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三集合容斥原理的新题型和解题技巧


三集合容斥原理的新题型和解题技巧
纵观历年真题,我们可以发现,对于容斥原理类的题目,近年来在国家公务员行测中每年必考,已成为国 考题目中的“常青树”。随着考试难度的提升,两集合的容斥原理已慢慢淡出人们的视线,三集合容斥原理 类题目的发展却如日中天并且出题形式趋于稳定。 但 2010 和 2011 这两年的国考里又出现了一种新的三集 合题目,这种题目的难度在容斥问题里面算是比较大的,也是最新的一种题型,这里我们重点来探讨一番。 以 2010 年的题目为例我们具体说明一下。 (国家 2010 一类—74)某高校对一些学生进行问卷,在接收调查的学生中,准备参加注册会计师考试 的有 63 人,准备参加英语六级考试的有 89 人,准备参加计算机考试的有 47 人,三种考试都准备参加的 有 24 人,准备选择两种考试参加的有 46 人,不参加其中任何一种考试的有 15 人,问接受调查的学生共 有多少人?() A.120 B.144 C.177 D.192

按照我们之前的解题思路,这个题目明显可以确定为三集合容斥问题,先把三集合容斥原理的公式摆上:

根据题目所给的条件令注会为 A,

六级为 B,计算机为 C,设学生总数为 x,代入上面公式为:x-15= 63+89+47- A∩B - B∩C - C∩A+24,有的 考生认为 A∩B + B∩C+ C∩A 就是题目所给的参加两种考试的 46 人,这种想法是错误的,像这种情况下公 式不管用了,我们就画一下图来看看,如右图所 A∩B=a+24,B∩C=c+24,C∩A=b+24, A∩B + B∩C+ C∩A=a+b+c+72,这里 a+b+c 才是参加两种考试的人,也就是 46,代入公式得 x=120. 为什么很多考生在做这种题目的时候犯错误, 主要是因为没有清楚地认识到集合中重叠部分所代表的含义, 那么这里咱们再看另外一种思考方式,如下图所示。

图中三个圆圈代表三个集合 A、B、C,方框代表全集 P,Q 代表既不属于 A 集合也不属于 B 集合还不属于 C 集合的那部分集合,数字代表各个部分,这里我们将所有标着数字 1 的部分之和设为 X,可以看出来 X 代表三个集合中没有交集的部分之和,将所有标着数字 2 的部分之和设为 Y,可以看出来 Y 代表三个集合 中两两相交的部分之和,将标着数字 3 的部分设为 Z,可以看出来 Z 代表三个集合中三三相交的部分,由 图我们可以得出以下两个公式:

这里一定要明白第二个公式里乘以 1 乘以 2 乘以 3 代表的含义,X×1 代表的是 X 这部分覆盖了一层,Y×2 代表 Y 这部分覆盖了两层,同理 Z×3 代表 Z 这部分覆盖了三层。 同样是上面这道国考真题,根据上面公式我们可以得出:

解得 X=35,P=120. 同样一道题目两种解法都可以解决,但相比较而言,第一种方法更直观更容易理解,但第二种方法如果理 解透彻的话做起题来速度会非常快。但不管哪种方法都是建立在理解的基础上,相信这样就可以轻松解决 这种复杂的三集合容斥问题。这里祝愿大家公考顺利,顺利成“公”。


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