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2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第二章 2.3(一)等差数列的前n项和(一)


本 讲 栏 目 开 关 §2.3(一) 【学习目标】 1.理解等差数列前 n 项和公式的推导过程. 2.熟练掌握等差数列的五个量 a1,d, n,an,Sn 的关系, 能够由其中三个求另外两个. 本 讲 栏 目 开 关 3.掌握等差数列前 n 项和公式及性质的应用. 【学法指导】 1.运用等差数列的前 n 项和公式的关键在于准确把握它们 的结构特征,这样才能根据具体情境 (已知条件和待求目 标)选用恰当的公式解决问题. 2.要善于从推导等差数列的前 n 项和公式中,归纳总结出 一般的求和方法——倒序相加法. 填一填·知识要点、记下疑难点 §2.3(一) 1.把 a1+a2+?+an 叫数列{an}的前 n 项和,记做 Sn .例如 a1 本 讲 栏 目 开 关 +a2+?+a16 可以记做 S16 ;a1+a2+a3+?+an-1= Sn-1 (n≥2). 2.若{an}是等差数列,则 Sn 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 Sn n?a1+an? 2 = ;若首项为 a1,公差为 d,则 Sn 可以表示为 Sn 1 na + = 1 2n(n-1)d . 填一填·知识要点、记下疑难点 §2.3(一) 3.写出下列常见等差数列的前 n 项和 1 n(n+1) (1)1+2+3+?+n= 2 . (2)1+3+5+?+(2n-1)= n2 . 本 讲 栏 目 开 关 (3)2+4+6+?+2n= n2+n . 4.等差数列{an}中 (1)已知 d=2,n=15,an=-10,则 Sn=________ -360 ; 17 (2)已知 a1=20,an=54,Sn=999,则 d=________ 13 ; 5 1 15 (3)已知 a1= ,d=- ,Sn=-5,则 n=________. 6 6 研一研·问题探究、课堂更高效 §2.3(一) [问题情境] “数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被 本 讲 栏 目 开 关 誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同 享盛名. 高斯十岁那年,老师布置了一道很繁杂的计算题,要求学生 把 1 到 100 的所有整数加起来,老师刚叙述完题目,高斯即 刻把写着答案的小石板交了上去.老师起初并不在意这一举 动,但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时,才大吃一 惊.而更使人吃惊的是高斯的算法,他发现:第一个数加最 后一个数的和是 101,第二个数加倒数第二个数的和也是 研一研·问题探究、课堂更高效 §2.3(一) 101,?共有 50 对这样的数,用 101 乘以 50 得到 5 050, 这种算法是教师未曾教过的方法,高斯自己就想出来了, 本 讲 栏 目 开 关 那么这是一个什么样的方法呢?它用于解决什么类型的 问题呢? 这种方法叫倒序相加法,是等差数列求和的一种重要方 法,这一节我们就来学习等差数列的求和方法. 研一研·问题探究、课堂更高效 探究点一 等差数列前 n 项和公式的推导 §2.3(一) 问题 求和:1+2+3+?+100=? 对于这个问题, 著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结 果.当时他的思路和解答方法是: S=1+2+3+?+99+ 本 讲 栏 目 开 关 100,把加数倒序写一遍:S=100+99+98+?+2+1. 所以有 2S=(1+100)+(2+99)+?+(99+2)+(100+1)= 100×101,∴S=50×101=5 050. 请你利用“高斯的算法”求 1+2+3+?+n=? 解 设

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