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# 1.7定积分的简单应用

y

y = f ( x)

y

y = f2 ( x)

A A
o

y = f1 ( x )
b x

a
b

b x

o

a
b

A = ∫a f ( x )dx

A = ∫a [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx
b a

2.微积分基本定理 [其中 ?(x)=f(x)] 微积分基本定理: 其中F? 微积分基本定理

b

a

f (x)dx = F(x) | = F(b) ? F(a)

3.定积分 定积分

b

a

f (x)dx的几何意义 的几何意义:
b a

b

y

x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 f (x )d x =s ∫
y
a

y=f (x) O a y=f (x) bx

O

a

b
b a

x

∫a

b

f (x )d x

=?S

2

( 2 ) ∫1

2

x ? 2x ? 3 dx x
2

( 3) ∫

1

3x 3x

2
3

0

1+ x
2x

dx

( 4) ∫

π

2 0

sin xdx
x

2

( 5) ∫ e dx

1 2 0

( 6 ) ∫1 2
3

dx

( 3) 若f ( x ) =
1 ?1

{ x ( ?1 ≤ x?0)
2

x ( 0 ≤ x ≤ 1)

1.7定积分的简单应用 定积分的简单应用

y

y = f (x)

y
x

y = f (x )

o

a

b

oa
(2)

c
(3)

b

x

(1)

(1) S = ∫ f ( x)dx
a

b

(2) S = ? ∫ f ( x)dx
a

b

(3) S =| ∫ f ( x)dx | + ∫ f ( x)dx = ? ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a c a c

c

b

c

b

y = f (x )
y = g (x )

y

y = f (x )

o

a
y = g (x )

b x
(2)

(1)

? f ( x ) ? g ( x ) ?dx ?. ∫a ?
b

2

2
y

?y = x ?x = 0 ?x = 1 ? ?? 解方程组? 或? 2 ?y = x ?y = 0 ?y =1 ?

y
C o

y 2 = xx B =

y = x2

S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
=∫
1 0

D O

x y = x2 A

xdx ? ∫ x 2 dx
0

1

2 3 x3 1 1 S = ( x - x )dx = ( x 2 ? ) |0 = . 0 3 3 3

1

2

S = S1 + S2 = ∫ = (∫
4 0 4 0 8 8 8

y = 2x

S2

S1

y = x ?4

2 xdx + [ ∫

4 8

2 xdx ? ∫ ( x ? 4)dx]
4
8 0

2 xdx + ∫
3 2 8 0

4

2 xdx) ? ∫ ( x ? 4)dx = ∫
4

2 xdx ? ∫ ( x ? 4)dx
4

8

2 2 1 2 40 8 = x | ?( x ? 4 x) |4 = 3 2 3

1 s = ∫ 2 xdx ? × 4 × (8 ? 4) 0 2 3 2 2 2 8 = x |0 ?8 3 2 2 40 = ×16 2 ? 8 = 3 3
8

1 2 s = ∫ [(4 + y ) ? y ]dy 0 2
4

1 2 1 3 4 = (4y + y ? y )|0 2 6
1 2 1 3 40 = 4× 4 + × 4 ? × 4 = 2 6 3

y = 2x
S1 S1 2

y = x?4
8
y2 = 2 x

? y = 2x ? ? ( 2,?2), (8,4). ?y = x?4
2

S2

S = 2 S1 + S 2 = 2 ∫
2 0

2

0

2 xdx + ∫ ( 2 x ? x + 4)dx
2

8

= ∫ 2 2 xdx + ∫ ( 2 x ? x + 4)dx
2

8

4 2 3 2 2 2 3 1 2 16 64 26 8 2 2 = x |0 +( x ? x + 4 x) |2 = + ? = 18 3 3 2 3 3 3

3 2

? y = x ? 6x ? (0,0),(?2,4),(3,9). ? 2 ?y = x
3

y = x2

A1 = ∫

0

?2

(x ? 6 x ? x )dx
3 2

y = x3 ? 6x

A2 = ∫ ( x ? x + 6 x)dx
2 3 0

3

0 3

A = A1 + A2
2 3

A = ∫? 2 ( x ? 6 x ? x )dx+ ∫0 ( x 2 ? x 3 + 6 x )dx
253 = . 12

A1

y = x2

A2
y = x3 ? 6x

1、变速直线运动的路程 、 设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t) ， 设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， v=v(t) 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离 内运动的距离s 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为

s = ∫ v(t)dt
a

b

v

v = v (t )

O

a

t
b

v /m/s

30

A

B

20
10

o

C t/s
10

20 30

40 50

60

10 40 60 0 10 40

v / m/ s
30

A

B

20
10

o

C t/s
10 20 30
40 50 60

S = ∫ 3tdt + ∫ 30dt + ∫ (? 1.5t + 90 )dt

3 2 40 ? 3 2 ? = t + 30t 10 + ? ? t + 90t ? = 1350(m). 2 0 ? 4 ? 40

10

60

? 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积，即

( 30 + 60) ×30 = 1350 s=
2

2. 变力做功

W = ∫ F(x)dx
a

b

F

y == F ( x )

x
O

a

b

l

Q

l

F

1 2 1 2 由变力作功公式, 得W = ∫ kxdx = kx = kl ( J ). 0 2 2 0 1 2 答 克服弹力所作的功为 kl J . 2

l

q 点为r处的单位电荷受到的电场力由公式： 点为r处的单位电荷受到的电场力由公式：F = k 2 r

+q

? o

?? ? a ?r ?
b

+1

? ?? ?

b

r

w=∫

b

a

? kq = kq ? ? 1 ? = kq? 1 ? 1 ?. ? dr ? r ?a 2 ? a b? ? ? r

3.一物体以速度 v ( t ) = 2t 2 (m/s) 作直线运动, 媒质的 一物体以速度 / ) 作直线运动 , 阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F = 0.7v 2 ,试求在 ( ) ( / ) 时刻 t = 0 (s)到 t = 2 (s)这段时间内阻力做的功. ) )这段时间内阻力做的功.

2

4

0 0 2 2

(s)到 (s)这段时间内阻力做 答 : 在时刻 t = 0 (s) 到 t = 2 (s) 这段时间内阻力做 的功为 102.4J

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