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【KS5U首发】河南省开封市2012届高三第一次模拟考试(数学理)word版


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高三数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)-(24)题为选考题, 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22) 24)题为选考题, 其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 注意事项:? 答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 1 ?答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。? 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号, 2 ?选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。? 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 3 ?请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。? 保持卷面清洁,不折叠,不破损。 4 ?保持卷面清洁,不折叠,不破损。? 做选考题时,考生按照题目要求作答, 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 5 ?做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式:? 样本数据 x1 , x2 ,… xn 的标准差 锥体体积公式

s=

1 [( x1 + x) 2 + ( x2 ? x) 2 + … + ( xn ? x) 2 ] n

1 V = Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V= Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积,体积公式

4 S = 4πR 2 V = πR 3 3
其中 R 为球的半径

第 Ⅰ 卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 选择题: 求的。 求的。 1.设全集 U={-2,-1,0,1,2,3},M={0,1,2},N={0,1,2,3},则( A.{0,1,2} 2. B.{-2,-1,3} C.{0,3} D.{3} ∩N=

i 是虚数单位,复数 z =
B.-1 C.1

2 + 3i = ? 3 + 2i

A.0 3.

D.-1

连续抛两枚骰子分别得到的点数是 a,b,则向量(a,b)与向量(1,-1)垂直的概率是

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A.

5 12

B.

1 6

C.

1 3

D.

1 2

4.

在等差数列{an}中,已知 a6=5,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S11= B.50 C.55 D.60
2 2 2

A.45 5.

在△ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c.若 b +c -a =

6 bc,则 cosA 的值为 5

A.-

4 5

B.

4 5

C.-

3 5

D.

3 5

6. 若 m、n 为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题是 ①若 m、n 都平行于平面α,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面α,则 m、n 一定是平行直线; ③已知α、β互相垂直,m、n 互相垂直,若 m⊥α,则 n⊥β; ④m、n 在平面α内的射影互相垂直,则 m、n 互相垂直.

π
7. 将函数 y=sinx 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原

10
来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是

π
A.y=sin(2x) B.y=sin(2x-

π
)

10
C.y=sin(

5
D.y=sin(

1 π x) 2 10

1 π x-[ ) 2 20

8.

如右框图,当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于

A.11 B.10 C.8 D.7 9. 对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的

A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示的 图形,则这个几何体的最小体积是 A.9 B.8 C.7 D.5

11. 由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形和面积为

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A.

32 9

B.2-ln3

C.4+ln3

D.4-ln3

12. 已知函数 f ( x) = ?

?2 x ? 1( x ≤ 0) ,把函数 g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排列成一 ? f ( x ? 1) + 1( x > 0)

个数列,则该数列的前 n 项的和 Sn,则 S10=
10 9

A.2 -1

B.2 -1

C.45

D.55

第Ⅱ卷?
本卷包括必考题和选考题两部分, 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 13) 21)题为必考题,每个试题考生都必须做答, (22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 22) 24)题为选考题,考试根据要求做答。 填空题: 小题, 二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

?y ≤ x ? 13. 已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ≥ ? x 表示的平面区域内,则 z=2x+y 的最大值为________. ?x ≤ 2 ?
2 2

则过点 M 的最长弦所在的直线方程是________. 14. 已知点 M (1, 是圆 C: +y -4x-2y=0 内一点, 0) x

x2 y2 15. 已知双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的渐近线到点 M(3,0)的距离为 2,则双曲线的离心率为 a b
________. 16. 已知点 G 是△ABC 的重心,若∠A=120°, AB · AC =-2,则| AG |的最小值是________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 设{an}是一个公差为 2 的等差数列,a1,a2,a4 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 18. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为蓌形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60°,E,F 分别是 BC,PC 的中点。 (Ⅰ)求证:AE⊥PD;

(Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为

6 ,求二面角 E-AF-C 的 4

余弦值. 19.(本小题满分 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现 分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,用茎 叶图表示这两组数据。

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(Ⅰ) 现要从中选派一人参加技能竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加 合适? (Ⅱ) 若将频率视为概率,对乙同学在今后的 3 次数学竞赛成绩进行预测,记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望 E ξ 。 20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 C:

1 x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆点,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 2 a b 2

x-y+ 6 =0 相切。 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连续 PB 交随圆 C 于另一点 E, 证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 h(x)=ln(ax+b)在点 M(1,h(1))处的切线方程为 x-2y+ln4-1=0. (Ⅰ)求 a、b 的值. (Ⅱ)若 f(x)=[h(x)]? 2-[SX(]x ? 2[]1+x[SX)],求函数 f(x)的单调区间. 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 、 23 、 24 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙ O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D,E,DE 与 AC 相交 于点 P. (Ⅰ)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2

在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C1:x +y =1,以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极点,x 轴的正 半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l:ρ(2cosθ-sinθ)=6. (Ⅰ)将曲线 C1 上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2,试写出直 线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程. (Ⅱ)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-a|. (Ⅰ)若不等式 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥5},求实数 a 的值; (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,若 f(x)+f(x+4)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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高三数学试题(文科)参考答案
一、选择题? 1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B 9.A 10.B 11.D 12.C

二、填空题?

13.6 14.

2 x2 y2 ? = 1 15.84 16. 5 4 3

三、解答题 〓17.[ZK(]解: (Ⅰ)由 S ?? n+1 ?=2S ? n+1 整理得 S ?? n+1 ?+1=2(S ? n+1) , ∴数列{S ? n+1}是以 S ? 1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列,……2 分 ∴S ? n+1=2·2 ?? n-1 ?,∴S ? n=2 ? n-1,……4 分 ∴a ? n=S ? n-S ?? n-1 ?=2 ?? n-1 ?(n≥2) ∵当 n=1 时,a ? 1=1 满足 a ? n=2 ?? n-1 ?,∴a ? n=2 ?? n-1 ?……6 分 (Ⅱ)T ? n=1·2 ? 0+2·2 ? 1+…+n·2 ?? n-1 ?…(1)…10 分 2T ? n=1·2 ? 1+2·2 ? 2+…+(n-1) ?? n-1 ?+n·2 ? n…(2) ·2 (1)-(2)得 T ? n=(n-1)2 ? n+1……12 分[ZK)] 18.(Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC.又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ?平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ?平面 PAD,AD ?平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ?平面 PAD.所以 AE⊥PD.……6 分 〖TP 高三数学理 5.tif;%70%70;Z1,Y〗 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立

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如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,设 AB=2,AP=a,则 A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C( 3 ,1,0) , ,F( D(0,2,0) ,P(0,0,a) ,E( 3 ,0,0)

3 1 a ,, ) ,……7 分 2 2 2

所以? PB =( 3 ,-1,-a) ,且? AE =( 3 ,0,0)为平面 PAD 的法向量,设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为θ, 由 sinθ=|cos<? PB ,? AE >|=

| PB ? AE | | PB | ? | AE |
=

3 4+a
=
2

3

6 ……8 分 4

解得 a=2 所以? AE =( 3 ,0,0) ,? AF =(

3 1 , ,1) 2 2

? 3 x1 = 0, ?m ? AE = 0 ? ? ,因此 ? 3 取 设平面 AEF 的一法向量为[WTHX]m[WTBX]=(x1,y1,z1),则 ? 1 ?m ? AF = 0 x1 + y1 + Z1 = 0 ? ? 2 ? 2
z1=-1,则 m=(0,2,-1),……10 分 因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 AFC,故 BD 为平面 AFC , 的一法向量.又 BD =(- 3 ,3,0) 所以 cos<m, BD >=

m ? BD
| m | ?BD

=

2×3 15 = . 5 5 × 12 15 .……12 分[ZK)] 5

因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

19. 解: (Ⅰ)派 B 参加比较合适.理由如下:

X 甲 =[SX(]1[]8[SX)](70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85, X 乙 =[SX(]1[]8[SX)](70×1+80×4+90×3+5+3+5+3+5)=85,…2 分
2 2 2 2 2 2 2

S 甲=[SX(]1[]8[SX)][ (78-85) +(79-85) +(80-85) +(83-85) +(85-85) +(90-85) +(92-85)
2 2

+(95-85) ]=35.5
2 2 2 2 2 2 2

S 乙=[SX(]1[]8[SX)][ (75-85) +(80-85) +(80-85) +(83-85) +(85-85) +(90-85) +(92-85)
2 2

+(95-85) ]=41……4 分 ∵ X 甲 = X 乙 ,S 甲>S 乙,∴乙的成绩较稳定,派乙参加比较合适. ……6 分
2 2

(Ⅱ)记“乙同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A,则 P(A)= 值为 0,1,2,3,且 ξ -B(3, 所以变量 ξ 的分布列为

6 3 = .随机变量 ξ 的可能取 8 4

3 3 K 1 3-K K ),∴P( ξ =K)=C 3( ) ( ) ,k=0,1,2,3. 4 4 4

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ξ
P

0

1

2

3

……10 分

1 64

9 64

27 64

27 64

E ξ =0× 20.

1 9 27 27 9 3 9 +1× +2× +3× = 或 E ξ =np=3× = ……………12 分 64 64 64 64 4 4 4

20.解: (Ⅰ)由题意知 e=

c 1 c2 a 2 - b2 1 2 2 3 2 = ,所以 e = 2 = = .即 a = b . 2 a 2 a c 4 4

又因为 b=

6 x2 y2 2 2 = 3 ,所以 a =4,b =3.故椭圆的方程为 =1.…4 分 + 4 3 1+1

(Ⅱ)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y=k(x-4).

? y = k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 ,得(4k +3)x -32k x+64k -12=0. ①…6 分 =1 ? + 3 ?4

y2 + y 1
设点 B(x1,y1),E(x2,y2),则 A(x ? 1,-y ? 1).直线 AE 的方程为 y-y2=

x2 ? x1

(x-x2).令 y=0,得

x=x ? 2-

y2 ( x2 ? x1 ) .将 y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入, y2 + y1 2 x1 x 2 ? 4( x1 + x2 ) x1 + x2 ? 8
. ②…8 分

整理,得 x=

由①得 x1+x2=

32k 2 64k 2 ? 12 ,x1x2= …10 分 4k 2 + 3 4k 2 + 3 a b + ax

代入②整理,得 x=1.

所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0).……12 分[ZK)] 21. 解:(Ⅰ)h′(x)= ∵k=

1 a 1 ,∴ = 2 b+a 2

又∵h(1)=ln2 即 ln(a+b)=ln2,解得 a=1,b=1.……4 分 (Ⅱ)函数 f(x)的定义域是(-1,+∞),

f′(x)=

2 ln(1 + x) x 2 + 2 x 2(1 + x) ln(1 + x) ? x 2 ? 2 x . ? = 1+ x (1 + x) 2 (1 + x) 2
2

设 g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x -2x,则 g′(x)=2ln(1+x)-2x. 令φ(x)=2ln(1+x)-2x,则φ′(x)=[SX(]2[]1+x[SX)]-2=[SX(]-2x[]1+x[SX)]. 当-1<x<0 时,φ′(x)>0,φ(x)在(-1,0)上为增函数, 当 x>0 时,φ′(x)<0,φ(x)在(0,+∞]上为减函数.
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所以φ(x)在 x=0 处取得极大值,而φ(0)=0,所以 g′(x)<0(x≠0) , 函数 g(x)在(-1,+∞)上为减函数. 于是当-1<x<0 时,g(x)>g(0)=0,当 x>0 时,g(x)<g(0)=0. 所以,当-1<x<0 时,f′(x)>0,f(x)在(-1,0)上为增函数. 当 x>0 时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上为减函数. 故函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0) ,单调递减区间为(0,+∞).……12 分 22. 解: (Ⅰ)连接 AB,∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D. 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.……5 分 (Ⅱ)设 BP=x,PE=y,∴PA=6,PC=2,∴xy=12.…① ∵AD∥EC,∴

DP AP 9+ x 6 = ? = ,…② PE PC y 2

由①②可得, ?

? x = 3 ? x = ?12 或? (舍去) ,∴9+x+y=16. ? y = 4 ? y = ?1

∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD ? 2=DB·DE=9×16,∴AD=12.……10 分 23. 解: (Ⅰ)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0.

( ∵C2:(

? x = 3 cos θ x y (θ为参数)……5 分 ) + ( ) 2 =1 ∴C2:的参数方程为: ? 2 2 3 y = 2 sin θ ?

(Ⅱ)设 P( 3 cosθ,2sinθ) ,则点 P 到 l 的距离为:

d=

| 2 3cosθ ? 2 sin θ ? 6 | | 4 sin(60° ? θ ) ? 6 | , = 5 5
3 |4+6| ,1)时,此时 dwax=[ =2 5 ……10 分 2 5

∴当 sin(60°-θ)=-1 即点 P(-

24. 法一、 (Ⅰ)由 f(x)≥3 得|x-a|≥3,解得 x≤a-3 或 x≥a+3. 又已知不等式 f(x)≥3 的解集为{x|x≤-1 或 x≥5},所以 ?

? a ? 3 = ?1 ,解得 a=2.……5 分 ?a + 3 = 5

(Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x-2|,设 g(x)=f(x)+f(x+4), 于是 g(x)=|x-2|+|x+2|=[JB({]-2x,x<-24,-2≤x≤22x,x>2[JB)] 所以当 x<-2 时,g(x)>4; 当-2≤x≤2 时,g(x)=4;当 x>2 时,g(x)>4。 综上可得,g(x)的最小值为 4. 从而若 f(x)+f(x+4)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(-∞,4] .……10 分 法二: (Ⅰ)同法一. (Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x-2|.设 g(x)=f(x)+f(x+4).

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由|x-2|+|x+2|≥|(x-2)-(x+2)|=4(当且仅当-2≤x≤2 时等号成立) ,得 g(x)的最小值为 4.从 而,若 f(x)+f(x+4)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立.则 m 的取值范围为(-∞,4]? ?

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