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数学基础模块(下册)第九章 立体几何

【课题】9.1 平面的基本性质
【教学目标】 知识目标: (1)了解平面的概念、平面的基本性质; (2)掌握平面的表示法与画法. 能力目标: 培养学生的空间想象能力和数学思维能力.
【教学重点】 平面的表示法与画法.
【教学难点】 对平面的概念及平面的基本性质的理解.
【教学设计】 教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等,引入平面的概念,并介绍了平
面的表示法与画法.注意,平面是原始概念,原始概念是不能定义的,教材是用“光滑并 且可以无限延展的图形”来描述平面.在教学中要着重指出,平面在空间是可以无限延展 的.
在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出: (1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面,需要时可以把它延展出去; (2) 有时根据需要也可用其他平面图形,如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面, 故加上“通常”两字; (3) 画表示水平平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成 45 °,横边画成邻边的 2 倍.但在实际画图时,也不一定非按上述规定画不可;在画直立的平面时,要使平行四边 形的一组对边画成铅垂线;在画其他位置的平面时,只要画成平行四边形就可以了; (4) 画两个相交平面,一定要画出交线; (5) 当用字母表示平面时,通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内,并 且不被其他平面遮住的地方; (6) 在立体几何中,被遮住部分的线段要画成虚线或不画. “确定一个平面”包含两层意思,一是存在性,即“存在一个平面”;二是唯一性,即 “只存在一个平面”.故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.

【教学备品】 教学课件.
【课时安排】 2 课时.(90 分钟)
【教学过程】 教学 过程
*揭示课题
9.1 平面的基本性质

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

介绍 了解

0

*创设情境 兴趣导入

观察平静的湖面(图 9?1 (1))、窗户的玻璃面(图 9?1 (2))、

黑板面、课桌面、墙面等,发现它们都有一个共同的特征:平

坦、光滑,给我们以平面的形象,但是它们都是有限的.

质疑 思考

启发 学生 思考

(1)

(2)

引导

图9?1

分析

8

*动脑思考 探索新知

【新知识】

平面的概念就是从这些场景中抽象出来的.数学中的平面

是指光滑并且可以无限延展的图形.

讲解

平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等, 说明

思考

都是平面的一部分.

我们知道,直线是可以无限延伸的,通常画出直线的一部

分来表示直线.同样,我们也可以画出平面的一部分来表示平

面. 通常用平行四边形表示平面,并用小写的希腊字母

引领 分析

理解

带领 学生

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

?、?、?、 来表示不同的平面.如图9?2,记作平面?、平面 ?.

分析

也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对顶点的字

母来命名,如图9?2(1)中的平面? 也可以记作平面ABCD,

平面AC或平面BD.

【说明】

根据具体情况,有时也用其他的平面图形表示平面,如圆、

三角形等.

仔细

当平面水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成 45°, 分析

横边画成邻边的 2 倍长(如图 9?2(1)).当平面正对我们竖直 关键

放置的时候,通常把平面画成矩形(如图 9?2(2)).

语句

记忆

D

C

? A

B

?

20

(1)

图 9?2

(2)

*巩固知识 典型例题

例 1 表示出正方体 ABCD ? A1B1C1D1 (如图 9?3)的 6 个

面1.

【说明】 说明
如 图 9?3 所 示 的 正 方 体 一 般 写 作 正 方 体 强调 ABCD ? A1B1C1D1 ,也可以简记作正方体 A1C .
引领

观察 思考

通过 例题 进一 步领 会

讲解 主动

教学 过程
图 9?3

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间 说明 求解

解 这 6 个面可以分别表示为:平面 AC 、平面 A1C1 、平

面 AB1 、平面 BC1 、平面 CD1 、平面 DA1 .

【试一试】

请换一种方法表示这 6 个面. 27

*运用知识 强化练习 1.举出生活中平面的实例. 2.画出一个平面,写出字母并表述出来.

提问 指导

思考 口答

领会 知识
32

*创设情境 兴趣导入

【实验】

质疑

把一根铅笔平放在桌面上,发现铅笔的一边就紧贴在桌面

上.也就是铅笔紧贴桌面的一边上的所有的点都在桌面上(如

图 9?4).
铅 笔

B A

引导 分析
桌 子

思考

启发 学生 思考

37

图 9?4 *动脑思考 探索新知 【新知识】

直线与平面都可以看做点的集合.点 A、B 在直线 l 上, 讲解 记作 A?l、B?l;点 A、B 在平面 α 内,记作 A??、B??.(如 说明

思考

图 9?5)

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

由上述实验和大量类似的事实中,归纳出平面的性质 1:
如果直线 l 上的两个点都在平面 α 内,那么直线 l 上的所有点 都在平面 α 内.
此时称直线 l 在平面 α 内或平面 α 经过直线 l.记作 l ?? . 引领 画直线 l 在平面 α 内的图形表示时,要将直线画在平行四 分析

理解

带领 学生 分析

边形的内部(如图 9?5).

图 9?5

42

*创设情境 兴趣导入

【观察】

质疑

观察教室里墙角上的一个点,它是相邻两个墙面的公共

思考

带领 学生 分析

点,可以发现,除这个点外两个墙面还有其他的公共点,并且

45 这些公共点的集合就是这两个墙面的交线.

*动脑思考 探索新知

【新知识】

由上述观察和大量类似的事实中,归纳出平面的性质 2:

如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,并且

所有公共点的集合是过这个点的一条直线(如图 9?6). 讲解
此时称这两个平面相交,并把所有公共点组成的直线 l 叫
说明 做两个平面的交线.平面? 与平面 ? 相交,交线为 l ,记作 ? ? ?l.

【说明】

本章中的两个平面是指不重合的两个平面,两条直线是指 不重合的两条直线.

引领 分析

思考 理解

带领 学生 分析

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

图9?6 图9?7

仔细 分析 讲解 关键 词语

记忆

引导 式启 发学 生得 出结 果

画两个平面相交的图形时,一定要画出它们的交线.图形

中被遮住部分的线段,要画成虚线(如图 9?7(1)),或者不画

(如图 9?7(2)).

55

【试一试】

请画出两个相交的平面,并标注字母.

*创设情境 兴趣导入

【实验】

质疑

在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉,是否能将一块硬

思考

带领 学生 分析

纸板架起?如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉,那么结果会

60 怎样?

*动脑思考 探索新知

【新知识】

由上述实验和大量类似的事实中,归纳出平面的性质 3:

不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面(如图 9?8). 讲解

【说明】

说明

“确定一个平面”指的是“存在着一个平面,并且只存在

思考

教学 过程 着一个平面”.

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

带领 学生 分析

图 9?8

引领

利用三角架可以将照相机放稳(图 9?9),就是性质 3 的应用. 分析

理解

图 9?9 根据上述性质,可以得出下面的三个结论.

仔细 分析 讲解 关键 词语

记忆

1.直线与这条直线外的一点可以确定一个平面(如图 9?10

(1)).

2.两条相交直线可以确定一个平面(如图 9?10(2)).

3.两条平行直线可以确定一个平面(如图 9?10(3)).

A
?
(1)
l1
?
(3)

? (2l)2 l2
l

引领 分析

理解

引导 式启 发学 生得 出结 果

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

【试一试】

请用平面的性质说明这三个结论.

工人常用两根平行的木条来固定一排物品(如图9?11

(1));营业员用彩带交叉捆扎礼品盒(如图9?11(2)),

都是上述结论的应用. (1)

(2)

仔细 分析 讲解 关键 词语

记忆

图9?11

【想一想】 70
如何用两根细绳来检查一把椅子的 4 条腿的下端是否在同

一个平面内? *巩固知识 典型例题

例2 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1(如图9?12)中,画出由

A 、 C 、 D1 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线. 分析 画两个相交平面的交线,关键是找出这两个平面的

说明 强调

两个公共点.

解 点 A 、D1 为平面 ? 与平面 ADD1A1的公共点,点 A 、C

观察

通过 例题 进一 步领 会

为平面 ? 与平面 ABCD 的公共点,点 C 、 D1 为平面 ? 与平面 CC1D1D 的公共点,分别将这三个点两两连接,得到直线

思考 引领

AD1、AC、CD1 就是为由 A、C、D1 三点所确定的平面γ与长方 体的表面的交线(如图9?12(2)).

讲解 说明

主动 求解

注意

教学 过程
图 9?12

教师 学生 教学 时

行为 行为 意图 间

观察

?

学生

是否

理解

知识



【想一想】

为什么这三条连线都画成虚线?

*运用知识 强化练习

1.“平面? 与平面 ? 只有一个公共点”的说法正确吗?

提问

2.梯形是平面图形吗?为什么?

巡视 指导

3.已知A、B、C是直线l上的三个点,D不是直线l上的点.判

思考
思考 求解

断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题:
平面的基本性质?

质疑

结论:

性质 1:如果直线 l 上的两个点都在平面 α 内,那么直线

回答

l 上的所有点都在平面 α 内. 性质 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他
公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线.

归纳 强调

78
了解 学生 知识 掌握
83 情况
及时 了解 学生 知识 掌握 情况

性质 3:不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面.

86

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

引导 回忆

*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 提问

你的学习效果如何? 画出两个相交平面.

巡视 指导

反思
动手 求解

检验 学生 学习 效果

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材

说明

(2)书面作业:教材习题 9.1 A 组(必做);9.1 B 组(选

做)

记录

89
分层 次要 求

(3)实践调查:寻找生活中的实例,用平面的性质解释

90

【教师教学后记】

项目

反思点

学生是否真正理解有关知识;

学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题;

在知识、技能的掌握上存在哪些问题;

学生是否参与有关活动;

学生的情感态度

在数学活动中,是否认真、积极、自信;

遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服;

学生是否积极思考;

学生思维情况

思维是否有条理、灵活; 是否能提出新的想法;

是否自觉地进行反思;

学生是否善于与人合作;

学生合作交流的情况

在交流中,是否积极表达;

是否善于倾听别人的意见;

学生是否愿意开展实践;

学生实践的情况

能否根据问题合理地进行实践; 在实践中能否积极思考;

能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
【教学目标】 知识目标: (1)了解两条直线的位置关系; (2)掌握异面直线的概念与画法,直线与直线平行的判定与性质;直线与平面的位置
关系,直线与平面平行的判定与性质;平面与平面的位置关系,平面与平面平行的判定与性 质.
能力目标:
培养学生的空间想象能力和数学思维能力. 【教学重点】
直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质. 【教学难点】
异面直线的想象与理解. 【教学设计】
本节结合正方体模型,通过观察实验,发现两条直线的位置关系除了相交与平行外, 在空间还有既不相交也不平行,不同在任何一个平面内的位置关系.由此引出了异面直线 的概念.通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力,逐步建立空间的立体观念.
空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 的开始,又是学习后两种位置关系的基础.因此,要让学生树立考虑问题要着眼于空间, 克服只在一个平面内考虑问题的习惯.
通过观察教室里面墙与墙的交线,引出平行直线的性质,在此基础上,提出问题“空 间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角的度数存在着什么关系?请通过演 示进行说明.”这样安排知识的顺序,有利于学生理解和掌握所学知识.
要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内的所有的直线”, 教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识.
平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的. 【教学备品】
教学课件. 【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

*揭示课题

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定 介绍 了解

0

与性质

*创设情境 兴趣导入

观察图 9?13 所示的正方体,可以发现:棱 A1B1 与 AD 所

在的直线,既不相交又不平行,它们不同在任何一个平面内. 质疑 思考

启发 学生 思考

图 9?13

引导

观察教室中的物体,你能否抽象出这种位置关系的两条直 分析

线?

2

*动脑思考 探索新知

在同一个平面内的直线,叫做共面直线,平行或相交的两条直

线都是共面直线.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面

直线.图 9-13 所示的正方体中,直线 A1B1 与直线 AD 就是两

条异面直线.

这样,空间两条直线就有三种位置关系:平行、相交、异 讲解

面.

说明

思考

将两支铅笔平放到桌面上(如图 9?14),抬起一支铅笔的一

端(如 D 端),发现此时两支铅笔所在的直线异面.

两支



铅笔

A

B



C

D

带领

图 9 ?14(请画出实物图)

引领 分析

理解

学生 分析

受实验的启发,我们可以利用平面做衬托,画出表示两条

异面直线的图形(如图 9 ?15).

(1)

(2)

图 9?15

仔细 记忆
分析 5
关键
语句

利用铅笔和书本,演示图 9?15(2)的异面直线位置关系.

*创设情境 兴趣导入

我们知道,平面内平行于同一条直线的两条直线一定平

行.那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行

呢?

质疑

观察教室内相邻两面墙的交线(如图 9?16).发现:AA1 ∥ BB1 , CC1 ∥ BB1 ,并且有 AA1 ∥ CC1 .

思考

启发 学生 思考

引导 分析

7 图 9?16

*动脑思考 探索新知

由上述观察及大量类似的事实中,归纳出平行线的性质: 讲解

平行于同一条直线的两条直线平行.

说明

我们经常利用这个性质来判断两条直线平行.

【想一想】

引领

空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 分析

思考 理解

带领 学生 分析

的度数存在着什么关系?请通过演示进行说明. *创设情境 兴趣导入
将平面 ? 内的四边形 ABCD 的两条边 AD 与 DC,沿 着对角线 AC 向上折起,将点 D 折 叠 到 D1 的 位 置 ( 如 图
9?17).此时 A、B、C、 D1 四个点不在同一个平面内.

10

质疑

思考

带领 学生 分析

图 9?17

引领
分析 13

*动脑思考 探索新知

这时的四边形 AB C D1 叫做空间四边形.

带领

【想一想】

讲解 理解 学生

说明 折叠过程中,哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化?

分析 15

*巩固知识 典型例题

例 1 已知空间四边形 ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为 AB 、BC 、CD 、DA 的中点(如图 9?18).判断四边形 EFGH 是否为平行四边形?

说明 强调

解 联结 BD .因为 E 、 H 分别为 AB 、 DA 的中点,所

以 EH 为 ?ABD 的中位线.于是 EH // BD 且 EH ? 1 BD . 2
同理可得 FG// BD 且 FG ? 1 BD . 2
因此 EH // FG 且 EH ? FG .
故四边形 EFGH 是平行四边形.

引领

图 9?18

讲解 说明

观察
思考 主动 求解

通过 例题 进一 步领 会
20

*运用知识 强化练习 1.结合教室及室内的物品,举出空间两条直线平行的例

及时

子. 2.把一张矩形的纸对折两次,然后打开(如第 2 题图),
说明为什么这些折痕是互相平行的?

提问 巡视 指导

思考 解答

了解 学生 知识 掌握 情况

22

*创设情境 兴趣导入 将铅笔放在桌面上,此时铅笔与桌面有无数多个公共点; 质疑

思考

引导 学生

抬起铅笔的一端,此时铅笔与桌面只有 1 个公共点;把铅笔放

分析

到文具盒(文具盒在桌面上)上面,铅笔与桌面就没有公共点了.

25

*动脑思考 探索新知

在 9.1 中,我们曾经介绍,直线 l 与平面? 有无穷多个公

共点时,直线 l 在平面? 内,其图形如图 9?19(1)所示. 如果一条直线与一个平面只有一个公共点,那么就称这条 讲解
直线与这个平面相交, 画直线与平面相交的图形时,要把直 说明
线延伸到平行四边形外(如图 9?19(2)).

思考

如果一条直线与一个平面没有公共点,那么就称这条直线
与这个平面平行. 直线 l 与平面? 平行,记作 l ∥? .画直线与
平面平行的图形时,要把直线画在平行四边形外,并与平行四

带领 学生 分析

边形的一边平行(如图 9?19(3)).

l
?
(1)

l ?
(2)

引领 分析

理解

引导 式启 发学

仔细

生得

l

分析

出结

?

讲解 记忆 果

(3)

关键 30

词语

这样,直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直

线与平面相交、直线与平面平行.直线与平面相交及直线与平

面平行统称为直线在平面外.

*创设情境 兴趣导入

在桌面上放一张白纸,在白纸上画出两条平行直线,沿着

其中的一条直线将纸折起(如图 9?20).观察发现:在折起的

各个位置上,另一条直线始终与桌面保持平行.

质疑

思考

引导 学生 分析

图 9?20

32

*动脑思考 探索新知

从大量实验中归纳出判定直线与平面平行的方法:

带领 讲解 理解 学生

如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这 说明 记忆 分析 35

条直线与这个平面平行.

*巩固知识 典型例题

例2 如图9?21,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,直线 DD1 2平

行于平面 BCC1B1吗?为什么?

图9?21

说明 强调

观察

通过

2为了叙述简便起见,将线段 DD1 所在的直线,直接写作直线 DD1 ,本章教材中都采用这种表述方法.

解 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,因为四边形 DCC1D1边 引领 是长方形,所以DD1∥CC1,又因为CC1在平面BCC1B1内,DD1 在平面BCC1B1外,因此直线 DD1 平行于平面 BCC1B1 .
讲解 说明

思考
主动 求解

例题 进一 步领 会
40
识 点

*创设情境 兴趣导入

将铅笔放到与桌面平行的位置上, 用矩形硬纸片的面紧

贴铅笔,矩形硬纸片的一边紧贴桌面(如图 9?22),观察铅笔 质疑 及硬纸片与桌面的交线,发现它们是平行的.
引导 分析

思考

启发 学生 思考

铅笔 42

图 9?22(请画出实物图)

*动脑思考 探索新知

从大量的实验与观察中,归纳出直线与平面平行的性质:

如果一条直线与一个平面平行,并且经过这条直线的一个平

面和这个平面相交,那么这条直线与交线平行. 如图 9?23 所示,设直线 l 为平面? 与平面 ? 的交线,直线
m 在平面 ? 内且 m ∥? ,则 m ∥ l .

讲解 说明

思考

带领

学生

图 9-23

分析

引领 理解

分析

45

*巩固知识 典型例题

例 3 在如图 9?24 所示的一块木料中,已知 BC ∥平面 A1B1C1D1 ,BC ∥ B1C1 ,要经过平面 A1C1 内的一点 P 与棱 BC 将

说明 强调

木料锯开,应当怎样画线?

分析 设点P和棱BC确定的平面? ,则EF是? 与平面

A1B1C1D1 的交线,由于BC∥平面

引领

A1B1C1D1 ,故EF∥BC,

B1C1 ∥ BC .所以 EF ∥ B1C1 . 解 画线的方法是:在平面
A1B1C1D1 内,过点P作直线 B1C1 的

图 9?24

讲解 说明

观察
思考 主动 求解

通过 例题 进一 步领 会
48

平行线EF,分别交直线 A1B1 及直线 D1C1 与点E、F,连接EB和

FC.

*运用知识 强化练习

及时

1.试举出一个直线和平面平行的例子. 2.请在黑板上画一条直线与地面平行,并说出所画的直 线与地面平行的理由. 3.如果一条直线平行于一个平面,那么这条直线是不是

提问 巡视 指导

思考 求解

了解 学生 知识 掌握 得情

和这个平面内所有的直线都平行? 4.说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由.



50

*创设情境 兴趣导入

引导

教室中的墙壁与地面相交于一条直线,而天花板与地面,

学生

没有公共点.

质疑 思考 分析 52

*动脑思考 探索新知 如果两个平面没有公共点,那么称这两个平面互相平

行.平面? 与平面 ? 平行,记做? ∥ ? .画两个互相平行平面 讲解
说明 的图形时,要使两个平行四边形的对应边分别平行(如图 9?25).

思考

带领 学生 分析

?
?
图 9?25

引领 理解

分析

55

这样,空间两个平面就有两种位置关系:平行与相交.

*创设情境 兴趣导入

进行乒乓球或台球比赛时,必需要保证台面与地面平

行.技术人员利用水准器来进行检测.水准器内的玻璃管装有

水,管内的水柱相当于一条直线,水准器内的水泡在中央,表

示水准器所在的直线与地平面平行.把水准器在平板上交叉放 置两次(如图 9?26),如果两次检测,水准器内的水泡都在中 质疑 央,就表示台面与地面平行,可以进行比赛,否则就需要进行 调整.

思考

引导 学生 分析

图 9?26

57

*动脑思考 探索新知

实例中,技术人员使用的方法就是我们常用的判定平面与

平面平行的方法:如果一个平面内的两条相交直线都与另一个 讲解

平面平行,那么这两个平面平行.

说明

【想一想】

思考

带领 学生 分析

如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面内的一条

理解

60

直线 , 那么这两个平面是否一定平行

*巩固知识 典型例题

例 4 设平面? 内的两条相交直线 m,n 分别平行于另一
说明

个平面 ? 内的两条直线 k,l(如图 ?

Am n

强调

9?27),试判断平面? ,? 是否平行?

k

?
解 因为 m 在 ? 外、l 在 ? 内,且

l

引领

图 9?27

m∥l,所以

直线 m∥平面 ? .

讲解

说明 同理可得 直线 n∥平面 ? .

观察
思考
主动 求解

通过 例题 进一 步领 会
65

由于 m、n 是平面? 内两条相交直线,故可以判断? ∥ ? .

*创设情境 兴趣导入

质疑

将一本书放在与桌面平行的位置,用作业本靠紧书一边,

绕着这条边移动作业本,观察作业本和书的交线与作业本和桌

面的交线之间的关系(如图 9?28).

放到不同 位置的本

思考

引导 学生 分析

70 书
桌子
图 9?28(请画出实物图)

*动脑思考 探索新知 由大量的观察和实验得到
两个平面平行的性质:如果一个 平面与两个平行平面相交,那么

讲解 思考 说明

它们的交线平行.

如 图 9?29 所 示 , 如 果 ? ∥ ? ,平面 ? 与? 、? 都相交, 交线分别为 m、n,那么 m∥n.

图 9?29

带领

学生

引领

分析

分析 理解

75

*运用知识 强化练习 1.画出下列各图形:

(1)两个水平放置的互相平行的平面.

(2)两个竖直放置的互相平行的平面.
(3)与两个平行的平面相交的平面. 提问
2.如图所示,? // ? ,M 在? 与 ? 同侧,过 M 作直线 a 与 巡视 b ,a 分别与? 、? 相交于 A 、B ,b 分别与、? 相交于 C 、D . 指导
⑴ 判断直线 AC 与直线 BD 是否平行;
⑵ 如果 MA ? 4 cm, AB ? 5 cm, MC ? 3 cm,求 MD 的
长.

思考 求解

及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况

M

?A

C

D
?B

a

b

第 2 题图

*理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题:

异面直线的定义?

结论:

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

80

质疑 回答
归纳 强调

及时 了解 学生 知识 掌握 情况 83

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

引导

*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 提问

你的学习效果如何? 设空间中四条直线 a、b、c、d,满足 a//b, b//c, c//d,
试判断 a 与 d 的关系.

巡视 指导

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材

说明

(2)书面作业:教材习题 9.2 A 组(必做);9.2 B 组(选

做)

(3)实践调查:寻找生活中的线线、线面、面面平行的实



回忆
反思 动手 求解
记录

85
检验 学生 学习 效果
87
分层 次要 求
90

【教师教学后记】

项目

反思点

学生是否真正理解有关知识;

学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题;

在知识、技能的掌握上存在哪些问题;

学生是否参与有关活动;

学生的情感态度

在数学活动中,是否认真、积极、自信;

遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服;

学生是否积极思考;

学生思维情况

思维是否有条理、灵活; 是否能提出新的想法;

是否自觉地进行反思;

学生是否善于与人合作;

学生合作交流的情况

在交流中,是否积极表达;

是否善于倾听别人的意见;

学生实践的情况

学生是否愿意开展实践;

能否根据问题合理地进行实践; 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
【教学目标】 知识目标: (1)了解两条异面直线所成的角的概念; (2)理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念,二面角及其平面角的概念. 能力目标: 培养学生的空间想象能力和数学思维能力.
【教学重点】 异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角
及其平面角的概念. 【教学难点】
两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定. 【教学设计】
两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系,它是本节教学的难 点.学生一般会有疑问:异面直线不相交怎么能成角?教学时要讲清概念.
例 1 是求异面直线所成的角的巩固性题目,一般来说,这类题目要先画出两条异面直 线所成的角,然后再求解.
斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一,是理解直线与平面所成的角的基础.要 讲清这一概念,可采取“一边演示,一边讲解,一边画图”的方法,结合图形讲清斜线、 斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影.要讲清斜 线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别.
两个平面相交时,它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定.教材从观察建筑房 屋、修筑河堤两个实例,结合实验引入二面角的概念,二面角的概念可以与平面几何中的 角的概念对比进行讲解.
二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关,而与平面角的顶点在棱 上的位置无关.因此二面角的大小可以用它的平面角来度量.规定二面角的范围为

[ 0 , 180 ] .
【教学备品】 教学课件.
【课时安排】 2 课时.(90 分钟)
【教学过程】 教学 过程
*揭示课题
9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 *创设情境 兴趣导入

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

介绍 了解

0

在图 9?30 所示的长方体中,直线 BC1 和直线 AD 是异面直

线,度量 ?CBC1 和 ?DAD1 ,发现它们是相等的. 质疑
如果在直线 AB 上任选一点 P,过点 P 分别作与直线 BC1 和
直线 AD 平行的直线,那么它们所成的角是否与 ?CBC1 相等?

思考

启发 学生 思考

图 9?30

引导 分析

5

*动脑思考 探索新知

我们知道,两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的

最小的正角.

经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线,这 讲解

两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.

说明

思考

如图 9?31(1)所示, m? ∥ m 、 n? ∥ n ,则 m? 与 n? 的夹

角? 就是异面直线 m 与 n 所成的角.为了简便,经常取一条直

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

线与过另一条直线的平面的交点作为点 O (如图 9?31(2))

n

n?

引领

理解

带领

?

m?

m

o

分析

学生 分析

(1) n

o m
m?

*巩固知识 典型例题

图 9-31(2)

仔细 记忆

分析

关键

语句

12

例 1 如图 9?32 所示的长方体中,?BAB 1? 30? ,求下列 异面直线所成的角的度数:

(1) AB1 与 DC ;

(2) AB1 与 CC1 .

解 (1)因为 DC ∥ AB ,所以 ?BAB1 为异面直线 AB1 与

DC 所成的角.即所求角为 30? .

说明 强调

(2)因为 CC1 ∥ BB1 ,所以 ?AB1B 为异面直线 AB1 与 CC1

所成的角. 在直角△ ABB1 中 ?ABB 1? 90? , ?BAB 1? 30? , 所以 ?AB1B ? 90? ? 30? ? 60? , 即所求的角为 60? .

引领
讲解 说明

观察
思考 主动 求解

通过 例题 进一 步领 会

教学 过程 D1 A1
D A
图 9?32

C1 B1
C B

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
17

*运用知识 强化练习 在如图所示的正方体中,求下
列各对直线所成的角的度数: (1) DD1 与 BC ; (2) AA1 与 BC1 .

提问 思考 领 会 指导 解答 知识

9.3.1 题图 21

*创设情境 兴趣导入

正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中(图 9?33),直线 BB1 与直线

AB 、BC、CD、AD、AC 所成的角各是多少? 可以发现,这些角都是直角.

质疑
引导 分析

思考

启发 学生 思考

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
26

图 9?33

*动脑思考 探索新知
如果直线 l 和平面? 内的任意一条直线都垂直,那么就称

直线 l 与平面? 垂直,记作 l ?? .直线 l 叫做平面? 的垂线, 讲解 思考
说明
垂线 l 与平面? 的交点叫做垂足.

画表示直线 l 和平面? 垂直的图形时,要把直线 l 画成与平

行四边形的横边垂直(如图 9?34 所示),其中交点 A 是垂足.

带领

学生

分析

引领 理解

分析

30

图 9?34

*创设情境 兴趣导入

带领 将一根木棍 PA 直立在地面? 上,用细绳依次度量点 P 与 质疑 思考 学生

地面上的点 A、B、

C、D 的距

分析 32

离(图 9?35),发

现 PA 最

短.

图 9?35

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

*动脑思考 探索新知

如图 9?35 所示, PA ?? ,线段 PA 叫做垂线段,垂足 A 讲解

叫做点 P 在平面 ? 内的射影.

说明

直线 PB 与平面? 相交但不垂直,则称直线 PB 与平面? 斜

交,直线 PB 叫做平面 ? 的斜线,斜线和平面的交点叫做斜 引领 足.点 P 与斜足 B 之间的线段叫做点 P 到这个平面的斜线段. 分析

思考 理解

带领 学生 分析

仔细

过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.如图 9?35 分析 记忆

40

中,直线 AB 是斜线 PB 在平面? 内的射影.

讲解

从上面的实验中可以看到,从平面外一点向这个平面引垂 关键

线段和斜线段,垂线段最短.因此,将从平面外一点 P 到平面 词语

? 的垂线段的长叫做点 P 到平面? 的距离.

*创设情境 兴趣导入
如图 9?36 所示,炮兵在发射炮弹时,为了击中目标,需 质疑 要调整好炮筒与地面的角度.

思考

带领 学生 分析

图 9?36

42

*动脑思考 探索新知

斜线 l 与它在平面? 内的射影 l? 的夹角,叫做直线 l 与平

面? 所成的角.如图 9?37 所示,?PBA就是直线 PB 与平面?

所成的角.

讲解 思考

规定:当直线与平面垂直时,所成的角是直角;当直线与 说明

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

平面平行或直线在平面内时,所成的角是零角.显然,直线与

带领

平面所成角的取值范围是[ 0 , 90 ] .

学生 引领 理解 分析

【想一想】

分析

如果两条直线与一个平面所成的角相等,那么这两条直线

一定平行吗?

*巩固知识 典型例题

图 9?37

仔细 分析 讲解 关键 词语

记忆

47

例 2 如图 9?38 所示,等腰 ? ABC 的顶点 A 在平面? 外,

底边 BC 在平面? 内,已知底边长 BC=16,腰长 AB=17,又知

点 A 到平面? 的垂线段 AD=10.求

(1)等腰 ? ABC 的高 AE 的长;

说明

强调
(2)斜线 AE 和平面? 所成的角

的大小(精确到 1?).

观察

通过 例题 进一 步领 会

分析 三角形 AEB 是直角

思考

三角形,知道斜边和一条直角边,

利 用 勾 股 定 理 可 以 求 出 AE 的

长; ?AED是 AE 和平面? 所成

图 9?38

引领

的角,三角形 ADE 是直角三角形,求出 ?AED的正弦值即可

求出斜线 AE 和平面? 所成的角.

主动

解 (1) 在等腰 ? ABC 中, AE ? BC ,故由 BC=16 可得

求解

BE=8.

在 Rt? AEB 中,∠AEB=90°,因此

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

AE ? AB2 ? BE2 ? 172 ? 82 ? 15 .

讲解

(2)联结 DE.因为 AD 是平面? 的垂线,AE 是? 的斜线, 说明

注意 观察

所以 DE 是 AE 在? 内的射影.因此 ?AED是 AE 和平面? 所成

的角. 在 Rt? ADE 中,

所以

sin ?AED ? AD ? 10 ? 2 , AE 15 3

?AED ? 42? .

学生

是否

理解

思考 知识



55

即斜线 AE 和平面? 所成的角约为 42? .

【想一想】

为什么这三条连线都画成虚线? *运用知识 强化练习

长方体ABCD ? A1B1C1D1 中,高DD1=4cm,底面是边长为3cm

的正方形,求对角线D1B与底面ABCD所成角的大小(精确到 1′).

提问 巡视 指导

思考 求解

及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况

60 练习 9.3.2 图

*创设情境 兴趣导入

在建筑房屋时,有时为了美观和排除雨水的方便,需要考

虑屋顶面与地面形成适当的角度(如图 9?39(1));在修筑河

堤时,为使它经济且坚固耐用,需要考虑河堤的斜坡与地面形

成适当的角度(如图 9?39(2)).

质疑

启发

思考 思考

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

引导

分析

(1)

图 9?39

(2)

63

在白纸上画出一条线,沿着这条线将白纸对折,然后打开

进行观察.

*动脑思考 探索新知 平面内的一条直线把平面分成两部分,每一部分叫做一个

半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面
角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的

讲解 说明

面.以直线 l(或 CD)为棱,两个半平面分别为?、? 的二面

角,记作二面角? ? l ? ? (或? ? CD ? ? )(如图 9?40).

D

引领

N?

分析

C

l o

D

M?

C

图 9?40

图 9?41

仔细

分析

过棱上的一点,分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射 讲解

线,以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角.如图 关键

9?41 所示,在二面角? ? l ? ? 的棱 l 上任意选取一点 O ,以点O 词语

思考 理解 记忆

带领 学生 分析

为垂足,在面? 与面 ? 内分别作 OM ? l 、ON ? l ,则 ?MON

就是这个二面角的平面角.

70

*创设情境 兴趣导入

启发 用纸折成一个二面角,在棱上选择不同的点作出二面角的 质疑 思考 思考

平面角,度量它们是否相等,想一想是什么原因.

72

*动脑思考 探索新知

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

二面角的平面角的大小由 ?、? 的相对位置所决定,与顶

点在棱上的位置无关,当二面角给定后,它的平面角的大小也 讲解

就随之确定.因此,二面角的大小用它的平面角来度量.

说明

当二面角的两个半平面重合时,规定二面角为零角;当二

面角的两个半平面合成一个平面时,规定二面角为平角.因此

二面角取值范围是[ 0 , 180 ] .

引领

思考 理解

带领 学生 分析

平面角是直角的二面角叫做直二面角.例如教室的墙壁与 分析

记忆

76

地面就组成直二面角,此时称两个平面垂直.平面? 与平面 ?

垂直记作? ? ? *巩固知识 典型例题

例 3 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中(如图 9?42),求二面

角 D1 ? AD ? B 的大小.

说明 观察 强调

图 9?42

引领

解 AD 为二面角的棱, AA1 与 AB 是分别在二面角的两

思考

通过 例题 进一 步领 会

个 面 内 并 且 与 棱 AD 垂 直 的 射 线 , 所 以 ?A1AB 为 二 面 角

D1 ? AD ? B 的平面角.

讲解

因为在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, ?A1AB 是直角.所以 说明

二面角 D1 ? AD ? B 为 90°.

主动 求解

81 *运用知识 强化练习

教学

教师

过程

行为

在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,求二面角 A ? DD1 ? B 的大
小. 提问

巡视

指导

学生 行为
思考 求解

练习 9.3.3 题 图

*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题:
异面直线所成的角、二面角的平面角的概念?

质疑

结论:

经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线,这

回答

两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角. 过棱上的一点,分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射
线,以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角.

归纳 强调

教学 时 意图 间
及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况
86
及时 了解 学生 知识 掌握 情况
87

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

引导

*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的?

你的学习效果如何?

提问

在正方体 AC1 中,求平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成的二 面角的大小.

巡视 指导

回忆 反思
动手 求解

检验 学生 学习 效果

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材

说明

(2)书面作业:教材习题 9.1 A 组(必做);9.1 B 组(选

做)

记录

89
分层 次要 求

(3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例

90

【教师教学后记】

项目

反思点

学生是否真正理解有关知识;

学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题;

在知识、技能的掌握上存在哪些问题;

学生是否参与有关活动;

学生的情感态度

在数学活动中,是否认真、积极、自信;

遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服;

学生是否积极思考;

学生思维情况

思维是否有条理、灵活; 是否能提出新的想法;

是否自觉地进行反思;

学生是否善于与人合作;

学生合作交流的情况

在交流中,是否积极表达;

是否善于倾听别人的意见;

学生是否愿意开展实践;

学生实践的情况

能否根据问题合理地进行实践; 在实践中能否积极思考;

能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【教学目标】 知识目标: (1)了解空间两条直线垂直的概念; (2)掌握与平面垂直的判定方法与性质,平面与平面垂直的判定方法与性质. 能力目标:

培养学生的空间想象能力和数学思维能力. 【教学重点】
直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质. 【教学难点】
判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直. 【教学设计】

在平面内,过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直;在空间中,过一点 作与已知直线垂直的直线,能作无数条.
例 1 是判断异面直线垂直的巩固性题目,根据异面直线垂直的定义,只要判断它们所成

的角为 90 即可.

在判定直线与平面垂直时,要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件.可举一些实 例,以加深学生对条件的理解.
两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况.在日常生活和工农业生产中,两个平面 互相垂直的例子非常多,教学时可以多结合一些实例,以引起学生的兴趣.

例 4 是判断平面与平面垂直的巩固性题目,关键是在平面 B1AC 内找到一条直线 AC 与

平面 B1BDD1 垂直.例 5 是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】

教学课件.

【课时安排】

2 课时.(90 分钟)

【教学过程】

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

*揭示课题

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 介绍 了解

0

*创设情境 兴趣导入

【知识回顾】

质疑

如果空间两条直线所成的角是90?,那么称这两条直线互

相垂直,直线a和b互相垂直,记作a⊥b.

思考

启发 学生 思考

【想一想】

引导

演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位 分析

置关系,并回答问题:经过空间任意一点作与已知直线垂直的

5

直线,能作几条? *巩固知识 典型例题

【知识巩固】

例1 如图9-43,长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断直线AB 说明

和DD1是否垂直.

强调

解 AB和DD1是异面直线,而BB1∥DD1,AB⊥BB1,根

据异面直线所成的角的定义,

可知AB与DD1成直角.因此 AB ? DD1 .

引领

观察 思考

通过 例题 进一 步领 会

讲解 主动

图9-43

说明 求解

10

*运用知识 强化练习

了解

1.垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

提问 思考 知识 指导 解答 掌握

2.在图 9?43 所示的正方体中,找出与直线 AB 垂直的棱,

情况

并指出它们与直线 AA1 的位置关系.

14

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

*创设情境 兴趣导入

【问题】

前面我们学过直线与平面垂直的概

念.根据定义判断直线与平面垂直,需要 判定直线与平面内的任意一条直线都垂 直,这是比较困难的.那么,如何判定 直线和平面垂直呢? 【观察】

图 9?44

质疑

思考

带领 学生 分析

我们来看看实践中工人师傅是如何做的. 如图 9?44 所示,检验一根圆木柱和板面是否垂直.工人 师傅的做法是,把直角尺的一条直角边放在板面上,看曲尺的

引导 分析

另一条直角边是否和圆木柱吻合,然后把直角尺换个位置,照

样再检查一次(应当注意,直角尺与板面的交线,在两次检查

17

中不能为同一条直线).如果两次检查,圆木柱都能和直角尺

的直角边完全吻合,就判定圆木柱和板面垂直.

*动脑思考 探索新知

【新知识】 从大量的实践与观察中,归纳出直线与平面垂直的判定方 讲解
法:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 说明

理解

带领 学生 分析

这条直线与这个平面垂直. 20
*巩固知识 典型例题

【知识巩固】 例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中(如图9?45),直线AA1
与平面ABCD垂直吗?为什么?

说明 观察 强调

通过

教学 过程

教师 行为

图9?45 引领
解 因为长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面ABB1A1、AA1D1D

都是长方形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD.且AB和AD是平面ABCD

内的两条相交直线.由直线与平面垂直的判定定理知,直线AA1 ⊥平面ABCD.

讲解 说明

学生 行为 思考
主动 求解

教学 时 意图 间 例题 进一 步领 会

图9?46

[小提示]

在实际生活中,我们采用如图9?46所示的“合页型折纸”

检验直线与平面垂直,就是直线与平面垂直方法的应用.

【做一做】

如果只给一个卷尺,你能否判断操场中立的旗杆与底面垂

25

*创设情境 兴趣导入

【观察】

观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面,并且这

些电线杆是平行的.这一事实启发我们得出直线与平面垂直的

性质.

质疑

引导 分析

思考

启发 学生 思考
28

*动脑思考 探索新知

【新知识】

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

由大量的实验与观察,归纳出直线和平面垂直的性质:垂 讲解

直于同一个平面的两条直线互相平行.

说明

思考

如图 9?47 所示,设 m ?? , n ?? ,则 m∥n.

[想一想]

n m
?
图 9?47

引领 分析

理解

带领 学生 分析

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条

也垂直于这个平面吗?为什么?

32

*巩固知识 典型例题

【知识巩固】

例3 如图9?48,AB和CD都是平面? 的垂线,垂足分别为

B、D,A、C分别在平面? 的两侧,AB=4 cm,CD=8 cm, BD=5 cm,求AC的长.

说明 强调

观察

通过 例题 进一 步领 会

思考

图9?48

引领

解 因为AB⊥? ,CD⊥? ,所以 AB∥CD.因为BD在
平面? 内,AB⊥BD,CD⊥BD.设AB与CD确定平面 ? ,在平
面 ? 内,过点A作AE∥BD,直线AE与CD交于点E. 讲解
在直角三角形ACE中,因为AE=BD=5 cm, 说明
CE=CD+DE=CD+AB=8 + 4 =12(cm),

主动 求解

注意 观察 学生 是否 理解

所以 AC= AE2 ? CE2 = 52 ?122 =13(cm).

知识
点 37

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

*运用知识 强化练习

1.一根旗杆 AB 高 8 m,它的顶端 A 挂两条 10 m 的绳子,

拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的 C、D 两点,并

使点 C、D 与旗杆脚 B 不共线,如果 C、D 与 B 的距离都是 6 m, 提问

那么是否可以判定旗杆 AB 与地面垂直,为什么?

巡视

指导 2.如图所示,?ABC 在平面? 内,?BAC ? 90? ,且 PA ? ?

于 A,那么 AC 与 PB 是否垂直?为什么?

思考 解答

及时 了解 学生 知识 掌握 情况

42

*创设情境 兴趣导入 【知识回顾】
两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么称这
两个平面互相垂直.平面? 与平面 ? 垂直,记作? ? ? .
画表示两个互相垂直平面的图形时,一般将两个平行四边 形的一组对边画成垂直的位置,可以把直立的平面画成矩形
质疑 观察 (图 9?49(1)),也可以把直立的平面画成平行四边形(图 9?49 (2)).

?

图 9?49

?
(2)

【做一做】 请动手画出图9?50中的两个图形.

带领 学生 分析

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

[实例]

引导

分析 建筑工人在砌墙时,把线的一端系一个铅锤,另一端用砖

思考

压在墙壁面上(图9?50),观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴

(在铅锤处应有一空隙),即判断所砌墙面是否经过地面的垂

线,以此保证所砌的墙面与地面垂直.

48

图 9?50

*动脑思考 探索新知

【新知识】

这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法:一个平面 讲解

经过另一个平面的垂线则两个平面垂直.

说明

如图 9?51 所示,如果 AB ? ? , AB 在? 内,那么? ? ? .

引领 分析

理解

带领 学生 分析

图 9?51

52

*巩固知识 典型例题

【知识巩固】 例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1(如图9?52)中,判断平
面B1AC与平面B1BDD1是否垂直.

说明 强调

观察

教学 过程

教师 行为 引领

图9?52

讲解

说明 解 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所

以BB1⊥AC,在底面正方形ABCD中,BD⊥AC,因此AC⊥平面

BB1D1D,

因为AC在平面B1AC内,所以平面B1AC与平面B1BDD1垂

直.

学生 行为 思考
主动 求解

教学 时 意图 间 通过 例题 进一 步领 会
57

*创设情境 兴趣导入

【实验】

质疑

如图 9?53 所示,在正方体 A1C 的侧面 A1ABB1 中,作

EE1 ? AB ,观察 EE1 与底面 ABCD 的关系.

D1

A1

E1

C1 B1

引导 分析

思考

带领 学生 分析

D

C

D

A

E

B

图 9?53

60 *动脑思考 探索新知 【新知识】

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

讲解 可以看到,由于 EE1 ? AB ,故 EE1 ∥ BB1 ,又 BB1 ? BC ,
说明 因此 EE1 ? BC .这样,EE1 就与底面 ABCD 中的两条相交直线

理解

带领 学生 分析

AB、BC 都垂直,所以 EE1 与底面 ABCD 垂直.

由大量的观察与实践,归纳出平面与平面垂直的性质:如 引领 记忆

果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个 分析

64

平面垂直.

*巩固知识 典型例题

【知识巩固】

例5 如图9?54所示,平面α⊥平面β, AC在平面α内,且

AC⊥AB,BD在平面β内,且BD⊥AB,AC=12 cm,AB=3 cm,

BD=4 cm.求CD的长.

说明 强调

观察

通过 例题 进一 步领 会

思考 引领

图9?54

解 在平面 ? 内,连结AD.又由于BD⊥AB,所以在直角

三角形ABD中,

讲解
AD2 ? AB2 ? BD2 ? 32 ? 42 ? 25 ,
说明



AD=5(cm).

因为? ? ? ,AC在平面? 内,且AC⊥AB,AB为平面? 与

? 的交线,所以AC⊥ ? .

因此CA⊥AD.

主动 求解

注意 观察 学生 是否 理解 知识 点

在直角三角形ACD中,

CD2 ? AC2 ? AD2 ? 122 ? 52 ? 169 ,



CD=13(cm).

69

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

*运用知识 强化练习

1.如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,与平面 AB1

垂直的平面有

个,与平面 AB1 垂直的棱有

条.

D

A1

1

D

A

C

B1

1

C

B

第 1 题图

第 2 题图

提问 巡视 指导

思考 求解

及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况

2.如图所示,检查工件相邻的两个面是否垂直时,只要

78

用曲尺的一边卡在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面

上转动一下,观察尺边是否和这个面密合就可以了,为什么?

*理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题:

直线与平面垂直的判定与性质?

平面与平面垂直的判断与性质? 结论:

质疑

直线与平面垂直的判定方法:如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.

回答

及时 了解 学生 知识 掌握 情况

直线和平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线互 归 纳

相平行.

强调

平面与平面垂直的判定方法:一个平面经过另一个平面的

垂线则两个平面垂直.

平面与平面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么一个平

82

面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

*归纳小结 强化思想

教学 过程 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间 引导 回忆

*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的?

你的学习效果如何?

提问

一根旗杆 AB 高 8 m,它的顶端 A 挂两条 10 m 的绳子,拉

紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的 C、D 两点,并使 巡视 点 C、D 与旗杆脚 B 不共线,如果 C、D 与 B 的距离都是 6 m, 指导

那么是否可以判定旗杆 AB 与地面垂直,为什么? *继续探索 活动探究
(1)读书部分:教材

说明

(2)书面作业:教材习题 9.4 A 组(必做);9.4 B 组(选做)

(3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的两个平面垂直

的实例

反思
动手 求解
记录

检验 学生 学习 效果
88
分层 次要 求

90

【教师教学后记】

项目

反思点

学生是否真正理解有关知识;

学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题;

在知识、技能的掌握上存在哪些问题;

学生是否参与有关活动;

学生的情感态度

在数学活动中,是否认真、积极、自信;

遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服;

学生是否积极思考;

学生思维情况

思维是否有条理、灵活; 是否能提出新的想法;

是否自觉地进行反思;

学生合作交流的情况

学生是否善于与人合作; 在交流中,是否积极表达;

学生实践的情况

是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

【课题】9.5 柱、锥、球及其简单组合体(一)
【教学目标】 知识目标: (1)了解棱柱、棱锥的结构特征; (2)掌握棱柱、棱锥面积和体积计算. 能力目标:
培养学生的观察能力,数值计算能力及计算工具使用技能. 【教学重点】
正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算. 【教学难点】
正棱柱、正棱锥的相关计算. 【教学设计】
教材首先介绍了多面体、旋转体的概念.然后通过观察模型,说明棱柱、棱锥、圆柱、 圆锥、球的结构特征及其面积、体积的计算公式.正棱柱的侧面积、全面积、体积的计算 公式经常使用,不要把侧面积、全面积计算公式记混了.
侧面都是全等的矩形的直四棱柱不一定是正四棱柱.底面是正方形的四棱柱不一定是 正四棱柱.四棱锥 P-ABCD 中,如果棱锥的侧棱长相等,那么它一定是正四棱锥.如果棱 锥的底面是正方形,那么它不一定是正四棱锥.
例 1 是求正三棱柱的侧面积和体积的题目,例 2 是求正三棱锥的侧面积和体积的题目, 要记住边长为 a 的正三角形的面积为 S ? 3 a2 .
4 【教学备品】
教学课件.

【课时安排】 2 课时.(90 分钟)
【教学过程】 教学 过程
*揭示课题
9.5 柱、锥、球及其简单组合体

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

介绍 了解

0

【知识回顾】

在九年制义务教育阶段,我们学习过直棱柱、圆柱、圆锥、

球等几何体.

质疑 思考

(1)

(2)

(3)

(4)

启发 学生 思考

图 9?55 象直棱柱(图 9?55(1))那样,由若干个平面多边形围成 讲解 的封闭的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多 说明

面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的交点叫

做多面体的顶点,不在同一个面上的两个顶点的连线叫做多面

体的对角线.

像圆柱(图 9?55(2))、圆锥(图 9?55(3))、球(图 9?55

(4))那样的封闭几何体叫做旋转体. *创设情境 兴趣导入 【观察】

引导 分析

思考

引导 学生 分析

图 9?56

教学 过程 观察图 9?56 所示的多面体,可以发现它们具如下特征: (1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形; (2)每相邻两个四边形的公共边互相平行.

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
10

*动脑思考 探索新知 【新知识】
有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线都互相平行 的多面体叫做棱柱,互相平行的两个面,叫做棱柱的底面,其

余各面叫做棱柱的侧面.相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧

棱.两个底面间的距离,叫做棱柱的高. 图9?56所示的四个多面体都是棱柱.

讲解 思考 说明

表示棱柱时,通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字

母,中间用一条短横线隔开,例如,图9?56(2)所示的棱柱,可

以记作棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 ,或简记作棱柱 AC1.

经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱,如图9?56所示

的棱柱依次为三棱柱、四棱柱、五棱柱.

侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱,如图9?56(2);侧棱 与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,如图9?56(1);底面是正多 引领
分析 边形的直棱柱叫做正棱柱,如图9?56(3)和(4),分别为正

理解

四棱柱和正五棱柱.

正棱柱有下列性质:

(1)侧棱垂直于底面,各侧棱长都相等,并且等于正棱 柱的高;
(2)两个底面中心的连线是正棱柱的高. [想一想]

带领 学生 分析

如果直四棱柱的侧面都是全等的矩形,它是不是正四棱

柱?如果四棱柱的底面是正方形,它是不是正四棱柱?

【新知识】

仔细

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

正棱柱所有侧面的面积之和,叫做正棱柱的侧面积.正棱 柱的侧面积与两个底面面积之和,叫做正棱柱的全面积.

分析 关键 语句

记忆

图9?57 观察正棱柱的表面展开图(图9?57),可以得到正棱柱的 侧面积、全面积计算公式分别为

S正棱柱侧 ? ch

(9.1)

S正棱柱全 ? ch ? 2S底

(9.2)

其中,c 表示正棱柱底面的周长, h 表示正棱柱的高, S底 表示正

棱柱底面的面积.

25

可以得到正棱柱的体积计算公式为(公式推导略)

V正棱柱 ? S底h

(9.3)

其中, S底 表示正棱锥的底面的面积, h 是正棱锥的高.
*巩固知识 典型例题

【知识巩固】

例 1 已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm,高为5 cm,

求这个正三棱柱的侧面积和体积. 解 正三棱锥的侧面积为 S侧=ch=3×4×5 = 60( cm2 ). 由于边长为4 cm的正三角形面积为 3 ? 42 ? 4 3 ( cm2 ), 4

说明 观察 强调

引领

思考

通过 例题 进一

教学 过程

教师 行为

所以正三棱柱的体积为

V ? S底h ? 4 3 ? 5 = 20 3 ( cm3 ). 【小提示】
边长为a的正三角形的面积为 S ? 3 a2 . 4

讲解 说明

学生 行为
主动 求解

教学 时 意图 间 步领 会

【软件连接】 利用几何画板可以方便地作出棱柱的直观图形.方法是:
首先选中所以绘制棱柱的名称(图 9?58),然后选择合适的位 置,点击并拖动,即可得到棱柱的直观图形(图 9?59),最后 再标注字母.

讲解 说明

思考 理解

带领 学生 思考

图 9?58

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

35

图 9?59

*创设情境 兴趣导入

观察图 9?60 所示的多面体,可以发现它们具如下特征:

有一个面是多边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有

一个公共顶点.

质疑
引导 分析

思考

启发 学生 思考

(3)
图 9?60 40
*动脑思考 探索新知 【新知识】
具备上述特征的多面体叫做棱锥.多边形叫做棱锥的底面 (简称底),有公共顶点的三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面 的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的 高.底面是三角形、四边形、……的棱锥分别叫做三棱锥、四 棱锥、…….通常用表示底面各顶点的字母来表示棱锥.例如,

教学

教师 学生 教学 时

过程

行为 行为 意图 间

图 9?60(2)中的棱锥记作:棱锥 S ? ABCD .

讲解

说明 底面是正多边形,其余各面是全等的等腰三角形矩形的棱

锥叫做正棱锥.图 9?60 中(1)、(2)分别表示正三棱锥、正

思考

带领 学生 分析

四棱锥.

正棱锥有下列性质:

(1)各侧棱的长相等;

(2)各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边 上的高都叫做正棱锥的斜高;

引领 分析

理解

(3)顶点到底面中心的连线垂直与底面,是正棱锥的高;

(4)正棱锥的高、斜高与斜高在底面的射影组成一个直

角三角形;

(5)正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的射影也组成一个

直角三角形.

【想一想】

四棱锥P-ABCD中,如果棱锥的侧棱长相等,那么它是不

是正四棱锥?如果棱锥的底面是正方形,那么它是不是正四棱 讲解

锥?

说明

【新知识】

思考

带领 学生 分析

记忆 引领 分析

图9?61

观察正棱锥的表面展开图(图9?61),可以得到正棱锥的

侧面积、全面积(表面积)计算公式分别为

52

S正棱锥侧

?

1 ch? 2

(9.4)

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

S正棱锥全

?

1 2

ch?

?

S



.

(9.5)

其中, c 表示正棱锥底面的周长, h? 是正棱锥的斜高, S底 表示

正棱锥的底面的面积, h 是正棱锥的高.

*创设情境 兴趣导入

【实验】

质疑

准备好同底等高的正三棱锥与正三棱柱形容器,将正三棱

思考

带领 学生 分析

锥容器中装满沙子,然后倒入正三棱柱形状的容器中,发现:

57 连续倒三次正好将正三棱柱容器装满.

*动脑思考 探索新知

【新知识】

实验表明,对于同底等高的棱锥与棱柱,棱锥的体积是棱柱体 讲解

积的三分之一.即

说明

V正棱锥

?

1 3

S



h

.

(9.6)

其中, S底 表示正棱锥的底面的面积, h 是正棱锥的高.

理解 记忆

带领 学生 分析

62 *巩固知识 典型例题

【知识巩固】

例 2 如图9?62,正三棱锥P-ABC中,点O是底面中心,

PO=12 cm,斜高PD=13 cm.求它的侧面积、体积(面积精 确到0.1 cm2 ,体积精确到1 cm3 ).

说明 强调

观察

图9?62

引领

解 在正三棱锥P-ABC(图9?62)中,高PO=12 cm,斜

思考

通过 例题 进一 步领

教学 过程 高PD=13 cm. 在直角三角形 POD 中,

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间


OD= PD2 ? PO2 = 132 ?122 =5(cm). 在底面正三角形ABC中, CD=3OD=15(cm). 所以底面边长为

讲解 主动 说明 求解

AC=10 3 cm.

所以侧面积与体积分别约为

S侧

?

1 2

ch?

?

1 2

?

3?10

3 ?13

≈337.7( cm2 ).

V正棱锥

?

1 3

S底h

?

1 3

?

1 2

? (10

3)2 ? sin 60

?12 ≈520( cm3 ).

*运用知识 强化练习

72 及时

了解

1. 设正三棱柱的高为 6,底面边长为 4,求它的侧面积、 提问 思考 学生

全面积及体积.

巡视 解答 知识

指导 2. 正四棱锥的高是 a,底面的边长是 2a,求它的全面积

掌握

与体积.

情况 80

*理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题: 正棱柱的侧面积、全面积、体积公式,正棱锥的侧面积、 质疑

全面积、体积公式? 结论:

及时 回答 了 解

S正棱柱侧 ? ch ; V正棱柱 ? S底h ;

S正棱柱全 ? ch ? 2S底 ;

归纳 强调

学生 知识 掌握

S正棱锥侧

?

1 ch? ; 2

V正棱锥

?

1 3

S



h



S正棱锥全

?

1 ch? ? 2

S底 ;

情况

教学 过程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

83 引导 回忆

*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 提问

你的学习效果如何?

设正三棱柱的高为 6,底面边长为 4,求它的侧面积、全 面积及体积.

巡视 指导

*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材

说明

(2)书面作业:教材习题 9.5 A 组(必做);9.5 B 组(选

做)

(3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的正棱柱实例

反思
动手 求解 记录

检验 学生 学习 效果 89
分层 次要 求

90

【教师教学后记】

项目

反思点

学生是否真正理解有关知识;

学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题;

在知识、技能的掌握上存在哪些问题;

学生是否参与有关活动;

学生的情感态度

在数学活动中,是否认真、积极、自信;

遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服;

学生是否积极思考;

学生思维情况

思维是否有条理、灵活; 是否能提出新的想法;

是否自觉地进行反思;

学生合作交流的情况

学生是否善于与人合作;

学生实践的情况

在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;


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