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浙江省瓯海区三溪中学高一数学《平面向量数量积》课件(2)_图文

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义 一般地,实数λ与向量a 的积是一个向 量,记作λa,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa 的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0 设a,b为任意向量,λ,μ为 任意实数,则有: ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb 已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。 B θ O A 当θ=0°时,a与b同向; O A B B 当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直, 记为a⊥b. O B b O a A 我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图) F θ S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发,我们引入向量 “数量积”的概念。 已知两个非零向量a与b,它们的 夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积),记作a· b a· b=|a| |b| cosθ |a| cosθ(|b| cosθ)叫 做向量a在b方向上(向 量b在a方向上)的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负? a· b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。 ? ? ? ? 是非零向量, e 是与b 方向相同的 设 a、b ? ? 单位向量, ?是a 与e 的夹角,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) e ? a ? a ? e ? | a | cos ? a ? b ?| a || b | cos ? ? ? ? ? ? ? B (3)当a 与b 同向时,a ? b ?| a || b |; b θ A ? ? ? O ? ? ? B1 a 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |; ? ? ?2 ?2 ? ? ? 特别地 a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? a ? ? ? ? ? a ?b ? (4) cos ? ? ? ? ( 5 ) | a ? b | ? | a || b | | a || b | ? ? ? ? ( 2) a ? b ? a ? b ? 0 例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 θ=120°,求a·b。 b B A O θ |b|cosθ B1 a ? 的长度 ? ? ? ? ? | a |与 b 在a方向上的投影 a ? b 等于 a ? | b | cos ? 的乘积。 练习: 1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0. √ 2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. × 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 × × 4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c × 2 2 a ? | a | 6.对任意向量 a 有 √ 二、平面向量的数量积的运算律: 数量积的运算律: ? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? 其中, a、b 、c 是任意三个向量, ??R 证明运算律(3) 向量a、b、a + b b 在c上的射影的数量 a a+b 分别是OM、MN、 ON, 则 M O (a + b) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c. ? ? ? ? ? ? 注: ( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? N c 例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b =a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· b+b2. 例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 证明:(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b =a· a+b· a-a· b- b· b =a2-b2. 例4 ? ? 已知 | a |? 6, | b |? 4,a 与b ? ? ? 60 , o ? r r r r 求(a ? 2b ) ? (a ? 3b ) 。 的夹角为 r r 例5.已知 | a |? 3,| b |? 4, 当且仅当k为何值时, r r r r 向量a ? kb与a ? kb 互相垂直? 2.4.2 平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角 一、复习引入 (1) a ? b ? a ? b cos? ( 2) a ? a ? a 或 a ? 2 a ? a; a ?b a ?b . a ? b ? a ? b ? 0; cos? ? 我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示 a ? b呢? 二、新课学习 1、平面向量数量积的坐标表示 如图,i是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量, 由于 a ? b ? a ? b cos ? 所以 1 1 j ? j ? . . i ?i

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