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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC


如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC, ?BAC ? 90? .点 D,E,N 分别为棱 PA,PC,BC 的中点,M 是线段 AD 的中点,PA=AC=4,AB=2. (Ⅰ)求证:MN∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 C-EM-N 的正弦值; (Ⅲ)已知点 H 在棱 PA 上,且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 7 ,求线段 AH 的长. 21 本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量 解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分. 如图,以 A 为原点,分别以 AB , AC , AP 方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐 标系.依题意可得 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,4,0) ,P(0,0,4) ,D(0,0,2) ,E(0,2,2) , M(0,0,1) ,N(1,2,0). (Ⅰ)证明: DE =(0,2,0) , DB =(2,0, ?2 ).设 n ? ( x, y, z ) ,为平面 BDE 的法向量, ?n ? DE ? 0 ?2 y ? 0 ? 则? ,即 ? .不妨设 z ? 1 ,可得 n ? (1, 0,1) .又 MN =(1,2, ?1 ) ,可得 ?2 x ? 2 z ? 0 ? ?n ? DB ? 0 MN ? n ? 0 . 因为 MN ? 平面 BDE,所以 MN//平面 BDE. (Ⅱ) 解: 易知 n1 ? (1,0,0) 为平面 CEM 的一个法向量.设 n2 ? ( x, y, z) 为平面 EMN 的法向量, ? ??2 y ? z ? 0 ?n ? EM ? 0 则? 2 ,因为 EM ? (0, ?2, ?1) , MN ? (1,2, ?1) ,所以 ? .不妨设 y ? 1 , x ? 2 y ? z ? 0 ? n ? MN ? 0 ? ? 2 可得 n2 ? (?4,1, ?2) . 因此有 cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 4 105 ?? ,于是 sin ? n1 , n2 ?? . | n1 || n2 | 21 21 所以,二面角 C—EM—N 的正弦值为 105 . 21 (Ⅲ) 解: 依题意, 设 AH=h (0 ? h ? 4) , 则H (0, 0, h) , 进而可得 NH ? (?1, ?2, h) , BE ? (?2,2,2) . 由已知,得 | cos ? NH , BE ?|? 8 1 解得 h ? ,或 h ? . 5 2 | NH ? BE | | 2h ? 2 | 7 ? ? ,整理得 10h2 ? 21h ? 8 ? 0 , 2 21 | NH || BE | h ?5?2 3 8 1 所以,线段 AH 的长为 或 . 2 5

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