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2011年高考数学全国新课标卷第21题(2)别解

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: s x j k @ v i p 。 1 6 3 . c o m… … … …… … … …  数学 教学通讯 e 教l i l Wi )… … … … … … … … … … - . 试 题研究 , 试 题探究  

2 0   1   1 年高考数学全国新课标卷  第2   1 题( 2 ) 别解 
赵 忠 平 

甘 肃永 昌第一 高级 中学 7 3 7 2 0 0  

冒 二 键 :  

理 解 高 考 命 题 背 景 和 命 题 特 点 ’ 本 文 对 2 叭 1 年 高 考 数 学 全 国 新 课 标 卷 第 2 l  
( 1 ) 当  > 1 时, 由   ) >   + 旦 得( J } 一 1 ) (   2 — 1 ) < 一  l 似 在 


高 考试 题研 究是 高 中 数学 教 学 的一 项 重 要 而 常 规 的 T作 .  

由于高考命题具有连续性 、 重 复性 , 因此 研 究 高 考试 题 能 够 把  握 高 考 试 题 的发 展 方 向 , 尤 其 是 研 究 高考 试 题 最 常 规 、 最 能 体 
现 题 目本 质 特 征 的解 法 。 才 能 深入 的理 解 高 考 试 题 的命 题 背 景 

X- l  

( 1 , + 。 。 ) 上恒 成立 , 令g (  ) = (  一 1 ) (  一 1 ) , h (  ) = 一 2 x l n x , 画出   h (  ) 的 图 象,过 ( 1 , 0 ) 点, . 1 t . 1 i mh (  ) = O , 要使 ( k - 1 ) (   2 — 1 ) <  
_+0’  
一  

和 命 题 特 点 ,也 才 能发 挥 它 在 高 中 数 学教 学 中 的导 向作 用 . 提 
高 高考 复 习 的针 对 性 和 有 效 性 .以 下 是 对 一 道 高 考 典 型 题 的 
研 究.  

l I  在 ( 1 , + 。 。 ) 上恒成立 , 只需当   > 1 时, g ( x ) 的 图 象在^ (   ) 的  

图 象下方 , 由 图象4  ̄ k > l 时不成 立 , 所以  ≤ l , 故g (   ) 开 口向   下, 过( ± 1 , 0 ) 点, 当x > l 时 由 图 象 斜 率 变化 知  (   ) ≤. I l , , (   ) 在 

囊 目: 已知函 

) :  

+   , 曲线y _ , (  ) 在点 ( 1   1 ) )  
( 1 , + ∞) 上 恒成 立 , 即  一 l ≤一   在( 1 , + ∞) 恒成 立 。 所 以J } ≤Q  

处 的切 线 方 程 为  +  一 3 = 0 .( 1 ) ) 求口 , b 的值 ; ( 2 ) 如 果 当  > O R 

≠1 时 

) > _ l a x+ 旦 求  的取 值 范 围.  


J   ¨ 

f   /。   、  、  
) >  
一 1 /  

解法1 : ( 2 ) 由( 1 )   (   ) =  

+   , x > O , x #l 时 






t r i c k <— 2 x   l n x

+ l 在( 0 , 1 ) u( 1 , + o 。 ) 上 恒 成 立 .令g  ) :  

/  。  
1  

X -1  

l   ‘  

。  

百 2 x l n x + 1 '  o ' 1 ) U ( 1 ’ +   1 — 嗡 ‘  

?   1 f   l 一   ‘ ) ‘   \  笔 ‘ ) ,   .  


i X

再 令   眦 + 鲁 ( 。 ,  
g   (   ) < O ; 当   > 1 时,  (   ) > 0 , 则  递减 , 在( 1 , + a 。 ) 上 单调 递 增.  
又  /

) = 羔  即  
‘ 

.  

h (  ) 在( 0 , + ∞) 上 递 增 .mh ( 1 ) = 0, 故 当O < x < l 时 h (   ) < 0 , 则  


田1  

) > 0 , 所r A g ( x ) 在( 0 , 1 ) 上 单 调 

( 2 ) 当 。  < l 时,  

) >   + 生




得( . } i 一 1 ) (   1 ) > - 2  ̄ 1 眦 在 

l  

( O , 1 ) 上恒成 立 , 令g (   ) = ( J } 一 1 ) (  一 1 ) , h ( x ) : 一 2 x l n x , 画 出^  )  


要 使( j } 一 1 ) ( x 2 - 1 ) > 一 2 x l n x  ̄( 0 , 1 ) 上恒成立 百 2 x l n x + 1 ) =   (   + 1 ) = 0 ’ 所 以 J }  即 J } 的 取 值   的图象 ,

只 需g (   )  

范 围是 ( 一 ∞, O ) .   解 法 2: 由( 1 )   ) =   + ~ 1


的图象在h (  )图象的上 方 ,当O < x < l 时 由图 象斜 率 变化 知 
又 当x > O ,  ≠l 时  (   ) >  

l   8 , , (   ) l > l h ” (   ) I 在 ( o , 1 ) 上 恒 成 立 , 即 I k - 1   I ≥   l 一   l I   在 ( 0 , 1 )  
上恒成立 . 所 以. i } ≤0 .  

+   恒成立.  

综上所述 , k ≤0 , 即  的 取值 范 围是 ( 一 ∞, 0 ] .  


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