tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文章
当前位置:首页 >> 理学 >>

谈傅里叶分析与小波分析


第3卷  第6期 1998 年 12 月

哈尔滨理工大学学报 J OU RNAL HARB IN UN IV 1 SCI1 & TECH1

Vol13 No16 Dec1 , 1998

谈傅里叶分析与小波分析
刘令普   周洪玉   何  湃
( 哈尔滨理工大学)

郝玉斌
( 黑龙江大学)

周  彤
( 黑龙江省计量所)

叶  莽
( 黑龙江省投资总公司)

   摘  要  通过对傅里叶分析和小波分析的详细比较 , 展示小波分析的特点和优越性 , 有助于深化对小波分析的认识和理解 . 关键词   傅里叶变换 ; 小波分析 ; 尺度函数 ; 窗函数 分类号   O17412

小波分析与傅里叶分析都是信号分析和处理的数学工具 . 如果从傅里叶分析出发 , 并通过傅里 叶分析和小波分析的比较去认识和理解小波分析 , 对掌握和运用小波分析会是有益的 .

1  傅里叶分析
对信号进行分析或分解是了解和掌握信号的特征和性质的基本方法 . 傅里叶分析就是一种分析 信号的重要方法 , 它的数学表达方式如下
F (ω) =
Δ

∫ f ( t) e
- ∞



ωt - j

dt

( 1)

Δ

f ( t) =

1 2π

∫ F (ω) e
- ∞



ωt j



( 2)

式中 f ( t ) ∈L 1 ( R) , 即满足

∫|
- ∞



f ( t) | d t < ∞

( 3)

   一般的物理信号皆满足式 ( 3) , 因而傅里叶变换得到了广泛应用 . 当 f ( t ) 是周期信号时 , F (ω) 呈离散状态 , 即 f ( t ) 可用傅里法级数表示为
f ( t) = F ( k) = F ( k) e ∑
k

ωk t j

( 4)
ωk t - j

1

T

∫f ( t ) e
2
-

T

2

T

dt

( 5) T 时间间隔采样 , 采样点 N

其中 ωk =


T

k , k ∈Z , T 为 f ( t ) 的周期 . 若将 f ( t ) 离散化 , 即每隔

数为 N , 并满足采样定理 , 则有

收稿日期 : 1998 - 03 - 09 刘令普   1942 年出生   副教授   仪器仪表学院   150040

80
F ( k) = f ( n) =

哈尔滨理工大学学报
N- 1

第3卷
( 6) ( 7)

n =0

∑f ( n ) W
N- 1 k =0

nk

   k = 0 , 1 , …, N - 1
- nk

1
N

∑F ( k ) W

  n = 0 , 1 , …, N - 1

式中 W = e - i (2π/ N ) ) , 称之为离散傅里叶变换 . 由于库利和图基开创了快速算法 , 即 FF T 算法 , 使 得数字信号处理形成了一个学科 , 并在 70 年代以后得到了飞速发展 . 如果 f ( t ) 不是周期信号而是有限长度信号 , 可以将 f ( t ) 周期延拓 , 将其变为周期信号 . 应用式 ( 6) 和式 ( 7) 仍然是可行的 . 由于采样后 , 频谱发生了周期延拓 , 故需要对采样后的频谱 进行滤波 , 将周期延拓的部分去掉 , 从而恢复原来的信号 , 而不产生失真 , 当 f ( t ) 为无限长信 号时 , 可采用截段方法 , 分段按有限长度信号处理 , 然后用某种方法合成 . 傅里叶分析使得一个信号在一个域中不明显的特征在另外的域中突出出来 , 从而便于人们进行 识别和处理 . 傅里叶分析不但可直接用于频谱分析 , 也可用于卷积 、相关 、滤波等其它运算 , 故成 为信号分析和处理的有力工具 . 但是用傅里叶变换不总是方便有效的 . 这从下述几个方面的讨论可 以看出 . ω) 仅是单变量 ω 的函数 , 它没有提供关于时间的信息 , 而信号的 1) 从式 ( 1) 可以看出 F ( 特征往往可以在某一时刻出现 , 在这种特征发生时 , F (ω) 就难以直观地体现出来 . 当然 F (ω) 的相位可以体现时间的信息 , 但它不直观 . 因而可以说傅里叶变换提取了频率特征而淹没了时间特 征 . 人们自然希望有一种既可以看到频率特征又可以看到时间特征的变换分析方法 . Gabor 变换通 过加窗函数的办法对傅里叶变换加以改进 , 即
a ( Gb f ) (ω) =
Δ

∫(e
- ∞



ω j t

f ( t ) ) g a ( t - b) d t

( 8)

式中 g a ( t ) =

1

2 πa 的信息 , 即在 t = b 时的信息 . 但进一步研究表明 , Gabor 变换的时间 — 频率窗的宽度对于观察所

e 4 a 1 从式 ( 8 ) 可以看出 , Gabor 变换不再是 ω 的单一变量的函数 , 而含 b

- t

2

有频率的谱是不变的 , 这就限制了它对很高或很低频率信号的应用 . 人们当然也希望有这样的时频 窗 , 即当频率较高时 , 频率窗要大 ; 而当频率较低时 , 频率窗可以小 , 但时间窗要大 . 时间窗和频 率宽度的乘积要满足测不准关系 . 2) 从式 ( 6) 可以看出 , 每计算一条谱值需要全部采样值 , 即 { f ( n ) n = 0 … N - 1} . 当信号 只在某一局部变化时 . 都会影响到每一个谱值的变化 . 从而使局部变化的特征 “平淡化” , 而计算 量很大 . 3) 离散傅里叶变换存在栅栏效应 , 频谱泄漏以及混叠失真 . 栅栏效应可以通过添加零值来补 救 , 但频谱泄漏和混叠失真是难以完全克服的 . 为解决频谱泄漏仍需要加窗函数 , 例如汉宁窗 、海 明窗等等 , 增加了傅里叶分析的复杂性 . 4) 傅里叶分析有时会将简单的信号复杂化 , 反而不利于分析 . 例如 f ( t ) =δ( t - t 0 ) , 其傅里叶 变换为 F (ω) = e ( ) ω , u t 为阶跃信号 . 就是说当信 j 号为瞬时脉冲类信号 , 或含奇异点时 , 傅里叶分析将变得复杂起来 , 因而要求采样的速率很高 , 否
jt 0ω

; 再如 f ( t ) = u ( t ) , 其傅里叶变换为 F (ω) =

1

则难以用分析的结果来恢复 .
5) 傅晨叶分析的基函数是正弦信号 , 一般用复数形式 ej t 表示 . 这种信号不属于 L 2 [ R] , 而
ω

一般的物理信号属于 L 2 [ R] . 因而在工程应用中 , 傅里叶变换是用能量无限信号的叠加去逼近 , 难免产生不利的影响 .
6 ) 傅里叶变换给出的是在一系列频率点上的信息 , 可以细腻地反映信号的高低频率特征 . 但

在某种情况下 , 只需了解某一频段的信息 , 这样 , 傅里叶分析便显得过细而无必要 . 由于傅里叶分析的局限性和存在的问题 , 促使人们从理论上和实践上寻求新的分析方法 .

第6期

刘令普等 : 谈傅里叶分析与小波分析

81

2  小波分析
1 x- b )   a , b ∈R  a ≠ 小波分析就是利用形如 { Ψa , b ( x ) = a - 2 Ψ ( 0} 的小波函数族对

a

信号进行分析的一种数学方法 . 小波变换的表达式如下
( WΨf ) ( b , a ) = | a | f ∈L
2
-

1 2

∫ f ( x ) Ψ(
- ∞



x - b )dx a

( 9)

2 ( R) 即 ∫∞ 表示信号 f ( x ) 是能量有限的 . 逆变换为 - ∞| f ( x ) | d x < ∞
Δ

f ( x) =

1


κ

- R

2

( W fΨf ) ( b , a ) a - 2 Ψ (

1

x - b 1 ) 2 d ad b a a

( 10)

其中
CΨ =


-



2 | Ψ ^ (ω) | dω | ω| ∞

( 11)

这里 Ψ ^ ( w ) 为 Ψ ( x ) 的傅里叶变换 . 实现式 ( 10) 变换的条件为
0 < CΨ < ∞
( 12)

由式 ( 12) 和 ( 11) 可以推导出

∫Ψ ( x ) d x
- ∞



= 0

( 13)

称满足式 ( 13) 的小波为允许小波 . 不难看出允许小波是振荡的 , 且其直流成分为零 . 事实上还要 求 Ψ ( x ) 有较快的衰减特性 . 从式 ( 9) 易于看出 , 小波变换将 x 的函数 f ( x ) 变换为 ( W Ψf ) ( a , b) 的三个参数的函数 , 不妨将 x 看作时间 , 那么 b 代表的就是时间参量 , 而 a 反映了频率信 息 , Ψ 对应某种小波函数 , 它不象傅里叶变换具有惟一性 . j j 为便于计算机计算 , 应将 a , b 离散化 . 选择 a0 , b0 , 使 a = a0 , b = kb0 a0 , j , k ∈Z , 波波 函数族变为
- j 2 Ψ ( a 0 x - kb0 ) Ψj , k ( x ) = a0 j

( 14)

一般 a0 > 1 , b0 ≠ 0 , 经常取 a 0 = 2 , b0 = 1 , 于是有 Ψj , k ( x ) = 2 - 2 Ψ ( 2 - j x - k ) 称式 ( 15) 为二进小波 . 式 ( 9) 的小波变换可以进一步表示如下
T [ f ] j , k = < Ψj , k f > = a 0 j j

( 15)

2

Ψ( a ∫

0

- j

x - kb0 ) f ( x ) d x

( 16)

T [? ] 称为小波算子 . 若 Ψ 为允许小波 , T [ ? ] 变换将 L 2 [ R] 映射为 l 2 [ Z2 ]. 通常 T [ ? ] 不

存在逆 . 若存在 A > 0 , B < ∞, f ∈L 2 [ R]
2 A ‖f ‖ ≤
j , k ∈Z

∑|

2 < Ψj , k , f > | 2 ≤ B ‖f ‖

( 17)

则称函数族 { Ψj , k , j , k ∈Z} 为一个框架 , 这时可以从 T [ f ] j , k 重建 f . 式 ( 17 ) 的物理意义可 解释为小波系数的能量约束条件 , 在这个条件下逆映射存在 . 若 A = B , 可有准确的逆映射 . 若 A ≈ B , 重建 f 仍有较高精度 . 重建公式为 2 Ψj , k < Ψj , k , f > ( 18) f = ∑
A + B
j,k

82

哈尔滨理工大学学报

第3卷

   S. Mallat 和 Y. Meye 将小波函数用多分辨分析统一起来 . 他们的研究将小波理论和应用推向 了新阶段 . 多分辨分析是在 L 2 [ R] 中将函数 f 用一系列函数的极限来表示 , 即 :
f = lim Pj f
j →∞

( 19)

而且有
Pj +1 f = Pj f + < Ψj , k , f > p j f 表示 f 在 L
2

( 20)

[ R] 内的一系列嵌套子空间 V j 内的投影 . 由式 ( 20) 递推下去可行到 Pj +1 f = Pj Mf

+ < Ψj , k , f > + < Ψj - 1 , k , f > + … + < Ψj -

M

,f >

( 21)

若 M 选择得使 Pj -

为充分小的 , 则 Pj + 1 f 表示的正是小波分解的表达式 . 设 Pj + 1 f ∈V j + 1 , < Ψj , k f > ∈W j , 于是有
Mf

V j +1 = V j + W j
1

( 22)

设尺度函数 Φ ( x ) ∈V 0 , 小波函数 Ψ ( x ) ∈W 0 , 则由式 ( 22 ) , 显然有 Φ ( x ) , Ψ ( x ) ∈
V 1 . 而 v 1 是由 { Φ1 k ( x )

= 2 2 Φ ( 2 x - k ) , k ∈Z} 生成的 , 所以有

Φ( x ) = Ψ( x ) =

P Φ( 2 x ∑
k
k

- k) - k)

( 23) ( 24)

Q Φ( 2 x ∑
k
k

称为两尺度关系 , 另一方面 , 由于 Φ ( 2 x ) , Φ ( 2 x - 1) ∈V 1 , 且 V 1 = V 0 + W 0 , 所以有 Φ( 2 x - 1) = 称为 Ф与 Ψ 的分解关系 . 若 f j ( x ) ∈V j , g j ( x ) ∈W j , 则有
f j ( x) = gj ( x ) = C Φ( 2 x ∑ d Ψ(2 x ∑
j k j
k

[a ∑
k

l- 2k

Φ( x - k ) + bl - 2 kΨ ( x - k ) ]

( 25)

k) k)

( 26) ( 27)

j k

j

k

可以证明
Ck dk Ck =
j j- 1

= =

j- 1

a ∑ b ∑
l l

j l - 2 k Cl

( 28) ( 29)
j- 1

j l - 2 k Cl

[P ∑
l

j- 1 k- 2 lC l

+ qk - 2 l d l

]

( 30)

从而得到小波分解和重构算法 .

3  小波分析的特点
1) 灵活性   由于小波基函数 Ψ ( x) ) 不是惟一的 , 只要满足允许小波的条件即可 , 因而就有

许多构造小波的方法 . 例如 Harr 小波 , 样条小波等等 . 不同小波具有不同的特性 , 可分别用来逼 近不同特性的信号 , 以便得到最佳结果 . 而傅里叶变换只用正弦函数去逼近任意信号 , 没有选择的 余地 , 因而逼近的效果就不可能完全理想 . 2) 快速性   由于有了多分辨分析这一工具大大提高了小波分析的效率 . 人们易于从尺度函数 和两尺度关系推导出小波系数 , 甚至不需要知道小波函数的解析表达式也可得到分析的结果 . 尺度 函数相当于低通滤波器 , 小波相当于带通滤波器 . 将信号用低通和带通滤波器进行分解 , 显然比用 频率点分解要快捷 . 频带分析从表面上看比频率分析要粗糙 , 然而信号分析的目的 . 在许多情况下 是提取信号的特征 , 同时小波分析并不排除对细节分析的可能性 . 在需要时 , 可以将频带细分下 去 , 起到显微镜的作用 . 这一点是傅里叶分析无法比拟的 .

第6期

刘令普等 : 谈傅里叶分析与小波分析

83

3) 双域性   小波分析是时频分析 , 即可在时域和频域两个域内揭示信号的特征 , 但与 Gabor

变换相比 , 它又具有优越的时频窗 . 在测不准关系的约束下 , 频率较高时 , 它具有较宽的频率窗 , 而在频率较低时 , 它具有较宽的时间窗 , 因而更适合于信号的分析 . 这一点和傅里叶变换的单域性 相比有突出的优越性 . 4) 深刻性   小波理论是建立在实变函数 、复变函数 、泛函分析 、调和分析等近代数学理论基 础上的 , 涉及的知识是广博的 .

4  小波分析与傅里叶分析的关系
小波分析虽然已形成了一门独立的学科 , 但是从其理论体系中不难看出 , 傅里叶分析的方法 、 理论和命题 , 是小波分析理论中不可缺少的部分 . 前文已指出傅里叶分析是频谱分析 , 而小波分析 是频带分析 , 二者具有互补的作用 . 尽管小波分析具有种种优越性 , 但对某些信号 , 傅里叶分析还 是适用的 、方便的 . 本文认为小波分析是对傅里叶分析的发展 , 而傅里叶分析是对小波分析的支撑 ; 它们同是信号 分析中的方法 . 小波理论的进一步发展仍然离不开傅里叶分析的理论和方法 . 参 考 文 献
1  徐佩霞等编著 . 小波分析与应用实例 . 合肥 : 中国科学技术大学出版社 , 1996 2   [ 美 ] 崔锦泰著 . 小波分析导论 . 西安交通大学出版社 , 1995 3  Champeney D C1A Handbook of Fourier Theorems1Cambridge : Cambridge University Press , 1987 4  Goldberg R R1 Fourier Transforms1Cambridge : Cambridge University Press , 1965 5  Chui C K1Approximation Theory and Functional Analysis1Boston : Academic Press , 1991

On Fourier Analysis and Wavelet Analysis
L i u L i ngpu  Zhou Hongy u  He Pai  Hao Y ubi n  Zhou Tong   Ye M ang

Abstract  The feat ure and advantage of t he wavelet analysis is revealed by t he exhaustive compari2 sion between t he Fourier analysis and t he wavelet analysis1 It can deepen t he cognition and t he under2 standing of t he wavelet analysis1 Key words  Fourier t ransform ; wavelet analysis ; scaling f unction ; window f unction ( 审稿 : 邓中兴教授 , 崔明根教授 ; 编辑 : 王剑波)


推荐相关:

谈傅里叶分析与小波分析.pdf

谈傅里叶分析与小波分析 - 维普资讯 http://www.cqvip.com

谈傅里叶分析与小波分析_图文.pdf

谈傅里叶分析与小波分析 - 简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注... 谈傅里叶分析与小波分析_理学_高等教育_教育专区。简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关...

小波分析与傅里叶分析的比较及其在故障诊断中的应用.pdf

小波分析与傅里叶分析的比较及其在故障诊断中的应用 - 第 )+ 卷第 &

对小波与傅里叶分析基础的认识.doc

小波与傅里叶分析基础的认识 - 对小波与傅里叶分析基础的认识 无论是傅立叶变换还是小波变换,其实质都是一样的,既:将信 号在时间域和频率域之间相互转换,...

从傅里叶分析到小波分析_回顾与发展_图文.pdf

傅里叶分析小波分析_回顾与发展 - 计 算机 科学 。。 竺一 从傅 里叶分析小波分析回顾与发展、。、一。。 ‘ 飞 李 建平 后勤 ...

小波分析入门.ppt

小波分析入门 傅里叶分析-Fourier Analysis ? ? ? 傅里叶分析是目前信号分析的基石 傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量 从‘变换’的观点看,傅里叶分析...

论文-浅谈小波分析.doc

本文简要叙述了小波的由来 和发展过程,并且阐述了本人对小波的理解,以及进行了小波分析与傅里叶分析 之间的比较,最后对小波发展进行一些展望。 关键字:小波变换;傅...

小波与傅里叶分析基础.doc

小波与傅里叶分析基础 - 小波分析及其应用 专业: 电子信息工程 班级: 姓名: 学号: 2012 年 05 月 22 日 《小波与傅里叶分析基础》全面论述了小波变换和分数...

小波分析入门_图文.ppt

小波分析入门 - 小波分析入门 傅里叶分析-Fourier Analysis ? ? ? 傅里叶分析是目前信号分析的基石 傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量 从‘变换’的...

小波变换与傅里叶变换的对比、异同.doc

小波变换与傅里叶变换的对比、 小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的...这

小波分析入门ppt课件_图文.ppt

小波分析入门ppt课件 - 小波分析入门 傅里叶分析-Fourier Analysis ? ? ? 傅里叶分析是目前信号分析的基石 傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量 从‘变换...

浅谈基于小波变换的图像压缩与编码技术.pdf

1.1 傅里叶变换与离散傅里叶变换 DFT 1.1.1 傅里叶变换傅里叶(Fourier)变换与小波变换从本质上看无非是研究如何利用简单、初 等的函数近似表达复杂函数(信号...

非平稳信号的快速傅里叶变换与小波分析的比较_图文.pdf

非平稳信号的快速傅里叶变换与小波分析的比较 - (,,( 年第 . 期 总第!(

小波分析与Fourier变换.pdf

小波Fourier 变换 图像处理 小波变换小波Fourier 变换 图像处理 小波变换隐藏>> !""# 年第 $! 期 福 建 电 脑 %% 小波分析与 *+,-./- 变换 任灵萍 $ ...

小波分析理论_图文.ppt

小波分析理论 - 1 第1章 ? 小波分析的基本理论 1.1 傅里叶变换小波分析 ? 1.2 常用小波函数介绍 连续小波变换 1.4 离散小波变换 ?1.3 ? ?1.5 ? ...

基于小波分析的图像压缩方法概述.doc

谈一谈小波分析在图像压缩领域的 应用以及发展前景 开始日期 2014 年 9 月 15...小波分析是一种新 兴的数学分支,它是泛函数、傅里叶分析、调和分析、数值分析...

毕业设计 傅里叶与小波变换在图像去噪中的应用.doc

太原理工大学现代科技学院毕业设计(论文) 傅里叶变换与小波变换在图像去噪中的应用

快速傅里叶和小波变换.ppt

FFT和小波变换基本原理的串讲FFT和小波变换基本原理的串讲隐藏>> 快速傅里叶变换(FFT) 陈 Email:amy0938@hotmail.com 本讲在分析直接计算DFT的特点的基础上介绍...

基于傅里叶和小波变换的电力系统谐波分析_论文.pdf

基于傅里叶和小波变换的电力系统谐波分析 - 针对目前电力系统谐波分析中存在的无法

短时傅里叶变换和小波变换.doc

短时傅里叶变换和小波变换 - 短时傅里叶变换和小波变换 吴桐 (西南交通大学峨眉

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com