=2mx2﹣2mx+1, (x>0) , 当 m=0 时,g(x)=1,此时 f′(x)>0, 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点; 当 m>0 时,△=4m2﹣8m=4m(m﹣2) , ①当 0<m≤2 时,△≤0,g(x)≥0, 此时 f′(x)≥0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点; ②当 m>2 时,△>0, 令方程 2mx2﹣2mx+1=0 的两个实数根为 x1,x2(x1<x2) , 且 可得 , ,因此

当 x∈(0,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 所以函数 f(x)在(0,+∞)上有两个极值点, 当 m<0 时,△>0, x1+x2=1,x1?x2= <0,可得 x1<0,x2>1,

因此,当 x∈(0,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 所以函数 f(x)在(0,+∞)上有一个极值点. 综上所述,当 m<0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上有一个极值点; 当 0≤m≤2 时,函数 f(x)在(0,+∞)上无极值点; 当 m>2 时,函数 f(x)在(0,+∞)上有两个极值点.
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(Ⅱ)当 m≥0 时, 当 x≥1 时,lnx≥0,m(x﹣1)2≥0,即 f(x)≥0,符合题意; 当 m<0 时,由(I)知,x2>1,函数 f(x)在(1,x2)上单调递增,在(x2,+∞)上单 调递减; 令 h(x)=x﹣1﹣lnx,得 ,

所以函数 h(x)在[1,+∞)上单调递增,又 h(1)=0, 得 h(x)≥0,即 lnx≤x﹣1,所以 f(x)≤x﹣1+m(x﹣1)2, 当 时,x﹣1+m(x﹣1)2<0,即 f(x)<0,不符合题意;

综上所述,m 的取值范围为[0,+∞) . [选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,PA 为半径为 1 的⊙O 的切线,A 为切点,圆心 O 在割线 CD 上,割线 PD 与⊙O 相交于 C,AB⊥CD 于 E,PA= . (1)求证:AP?ED=PD?AE; (2)若 AP∥BD,求△ABD 的面积.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连接 AC,先证明 ,利用切割线定理得到 = .Rt△ACD 中,AB

⊥CD,由射影定理得 AE2=CE?ED,即可证明 AP?ED=PD?AE; (2)求出 AB,证明△ABD 是等边三角形,即可求△ABD 的面积. 【解答】证明: (1)连接 AC, ∵PA 为⊙O 的切线, ∴∠PAC=∠ADC, ∵CD 为⊙O 的直径,AB⊥CD, ∴∠BDC=∠ADC. ∵∠BDC=∠CAB, ∴∠PAC=∠CAB, ∴ ∴ = , ,

∵PA 为⊙O 的切线, ∴AP2=PC?PD, ∴ = .
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Rt△ACD 中,AB⊥CD,由射影定理得 AE2=CE?ED, ∴ ∴ = , ,

∴AP?ED=PD?AE; 解: (2)∵AP∥BD, ∴∠P=∠BDC. Rt△APE 中,∠PAC=∠CAB=∠P=30°, ∴AP= PC. ∵AP2=PC?PD, ∴AP2=PC(PC+2) , ∴PC=AC=1, ∴AE= ,AB=

∵∠ADB=60°, ∴△ABD 是等边三角形, ∴S△ABD= .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲 (α 为参数) , 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2 (sin2θ+4cos2θ)

线 C1 的参数方程为

=4. (1)求曲线 C1 与曲线 C2 的普通方程; (2)若 A 为曲线 C1 上任意一点,B 为曲线 C2 上任意一点,求|AB|的最小值. 【考点】参数方程化成普通方程. (α 为参数) ,利用 cos2α+sin2α=1 可得

【分析】 (1)曲线 C1 的参数方程为

普通方程.曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2(sin2θ+4cos2θ)=4,利用 y=ρsinθ,x=ρcosθ 即可化 为直角坐标方程.

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(2)设 B(cosβ,2sinβ) ,则|BC1|= 利用三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性即可得出.

=



【解答】解: (1)曲线 C1 的参数方程为

(α 为参数) ,

利用 cos2α+sin2α=1 可得:x2+(y﹣1)2= .圆心 C(0,1) . 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2(sin2θ+4cos2θ)=4, 可得直角标准方程:y2+4x2=4,即 (2)设 B(cosβ,2sinβ) , 则|BC1|= 号. ∴|AB|的最小值= ﹣ . = ≥ ,当 sin 时取等 +y2=4.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=2|x+a|﹣|x﹣1|(a>0) . (1)若函数 f(x)与 x 轴围成的三角形面积的最小值为 4,求实数 a 的取值范围; (2)对任意的 x∈R 都有 f(x)+2≥0,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)求出 f(x)分段函数的形式,求出 A,B,C 的坐标,从而表示出三角形的面 积,求出 a 的范围即可; (2)求出 f(x)的最小值,从而得到关于 a 的不等式,解出即可.

【解答】解: (1)f(x)=



如图示:

函数 f(x)与 x 轴围成的△ABC,求得:

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A(﹣2a﹣1,0) ,B( ∴S△ABC= [

,0) ,C(﹣a,﹣a﹣1) , = (a+1)2≥4(a>0) ,

解得:a≥ ﹣1; (2)由(1)得:f(x)min=f(﹣a)=﹣a﹣1, 对任意 x∈R,都有 f(x)+2≥0,即(﹣a﹣1)+2≥0, 解得:0<a≤1.

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2016 年 10 月 6 日

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