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2016届山东省枣庄市高三上学期期末质量检测(一调)数学(理)试题(扫描版)


二○一六届高三第一学期期末质量检测 高三数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DBDA AACC BD 2016.1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 14.

1 2

12. ?

1 2

13. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1)2

8π 3

15. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解:(1)因为直线 x ?

π 5π 、x? 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图象的两条相邻的对称轴, 4 4 5π π ? ) ? 2π .………………………………2 分 4 4

所以,函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? ( 从而 ? ?

2π 2π ? ? 1 .……………………………………………………………………3 分 T 2π π 对称, 4

因为函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? 所以

π π π ? ? ? ? kπ, k ? Z ,即 ? ? ? kπ, k ? Z .………………………………………5 分 4 2 4 π π π ? ? ? ,所以 ? ? . ………………………………………………………6 分 2 2 4

又因为 ?

π π 4 (2)由(1),得 f ( x) ? sin( x ? ) .由题意, sin(? ? ) ? ? .………………………………7 分 4 4 5
由 ? ? (?

3π π π π π 3 , ? ) ,得 ? ? ? (? ,0) .从而 cos(? ? ) ? .…………………………8 分 4 4 4 2 4 5

π π π π π π sin ? ? sin[(? ? ) ? ] ? sin(? ? )cos ? cos(? ? )sin …………………………10 分 4 4 4 4 4 4
4 2 3 2 7 2 ?? ? ? ? ?? . ………………………………12 分 5 2 5 2 10

17.解:(1)因为 S1 ? a1 , S3 ? a3 , S2 ? a2 成等差数列, 所以 S3 ? a3 ? S1 ? a1 ? S2 ? a2 ? S3 ? a3 .…………………………………………1 分 化简得 4a3 ? a1 .……………………………………………………………………3 分 所以 q 2 ?
a3 1 1 ? . 因为 q ? 0 ,所以 q ? .………………………………………4 分 a1 4 2

1 1 1 故 an ? a1qn?1 ? ? ( )n?1 ? ( )n . ……………………………………………………6 分 2 2 2
(2) bn ?
1 1 1 1 ? ? ? . …………………………………………8 分 (log 2 an )2 [log ( 1 )n ]2 (?n)2 n 2 2 2
n ?1 1 1 1 ? [ ? ]. …………………………………10 分 n 2 ? (n ? 2)2 4 n 2 (n ? 2) 2

cn ? (n ? 1)bn bn ? 2 ?

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn?1 ? cn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( 2 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ) ? ? ? ( ? )?( 2 ? )] 2 2 4 1 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2) 2

1 1 1 1 ? [1 ? 2 ? ? ] 2 4 2 (n ? 1) (n ? 2) 2 1 5 1 1 ? [ ? ? ] ………………………………………………………12 分 4 4 (n ? 1) 2 (n ? 2) 2

18.解: (1)至少有一位学生做对该题的概率为 1 ? P( X ? 0) ? 1 ?

1 3 ? . ………………4 分 4 4

1 1 ? (1 ? )(1 ? m)(1 ? n) ? , ? ? 2 4 (2)由题意,得 ? ………………………………………………6 分 1 1 ? mn ? . ? ?2 24

1 1 又 m ? n ,解得 m ? , n ? . ………………………………………………………8 分 3 4 1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 (3)由题意, a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ………………………………9 分 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 1 11 1 1 b ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ? 1 ? ? ? ? . ……………………10 分 4 24 24 4 1 11 1 1 13 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . …………………………………………12 分 4 24 4 24 12

??? ? ???? ??? ? 19. (1)解法一:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC, DP 所在的方向为 x轴, y轴, z轴 的

正方向,建立空间直角坐标系 D ? xyz. 则 A(2,0,0), P(0,0, 2), D(0,0,0), B(2, 2,0), C (0, 2,0), E (0,1,1) .…………………2 分 z ??? ? ??? ? ???? P 法一: PA ? (2,0, ?2), DB ? (2,2,0), DE ? (0,1,1). ??? ? ??? ? ???? 设 PA ? ? DB ? ? DE, 即 (2,0, ?2) ? ? (2, 2,0) ? ? (0,1,1). E 解得 ? ? 1, ? ? ?2. ??? ? ??? ? ???? 所以 PA ? DB ? 2DE. 又 PA ? 平面 EDB ,所以 PA ? 平面 EDB .…………4 分 法二:取 BD 的中点 G ,则 G(1,1,0). ??? ? ??? ? PA ? (2,0, ?2) , EG ? (1,0, ?1) . ??? ? ???? 所以 PA ? 2 EG ,所以 PA ? EG. 又 PA ? 平面 EDB , EG ? 平面 EDB , 所以 PA ? 平面 EDB .……………………4 分 ??? ? ???? 法三: DB ? (2,2,0), DE ? (0,1,1). 设 n = ( x, y, z ) 为平面 EDB 的一个法向量, ??? ? ???? 则 n ? DB ? 0, n ? DE ? 0 ,即 2 x ? 2 y ? 0, y ? z ? 0.
D A G C
A D C

y
B

x

z
P E

y
B

x

取 y ? ?1 ,则 x ? z ? 1. 于是 n = (1, ?1,1). ??? ? ??? ? ??? ? 又 PA ? (2,0, ?2) ,所以 n ? PA = 1? 2 ? (?1) ? 0 ? 1? (?2) ? 0. 所以 PA ? n . 又 PA ? 平面 EDB ,所以 PA ? 平面 EDB .……………………………………4 分 解法二:连接 AC ,设 AC ? BD ? G. 因为 ABCD 是正方形,所以 G 是线段 AC 的中点. 又 E 是线段 PC 的中点,所以, EG 是△ PAC 的中位 所以 PA ? EG. ………………………………………… 2 又 PA ? 平面 EDB , EG ? 平面 EDB ,

P E
线.

D A G B

C 分

所以 PA ? 平面 EDB .………………………………4 分 ??? ? ??? ? (2)解法一:由(1)中的解法一, PB ? (2,2, ?2) , CB ? (2,0,0) . 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 CPB 的一个法向量, ??? ? ??? ? 则 m ? PB ? 2x1 ? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 , m ? CB ? 2 x1 ? 0 . 取 y1 ? 1 ,则 z1 ? 1 .于是 m ? (0,1,1). ………………7 因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD.
A D

z
P E C



y
B

x

因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? AC. 又 PD ? BD ? D ,所以 AC ? 平面 PDB. ???? 所以 AC ? (?2,2,0) 是平面 PDB 的一个法向量.………………………………10 分

???? 所以 cos ? m, AC ??

1 ? .…………………………………………11 分 2?2 2 2

2

所以,锐二面角 C ? PB ? D 的大小为 60 ? . …………………………………12 分 解法二:如图,设 AC ? BD ? G. 在 Rt △ PDB 中,过 G 作 GF ? PB 于 F ,连接 FC . …………………………5 分 因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 CA ? BD ,即 CG ? BD. …………………………6 因为侧棱 PD ? 底面 ABCD , CG ? 平面 ABCD , 所以 CG ? PD. …………………………………………7 又 CG ? BD , PD ? BD ? D ,所以 CG ? 平面 PDB. 所以 CG ? PB. ………………………………………8 分 又 PB ? GF , CG ? GF ? G ,所以 PB ? 平面 CGF . 所以 PB ? FC . 从而 ?GFC 就是二面角 C ? PB ? D 的一个平面角…………………9 分 在 Rt △ PDB 中, FG ? BG ? sin ?GBF ? BG ?

P


E F G


D A

C B

PD 2 2 ? 2? ? . ……11 分 2 2 PB 3 2 ? (2 2)

在 Rt △ FGC 中, tan ?GFC ?

GC ? FG

2 2 3

? 3. 所以 ?GFC ? 60?.

所以二面角 C ? PB ? D 的大小为 60 ?. ………………………………………………12 分

20.解: (1)设椭圆的半焦距为 c. 因为双曲线 x2 ? y 2 ? 10 的离心率为 2 , 所以椭圆的离心率为
2 c 2 ,即 ? .………………………………………………1 分 2 a 2

由题意,得 2a ? 2 2 .解得 a ? 2. ……………………………………………………2 分 于是 c ? 1 , b2 ? a2 ? c2 ? 2 ? 1 ? 1 .故椭圆的方程为
x2 ? y 2 ? 1 .……………………3 分 2

2 2 2 2 (2) (i)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 . ? 2 ? 2 y1 , x2 ? 2 ? 2 y2

由于点 A 与点 C 关于原点对称,所以 C (? x1 , ? y1 ) .

k AB ? kBC ?

2 2 2 2 2 2 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 1 ? ? 2 ? ? ?? . 2 2 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 (2 ? 2 y2 ) ? (2 ? 2 y1 ) 2( y1 ? y2 ) 2

1 故直线 AB 与 BC 的斜率之积为定值 ? .…………………………………………6 分 2
(ii)设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ).
? ? x ? ty ? 1, 由? 2 消去 x 并整理,得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ? 1 ? 0. ………………………7 分 2 ? ?x ? 2 y ? 2

因为直线 AB 与椭圆交于 A, B 两点,所以 y1 ? y2 ? 法一: | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

2t ?1 , y1 y2 ? 2 . …………8 分 t ?2 t ?2
2

y
A F1 O B F2 C

? [(ty2 ? 1) ? (ty1 ? 1)]2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (t 2 ? 1)( y2 ? y1 )2 ? (t 2 ? 1)[( y2 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 ]
? (t 2 ? 1)[(

x

2t 2 ?1 2 2(t 2 ? 1) ) ? 4 ? ] ? . ………………………………9 分 t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2

点 O 到直线 AB 的距离 d ?

1 t ?1
2

.………………………………………………10 分

因为 O 是线段 AC 的中点,所以点 C 到直线 AB 的距离为 2 d .

S△ABC ?

1 2 2(t 2 ? 1) 1 2 2 t2 ?1 .……………………………11 分 | AB | ?2d ? ? ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ?1

令 t 2 ? 1 ? u ,则 u≥1 .

S△ABC ?

2 2u 2 2 2 2 ? ≤ = 2 ,………………………………………………12 分 2 1 u ?1 u ? 1 2 u? u u

当且仅当 u ? 此 时

1 ,即 u ? 1 ,亦即 t ? 0 时, △ABC 面积的最大值为 2 . u
直 线

AB









x ? ?1 . ………………………………………………………… 13

y
A O F1 B F2 C



1 法二:由题意, S△ABC ? 2S△ABO ? 2 ? ( ? | OF1 | ? | y1 ? y2 |) 2
?| y1 ? y2 | ……………9 分

x

? ( y2 ? y1 )2 ? 4 y1 y2
? ( 2t 2 ?1 ) ? 4? 2 t ?2 t ?2
2

?

2 2 t2 ?1 …………………………………………11 分 t2 ? 2

以下过程同方法一. 21.解:(1) f ?( x) ? 4x3 ln x ? x3 ? 4ax3 .………………………………………………1 分 则 f ?(1) ? 1 ? 4a .又 f (1) ? 0 , 所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (1 ? 4a)( x ? 1) .…………3 分 (2)解法 1:由(1)得 f ?( x) ? x3 (4ln x ? 1 ? 4a) . ① 当 a?

1 1 时, 时,因为 y ? 4ln x ? 1 ? 4a 为增函数,所以当 x… 4

4ln x ? 1 ? 4a… 4ln1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 4a ? 0 ,因此 f ?( x)… 0.

当且仅当 a ?

1 ,且 x ? 1 时等号成立.所以 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数. 4

1 时, f ( x)… f (1) ? 0 . 因此,当 x…

所以, a?

1 满足题意.………………………………………………………………6 分 4
1

② 当a ?

a? 1 1 时,由 f ?( x) ? x3 (4ln x ? 1 ? 4a) ? 0 ,得 ln x ? a ? . 解得 x ? e 4 . 4 4 1

因为 a ?

a? 1 1 ,所以 a ? ? 0 ,所以 e 4 ? e0 ? 1. 4 4

当 x ? (1, e

a?

1 4)

时, f ?( x) ? 0 ,因此 f ( x) 在 (1, e
a? 1 4)

a?

1 4 ) 上为减函数.

所以当 x ? (1, e

时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,不合题意.

1 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, ] .………………………………………………9 分 4 1 解法 2: f ( x) ? x4 ln x ? a( x4 ? 1)… 0 ? ln x ? a(1 ? 4 )… 0. x
令 g ( x) ? ln x ? a(1 ? ① 当 a?
1 4a x 4 ? 4a 1 ?( x) ? ? 5 ? g ,则 .…………………………4 分 ) x x x5 x4

1 1 ,得 x4… 1 时, g ?( x )… 0, 1 . 因此,当 x… 时, 4a? 1 . 由 x… 4 1 ,且 x ? 1 时等号成立. 4

当且仅当 a ?

所以 g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数.
1 时, g ( x)… g (1) ? 0 ,此时 f ( x)… 0. 因此,当 x…

所以, a? ② 当a ?

1 满足题意.…………………………………………………………………7 分 4

1 时,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 4a ? 1 .当 x ? (1, 4 4a ) 时, g ?( x) ? 0 , 4

因此 g ( x) 在 (1, 4 4a ) 上为减函数.所以,当 x ? (1, 4 4a ) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 .

1 此时 f ( x) ? 0 ,不合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 (??, ] .……………………9 分 4
方法 3:当 x ? 1 时, f (1) ? 0 满足题意.
x 4 ln x .…………………………4 分 x4 ? 1 t ln t 1 令 x 4 ? t ,则 ln x ? ln t , t ? 1 .上述不等式可化为 a? . 4( t ? 1) 4 t ln t ? ln t ? t ? 1 令 h (t ) ? ,则 a? h(t ) 在 (1, ??) 上恒成立. h?(t ) ? . 4(t ? 1) 4(t ? 1)2
x ? 1 时, f ( x) ? x4 ln x ? a( x4 ? 1)… 0 ? a?

1 令 p(t ) ? ? ln t ? t ? 1 ,则当 t ? 1 时, p?(t ) ? ? ? 1 ? 0 , p (t ) 在 (1, ??) 上为增函数. t
因此,当 t ? 1 时, p(t ) ? p(1) ? 0 . 所以,当 t ? 1 时, h?(t ) ?
p (t ) ? 0 ,所以 h (t ) 在 (1, ??) 上为增函数.……………6 分 4(t ? 1) 2

令 q(t ) ? t ln t ,由导数定义得 q?(1) ? lim 又 q?(1) ? (t ln t )? |t ?1 ? 1 ,所以 lim
t ?1

q(t ) ? q(1) t ln t . ? lim t ?1 t ?1 t ? 1 t ?1

t ln t ?1. t ?1 t ln t 1 因此,当 t ? 1 时, h(t ) ? 恒大于 .………………………………………8 分 4(t ? 1) 4 1 所以,实数 a 的取值范围是 (??, ] .………………………………………………9 分 4
(3) 由 f ?( x) ? x3 (4ln x ? 1 ? 4a) ? 0 ,得 ln x ? a ?
a? 1 4 ) 时,
a? 1 ,x?e 4. 4 1

当 x ? (0, e

f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( e
a? 1 4)

a?

1 4,

? ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增

函数. 所以 f ( x) 的极小值 ? (a) ? f (e 由 ? ?(a) ? 1 ? e4a ?1 ? 0 ,得 a ?

1 ? a ? e4a ?1 .………………………………10 分 4

1 . 4

1 1 当 a ? (0, ) 时, ? ?(a) ? 0 , ? (a) 为增函数;当 a ? ( , ??) 时, ? ?(a) ? 0 , ? (a) 为减函数.所 4 4

1 以 ? (a)? ? ( )=0 .………………………………………………………………………11 分 4

? (a) ? (e

1 4

1?

1 4a

1 1 1? 1 1? ? e4 a ?1 ) ? a ? e4 a ?1 ? (e 4 a ? e4 a ?1 ) ? a ? e 4 a . 4 4 4
1

1

1

1 1? 0. 下证: a ? 0 时, a ? e 4 a … 4
1? 1 1? 1 1 a ? e 4a … 0 ? 4a… e 4 a ? ln(4a)… ? ln(4a) ? 1? ? 1…0 .………………12 分 4 4a 4a
1

1

令 r (a) ? ln(4a) ?

1 1 4a ? 1 1 . ? 1 ,则 r ?(a) ? ? 2 ? 4a a 4a 4a2 1 1 当 a ? (0, ) 时, r ?(a) ? 0 , r (a ) 为减函数;当 a ? ( , ??) 时, r ?(a) ? 0 , r (a ) 为增函数.所 4 4

1 1 以 r (a)… r ( )=0 ,即 ln(4a) ? ? 1… 0. 4 4a
1 1? 1 1? 1 1? 0 ,即 ? (a) ? (e 4 a ? e4 a ?1 )… 0. 所以 ? (a)… (e 4 a ? e4 a ?1 ). 所以 a ? e 4 a … 4 4 4
1 1 1

综上所述,要证的不等式成立.……………………………………………………14 分


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