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广东省中山市东升高中数学 第一章 集合与函数概念导学案 新人教版必修1高一


1.1.1

集合的含义与表示(1)

探究 2: “好心的人”与“1,2,1”是否构成集合?

学习目标
1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于” 关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举 法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言 的意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集 合元素的三个特征. 新知 2:集合元素的特征 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的, 是互异的,是无序的,即集合元素三特征. 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的 集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情况必 有一种且只有一种成立. 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性:集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两 个集合 . 试试 2:分析下列对象,能否构成集合,并指出元 素: ① 不等式 x ? 3 ? 0 的解; ② 3 的倍数; ③ 方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解; ④ a,b,c,x,y,z; ⑤ 最小的整数; ⑥ 周长为 10 cm 的三角形; ⑦ 中国古代四大发明; ⑧ 全班每个学生的年龄; ⑨ 地球上的四大洋; ⑩ 地球的小河流. 探究 3:实数能用字母表示,集合又如何表示呢? 新知 3:集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用 小写的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于(belong to) 集合 A,记作:a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)集合 A,记作:a ? A. 试试 3: 设 B 表示“5 以内的自然数” 组成的集合, 则5 B,0.5 B, 0 B, -1 B. 探究 4:常见的数集有哪些,又如何表示呢? 新知 4:常见数集的表示 非负整数集(自然数集) :全体非负整数组成的 集合,记作 N; * 正整数集:所有正整数的集合,记作 N 或 N+; 整数集:全体整数的集合,记作 Z; 有理数集:全体有理数的集合,记作 Q; 实数集:全体实数的集合,记作 R.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P2~ P3,找出疑惑之处) 讨论:军训前学校通知:8 月 15 日上午 8 点,高一 年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知 的对象是全体的高一学生还是个别学生?

引入:在这里,集合是我们常用的一个词语,我们 感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、 高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我 们将学习一个新的概念——集合,即是一些研究对 象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要 的数学分支都建立在集合理论的基础上,它还渗透 到自然科学的许多领域,其术语的科技文章和科普 读物中比比皆是,学习它可为参阅一般科技读物和 以后学习数学知识准备必要的条件.

二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:考察几组对象: ① 1~20 以内所有的质数; ② 到定点的距离等于定长的所有点; ③ 所有的锐角三角形; ④ x2 , 3x ? 2 , 5 y3 ? x , x2 ? y2 ; ⑤ 东升高中高一级全体学生; ⑥ 方程 x 2 ? 3 x ? 0 的所有实数根; ⑦ 隆成日用品厂 2008 年 8 月生产的所有童车; ⑧ 2008 年 8 月,广东所有出生婴儿. 试回答: 各组对象分别是一些什么?有多少个对象?

新知 1: 一般 地,我 们把 研究对 象统 称 为元 素 ( element ) , 把 一 些 元 素 组 成 的 总 体 叫 做 集 合 (set). 试试 1:探究 1 中①~⑧都能组成集合吗,元素分 别是什么?
用心

爱心

专心

1

试试 4:填∈或 ? :0

N,0

R,3.7

N,

3.7 Z, ? 3 Q, 3 ? 2 R. 探究 5:探究 1 中①~⑧分别组成的集合,以及常 见数集的语言表示等例子,都是用自然语言来描述 一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐,能否找 到一种简单的方法呢?

确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合 并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各 事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于 1873 年 12 月 7 日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那 一天定为集合论诞生日.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . 新知 5:列举法 A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }” ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 括起来,这种表示集合的方法叫做列举法. 1. 下列说法正确的是( ). 注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a}不同. A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.所有小正数组成一个集合 试试 5:试试 2 中,哪些对象组成的集合能用列举 C.集合 {1, 2, 3, 4, 5} 和 {5, 4, 3, 2,1} 表示同一个集合 法表示出来,试写出其表示.
D. 1, 0 .5,
1 3 6 , , , 2 2 4 1 4

这六个数能组成一个集合

2. 给出下列关系: ①
1 2 ? R

;②

2?Q

;③ ? 3 ? N ? ;④

? 3 ? Q.

※ 典型例题 例 1 用列举法表示下列集合: ① 15 以内质数的集合; ② 方程 x ( x 2 ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合; ③ 一次函数 y ? x 与 y ? 2 x ? 1 的图象的交点组成 的集合.

其中正确的个数为( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3. 直线 y ? 2 x ? 1 与 y 轴的交点所组成的集合为 ( ). A. {0 ,1} B. { (0,1)} C. { ? , 0}
2 1

D. { ( ? , 0 )}
2

1

4. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合, 则: 深圳 A; 广州 A. (填∈或 ? ) 5. “方程 x 2 ? 3 x ? 0 的所有实数根”组成的集合用 列举法表示为____________.

课后作业
变式:用列举法表示“一次函数 y ? x 的图象与二 次函数 y ? x 2 的图象的交点”组成的集合. 1. 用列举法表示下列集合: (1)由小于 10 的所有质数组成的集合; (2)10 的所有正约数组成的集合; (3)方程 x 2 ? 10 x ? 0 的所有实数根组成的集合.

三、总结提升 ※ 学习小结 ①概念:集合与元素;属于与不属于;②集合中 元素三特征;③常见数集及表示;④列举法. ※ 知识拓展 集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创 立的. 1874 年康托尔提出“集合”的概念:把若干
2

2. 设 x∈R,集合 A ? {3, x , x 2 ? 2 x } . (1)求元素 x 所应满足的条件; (2)若 ? 2 ? A ,求实数 x.

新知:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 称为描述法,一般形式为 { x ? A | P } ,其中 x 代表 元素,P 是确定条件. 试试:方程 x 2 ? 3 ? 0 的所有实数根组成的集合,用 描述法表示为 . ※ 典型例题 例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x ( x 2 ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.

§1.1.1

集合的含义与表示(2)

学习目标
1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于” 关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举 法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言 的意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集 合元素的三个特征.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P4~ P5,找出疑惑之处) 复习 1:一般地,指定的某些对象的全体称为 . 其中的每个对象叫作 . 集合中的元素具备 、 、 特征. 集合与元素的关系有 、 . 复习 2:集合 A 若 1∈A,则 x=
? { x ? 2 x ? 1} 的元素是
2



.

练习:用描述法表示下列集合. (1)方程 x 3 ? 4 x ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)所有奇数组成的集合.

复习 3:集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的 元素分别是什么?四个集合有何关系?

二、新课导学 ※ 学习探究 思考: ① 你能用自然语言描述集合 {2, 4, 6, 8} 吗? ② 你能用列举法表示不等式 x ? 1 ? 3 的解集吗?

小结: 用描述法表示集合时,如果从上下文关系来看, x ? R 、 x ? Z 明确时可省略,例如 { x | x ? 2 k ? 1, k ? Z } , { x | x ? 0} . 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)抛物线 y ? x 2 ? 1 上的所有点组成的集合; (2)方程组 ?
?3 x ? 2 y ? 2 ?2 x ? 3 y ? 27

解集.

探究:比较如下表示法 ① {方程 x 2 ? 1 ? 0 的根}; ② { ? 1,1} ; ③
{ x ? R | x ? 1 ? 0} .
2

用心

爱心

专心

3

※ 学习小结 1. 集合的三种表示方法(自然语言、列举法、描 述法) ; 2. 会用适当的方法表示集合; ※ 知识拓展 1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如: (1)所有直角三角形的集合可以表示为: { x | x是 直 角 三 角 形 } ,也可以写成:{直角三角形};
变式:以下三个集合有什么区别. (1) {( x , y ) | y ? x 2 ? 1} ; (2) { y | y ? x 2 ? 1} ; (3) { x | y ? x 2 ? 1} . 反思与小结: ① 描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元 素,如 {( x , y ) | y ? x 2 ? 1} 与 { y | y ? x 2 ? 1} 不同. ② 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略, 例如 { x | x ? 1} , { x | x ? 3 k , k ? Z } . ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思,例如:{整 数},即代表整数集 Z,所以不必写{全体整数}.下 列写法{实数集},{R}也是错误的. ④ 列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题 确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较 多或有无限个元素时,不宜采用列举法. 2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一 个集合,即:文氏图,或称 Venn 图. (2) 集合 {( x , y ) | y ? x 2 ? 1} 与集合 { y | y ? x 2 ? 1} 是 同一个集合吗?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 A ? { x ? N | 1 ? x ? 6} , 则 下 列 正 确 的 是 ( ). A. 6 ? A B. 0 ? A C. 3 ? A D. 3.5 ? A 2. 下列说法正确的是( ). A.不等式 2 x ? 5 ? 3 的解集表示为 { x ? 4} B.所有偶数的集合表示为 { x | x ? 2 k } C.全体自然数的集合可表示为{自然数} D. 方程 x 2 ? 4 ? 0 实数根的集合表示为 {( ? 2, 2)} 3. 一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ? 2 x 的图象的交点组成 的集合是( ). A. {1, ? 2} B. { x ? 1, y ? ? 2}
C. { ( ? 2,1)} D.
?y ? x ?3 {( x, y ) | ? } ? y ? ?2 x

※ 动手试试 练 1. 用适当的方法表示集合: 大于 0 的所有奇数.

练 2. 已 知 集 合 A ? { x | ? 3 ? x ? 3, x ? Z } , 集 合
B ? {( x , y ) | y ? x ? 1, x ? A}
2

4. 用列举法表示集合 A ? { x ? Z | 5 ? x ? 10} 为 . 5. 集 合 A = {x|x=2n 且 n ∈ N} , 2 B ? { x | x ? 6 x ? 5 ? 0} ,用∈或 ? 填空: 4 A,4 B,5 A,5 B.

. 试用列举法分别表示

集合 A、B.

课后作业
1. (1) 设集合 A ? {( x , y ) | x ? y ? 6, x ? N , y ? N } , 试用列举法表示集合 A. (2)设 A={x|x=2n,n∈N,且 n<10},B={3 的 倍数},求属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合.

三、总结提升
4

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:比较下面几个例子,试发现两个集合之间的 关系: * A ? {3, 6, 9} 与 B ? { x | x ? 3 k , k ? N 且 k ? 333} ; C ? {东 升 高 中 学 生 } 与 D ? {东 升 高 中 高 一 学 生 } ; E ? { x | x ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} 与 F ? {0,1, 2} .
2. 若集合 A ? { ? 1, 3} ,集合 B ? { x | x 2 ? a x ? b ? 0} , 且 A ? B ,求实数 a、b.

§1.1.2
学习目标

集合间的基本关系

1. 了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定 集合的子集; 2. 理解子集、真子集的概念; 3. 能利用 Venn 图表达集合间的关系,体会直观图 示对理解抽象概念的作用; 4. 了解空集的含义.

新知:子集、相等、真子集、空集的概念. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素, 我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) ,记作: A ? B ( 或 B ? A ) ,读作: A 包 含 于 ( is contained in ) B , 或 B 包 含 (contains)A. 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B . ② 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部 代表集合,这种图称为 Venn 图. 用 Venn 图表示两 个集合间的“包含”关系为: A ? B (或 B ? A ) . A B

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P6~ P7,找出疑惑之处) 复习 1:集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合. (1)10 以内 3 的倍数; (2)1000 以内 3 的倍数.

③ 集合相等:若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B 中的元 素是一样的,因此 A ? B . ④ 真子集: 若集合 A ? B , 存在元素 x ? B 且 x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) , 记作:A B(或 B A) ,读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A). ⑤ 空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set) 记作:? . 并规定: , 空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集.

复习 2:用适当的符号填空. (1) 0 N; 2 Q; -1.5 R. 2 (2)设集合 A ? { x | ( x ? 1) ( x ? 3) ? 0} , B ? {b} , 则1 A;b B; {1, 3} A. 思考:类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想 集合间是否有类似的“大小”关系呢?

试试:用适当的符号填空. { a , b , c} , a (1) { a , b } (2) ? (3)N (4) {0}
{ x | x ? 3 ? 0}
2

{ a , b , c} ;

{0 ,1} ,Q
2

,? N;

R;

{ x | x ? x ? 0} .

反思:思考下列问题.
用心 爱心 专心 5

(1)符号“ a ? 试举例说明.

A

”与“ { a } ? A ”有什么区别? 变式:若集合 A ? { x | x ? a } , B ? { x | 2 x ? 5 ? 0} ,且 满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

(2)任何一个集合是它本身的子集吗?任何一个 集合是它本身的真子集吗?试用符号表示结论.

※ 动手试试 练 1. 已知集合 A ? { x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0} ,B={1,2}, C ? { x | x ? 8, x ? N } ,用适当符号填空: A B,A C,{2} C,2 C.
练 2. 已知集合 A ? { x | a ? x ? 5} , B ? { x | x ? 2} , 且满足 A ? B , 则实数 a 的取值范围为 .

(3)类比下列实数中的结论,你能在集合中得出 什么结论? ① 若 a ? b, 且 b ? a, 则 a ? b ; ② 若a
? b, 且 b ? c, 则 a ? c

.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号;Venn 图图示;一些结论. 2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等” 两种,可类比两个实数间的大小关系,特别要注意 区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法. ※ 知识拓展 如果一个集合含有 n 个元素, 那么它的子集有 2 n 个,真子集有 2 n ? 1 个.

※ 典型例题 例 1 写出集合 { a , b , c} 的所有的子集,并指出其中 哪些是它的真子集.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列结论正确的是( ). A. ? A B. ? ? {0} C. {1, 2} ? Z D. {0} ? {0,1}
变式:写出集合 {0,1, 2} 的所有真子集组成的集合. 2. 设 A
? ? x x ? 1? , B ? ? x x ? a ? ,且 A ? B

,则实

数 a 的取值范围为( ). A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1 2 3. 若 {1, 2} ? { x | x ? bx ? c ? 0} ,则( A. C. 例 2 判断下列集合间的关系: (1) A ? { x | x ? 3 ? 2} 与 B ? { x | 2 x ? 5 ? 0} ;
b ? ? 3, c ? 2 b ? ? 2, c ? 3

).

B. D.

b ? 3, c ? ? 2 b ? 2, c ? ? 3

4. 满 足 { a , b } ? A ? { a , b , c , d } 的 集 合 A 有 个. 5. 设集合 A ? {四 边 形 }, B ? {平 行 四 边 形 }, C ? {矩 形 } ,
D ? {正 方 形 } , 则它们之间的关系是



(2)设集合 A={0,1},集合 B ? { x | x ? A} ,则 A 与 B 的关系如何?

并用 Venn 图表示.

6

课后作业
1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时, 该产品才合格. 若用 A 表示合格产品的集合,B 表 示质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品 的集合.则下列包含关系哪些成立?
A ? B , B ? A, A ? C , C ? A

思考:实数有加法运算,类比实数的加法运算,集 合是否也可以“相加”呢?

试用 Venn 图表示这三个集合的关系.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:设集合 A ? {4, 5, 6, 8} , B ? {3, 5, 7, 8} . (1)试用 Venn 图表示集合 A、B 后,指出它们的 公共部分(交) 、合并部分(并) ;

2.


2



A ?{

B ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} 且 A ? B

(2)讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两 0 , x? } q 个集合的交、并? ,求实数 p、q 所满足
2

x|

? x

?p

的条件.

新知:交集、并集. ① 一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元 素所组成的集合,叫作 A、 的交集(intersection B set) ,记作 A∩B,读“A 交 B” ,即:
A ? B ? { x | x ? A , 且 x ? B }.

Venn 图如右表示.

A

B

§1.1.3
学习目标

集合的基本运算(1)
② 类比说出并集的定义. 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合,叫做 A 与 B 的并集(union set) ,记作: A ? B ,读作:A 并 B,用描述法表示是: A ? B ? { x | x ? A, 或 x ? B} .

1. 理解交集与并集的概念,掌握交集与并集的区 别与联系; 2. 会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应 用它们解决一些简单问题; 3. 能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示 对理解抽象概念的作用.

Venn 图如右表示.

A

B

试试: ( 1 ) A = {3,5,6,8} , B = {4,5,7,8} , 则 A ∪ B 一、课前准备 = ; (预习教材 P8~ P9,找出疑惑之处) (2)设 A={等腰三角形},B={直角三角形},则 复习 1:用适当符号填空. 2 ; ? ;? 0 {0}; 0 {x|x +1=0,x∈R}; A∩B= (3) ={x|x>3}, ={x|x<6}, A∪B= A B 则 , {0} {x|x<3 且 x>5};x|x>-3} { {x|x>2}; A∩B= . {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5}. (4)分别指出 A、B 两个集合下列五种情况的交集 复习 2:已知 A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则 A 部分、并集部分. S, {x|x∈S 且 x ? A}= . B A(B) A 7 用心 爱心 专心 B A

学习过程

反思:例 2 及变式的结论说明了什么几何意义?

A B

A

B

※ 动手试试 练 1. 设集合 A ? { x | ? 2 ? 求 A∩B、A∪B.

x ? 3} , B ? { x | 1 ? x ? 2} .

反思: (1)A∩B 与 A、B、B∩A 有什么关系?

(2)A∪B 与集合 A、B、B∪A 有什么关系? 练 2. 学校里开运动会,设 A={ x | x 是参加跳高的 同学},B={ x | x 是参加跳远的同学},C={ x | x 是 参加投掷的同学},学校规定,在上述比赛中,每 个同学最多只能参加两项比赛,请你用集合的运算 说明这项规定,并解释 A ? B 与 B ? C 的含义.

(3)A∩A= A∩ ? =

;A∪A= ;A∪ ? =

. .

※ 典型例题 例 1 设 A ? {x | ?1 ? 求 A∩B、A∪B.

x ? 8} , B ? { x | x ? 4 或 x ? ? 5} ,

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质; 2. 求交集、并集的两种方法:数轴、Venn 图. ※ 知识拓展
A ? B ? C)( A ? B) ( A ? C), ( ? ?

变式: A={x|-5≤x≤8},B ? { x | x 若 则 A∩B= ;A∪B=

? 4 或 x ? ? 5} ,

A ? B ? C)( A ? B) ( A ? C), ( ? ?

.

( A ? B) C ? A ? B ? C), ? (

( A ? B) C ? A ? B ? C), ? ( 小结:有关不等式解集的运算可以借助数轴来研 A ? A ? B)? A, A ? A ? B)? A . ( ( 究. 你能结合 Venn 图, 分析出上述集合运算的性质吗? 例 2 设 A ? {( x , y ) | 4 x ? y ? 6} , B ? {( x , y ) | 3 x ? 2 y ? 7} , 求 A∩B.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 设
A ? ? x ? Z x ? 5 ? , B ? ? x ? Z x ? 1? ,

那 么

A? B

等于(

).

A. {1, 2, 3, 4, 5} B. {2, 3, 4, 5} 变式: (1)若 A ? {( x , y ) | 4 x ? y ? 6} , B ? {( x , y ) | 4 x ? y ? 3} , C. {2, 3, 4} D. ? x 1 ? x ? 5? 则A? B ? ; 2. 已知集合 M={(x, y)|x+y=2} N={(x, y)|x , ( , )| } (2) A ? { x y4 x y? 6 ? 若 ,B ? {( x , y ) | 8 x ? 2 y ? 12} , -y=4},那么集合 M∩N 为( ). 则A? B ? . A. x=3, y=-1 B. (3,-1)? C.{3,-1} D.{(3,-1)}
8

3. 设 A ? ? 0,1, 2, 3, 4, 5? , B ? {1, 3, 6, 9}, C ? {3, 7, 8} , 则 等于( ). A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8} 4. 设 A ? { x | x ? a } , B ? { x | 0 ? x ? 3} , 若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围是 . 5. 设
(A ? B) ? C
A ? x x ? 2x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 5x ? 6 ? 0
2 2

?

?

?

?

, 则

A? B

=

.

课后作业
1. 设平面内直线 l1 上点的集合为 L1 ,直线 l 2 上点 的集合为 L 2 ,试分别说明下面三种情况时直线 l1 与 直线 l 2 的位置关系? (1) L1 ? (2) L1 (3) L1 ?
L 2 ? {点 P } ; ? L2 ? ?

一、课前准备 (预习教材 P10~ P11,找出疑惑之处) 复习 1:集合相关概念及运算. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素, 则称集合 A 是集合 B 的 ,记作 . 若集合 A ? B , 存在元素 x ? B 且 x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的 ,记作 . 若 A ? B 且 B ? A ,则 . ② 两个集合的 部分、 部分,分别 是它们交集、并集,用符号语言表示为: A? B ? ; A? B ? . 复习 2:已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B、R 有何关系?

; .

L 2 ? L1 ? L 2

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:设 U={全班同学}、A={全班参加足球队的同 学}、B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系?

2. 若关于 x 的方程 3x +px-7=0 的解集为 A,方程 3x -7x+q=0 的解集为 B, A∩B={ ? 且
2

2

1 3

}, A ? 求

B

.

新知:全集、补集. ① 全集:如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集 (Universe) ,通常记作 U. ② 补集:已知集合 U, 集合 A ? U,由 U 中所有不 属于 A 的元素组成的集合,叫作 A 相对于 U 的补集 (complementary set) ,记作: C U A ,读作: A “ 在 U 中补集” ,即 C U A ? { x | x ? U , 且 x ? A} . 补集的 Venn 图表示如右:

§1.1.3
学习目标

集合的基本运算(2)

说明:全集是相对于所研究问题而言的一个相对 概念,补集的概念必须要有全集的限制. 试试: (1)U={2,3,4},A={4,3},B= ? ,则 C U A = , = ; ( 2 ) 设 U = {x|x<8 , 且 x ∈ N} , A = {x|(x-2)(x-4)(x-5) = 0} , 则 C U A = ; (3) 设集合 A ? { x | 3 ? x ? 8} , ?R A = 则 ;
CU B

1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会 求给定子集的补集; 2. 能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示 对理解抽象概念的作用.

学习过程
用心

(4)设 U={三角形},A={锐角三角形},则 C U
爱心 专心

A

9



.

反思: (1)在解不等式时,一般把什么作为全集?在研 究图形集合时,一般把什么作为全集? (2)Q 的补集如何表示?意为什么?

※ 典型例题 例 1 设 U={x|x<13,且 x∈N},A={8 的正约数}, B={12 的正约数},求 C U A 、 C U B .

练 2. 分别用集合 A、B、C 表示下图的阴影部分.

(1)



(2)



(3) 例 2 设 U=R,A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求 A∩B、A∪B、 C U A 、 C U B .



(4)

.

反思: 结合 Venn 图分析,如何得到性质: (1) A ? ( C U A ) ? , A ? (CU A ) ? (2) C U ( C U A ) ? .



三、总结提升 ※ 学习小结 1. 补集、全集的概念;补集、全集的符号. 2. 集合运算的两种方法:数轴、Venn 图. ※ 知识拓展 试结合 Venn 图分析,探索如下等式是否成立? (1) C U ( A ? B ) ? ( C U A ) ? ( C U B ) ; (2) C U ( A ? B ) ? ( C U A ) ? ( C U B ) .

变式:分别求 C U ( A ?

B)

、 (CU A ) ? (CU B ) .

※ 动手试试 练 1. 已知全集 I={小于 10 的正整数},其子集 A、 B 满足 ( C I A ) ? ( C I B ) ? {1, 9} , ( C I A ) ? B ? {4, 6, 8} , A ? B ? {2} . 求集合 A、B.
10

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设全集 U=R, 集合 A ? { x | x 2 ? 1} , C U A = 则 ( ) A. 1 B. -1,1 C. {1} D. { ? 1,1} 2. 已知集合 U= { x | x ? 0} ,C U A ? { x | 0 ? x ? 2} , 那 么集合 A ? ( ). A. { x | x ? 0 或 x ? 2} B. { x | x ? 0 或 x ? 2} C. { x | x ? 2} D. { x | x ? 2} 2 , 3 , 3. 设 全 集 I ? ? 0 , ? 1 ? , ?? , ?集 合
M ? ?0 ,? 1 ? ?,, 2 N ? ? 0, ? 3, ? 4 ?

§1.1 集合(复习)
学习目标
1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质, 能运行性质解决一些简单的问题,掌握集合的有关 术语和符号; 2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算,体 会直观图示对理解抽象概念的作用.
4

学习过程
). 一、课前准备 (复习教材 P2~ P14,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫交集、并集、补集?符号语言如何 表示?图形语言? A? B ? ; A? B ? ; CU A ? .

,则 ? ?I M ? ? N ? ( B. ? ? 3, ? 4 ? D. ?

A. {0} C. ? ? 1, ? 2?

4. 已知 U={x∈N|x≤10},A={小于 11 的质数},则 CU A = . 5. 定 义 A — B={x|x ∈ A , 且 x ? B} , 若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M= .

课后作业
1. 已知全集 I= {2, 3, a
C I A ? {5} ,求实数 a , b
2

? 2 a ? 3}

,若 A ? {b , 2 } ,

.

复习 2:交、并、补有如下性质. A∩A= ; A∩ ? = ; A∪A= ;A∪ ? = ; A ? (CU A ) ? ; A ? (CU A ) ? . 你还能写出一些吗?
CU (CU A ) ?



二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 设 U=R,A ? { x | ? 5 ? x ? 5} ,B ? { x | 0 ? x ? 7} . 求 A∩B、 ∪B、 U A 、 U B、 C U A)∩(C U B)、 C U A) A C C ( ( ∪(C U B)、C U (A∪B)、C U (A∩B).
2. 已知全集 U=R ,集合 A= ? x x 2 ? p x ? 2 ? 0? ,
B ? ? x x ? 5 x ? q ? 0? ,
2

若 ( C U A ) ? B ? ? 2? , 试用列

举法表示集合 A

用心

爱心

专心

11

小结: (1)不等式的交、并、补集的运算,可以借助数 轴进行分析,注意端点; (2)由以上结果,你能得出什么结论吗? 例 2 已 知 全 集 U ? {1, 2, 3, 4, 5} , 若 A ? B ? U ,
A? B ? ?

, A ? ( C U B ) ? {1, 2} ,求集合 A、B.

※ 动手试试 练 1.
2



A ? { x | x ? ax ? 6 ? 0}
2



B ? { x | x ? x ? c ? 0} ,且

A∩B={2},求 A∪B.

小结: 列举法表示的数集问题用 Venn 图示法、观察法. 练 2. 已知 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时,求实数 m 的取值范围。

例 3 若 A ? ?x

x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? ax ? a ? 1 ? 0
2 2

?

?

?,

C ? x x ? mx ? 1 ? 0
2

?

?

且 A ? B ? A, A ? C ? C

, 求实

数 a、m 的值或取值范围.

练 3. 设 A={x|x -ax+a -19=0} B={x| , x2-5x+6=0} C={x|x2+2x-8=0} , .? (1)若 A=B,求 a 的值; (2)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

2

2

变式:设 A ? { x | x 2 ? 8 x ? 15 ? 0} , B ? { x | ax ? 1 ? 0} , 若 B ? A,求实数 a 组成的集合、.

三、总结提升
12

※ 学习小结 1. 集合的交、并、补运算. 2. Venn 图示、数轴分析. ※ 知识拓展 集合中元素的个数的研究: 有限集合 A 中元素的个数记为 n ( A ) ,
则 n( A ? B ) ? n( A) ? n( B ) ? n( A ? B ) . 你能结合 Venn 图分析这个结论吗? 能再研究出 n ( A ? B ? C ) 吗?

2. 已 知 集 合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若 A∩B=B, 求实数 a 的取值范围.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 2 1. 如果集合 A={ x | ax + 2 x + 1=0}中只有一个元 素,则 a 的值是( ). A.0 B.0 或 1 C.1 D.不能确定 2. 集合 A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=4k,k∈Z}, 则 A 与 B 的关系为( ). ? B A.A B.A ? B ? ?
C.A=B D.A ? B 3. 设全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , 集合 A ? {1, 3, 5} , 集 合 B ? {3, 5} ,则( ). A. U
? A? B

§1.2.1
学习目标

函数的概念(1)

1. 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之 间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用 集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻 画函数概念中的作用; 2. 了解构成函数的要素; 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P15~ P17,找出疑惑之处) 复习 1:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪 些变量?变量之间有什么关系?

B.

U ? (CU A ) ? B

C. U ? A ? ( C U B ) D. U ? ( C U A ) ? ( C U B ) ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 4. 满足条件{1,2,3} ? ? 的个数是 . 2 M ? {y | y ? 3 ? x } 5. 设 集 合 ,
N ? { y | y ? 2 x ? 1}
2

,则 M

? N ?

. 复习 2: (初中对函数的定义)在一个变化过程中, 有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时 y 是 x 的函数,x 是 自变量,y 是因变量. 表示方法有:解析法、列表 法、图象法.

课后作业
1. 设全集 U
2

? { x | x ? 5, 且 x ? N *} ,集合

A ? { x | x ? 5 x ? q ? 0}

, B ? { x | x 2 ? px ? 12 ? 0} ,

且 (CU A ) ?

B ? {1, 2, 3, 4, 5} ,求实数

p、q 的值.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数模型思想及函数概念 问题:研究下面三个实例: A. 一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射 高为 845 米,且炮弹距地面高度 h(米)与时间 t (秒)的变化规律是 h ? 130 t ? 5 t 2 .

B. 近几十年,大气层 中臭氧迅速减少,因而
用心 爱心 专心 13

出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层 空洞面积的变化情况.

C. 国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支
出金额)反映一个国家人民生活质量的高低. “八 五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 年份 1991 1992 1993 1994 1995 ?
恩格尔 系数%

53.8

52.9

50.1

49.9

49.9

?

讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范 围分别是什么?两个变量之间存在着这样的对应 关系? 三个实例有什么共同点?

探究任务二:区间及写法 新知:设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: { x | a ? x ? b } ? [ a , b ] 叫闭区间; { x | a ? x ? b } ? ( a , b ) 叫开区间; { x | a ? x ? b } ? [ a , b ) , x | a ? x ? b } ? ( a , b ] 都叫半 { 开半闭区间. 实数集 R 用区间 ( ? ? , ? ? ) 表示, “∞” “无 其中 读 穷大”“-∞”读“负无穷大”“+∞”读“正无 ; ; 穷大”. 试试:用区间表示. (1) x|x≥a}= { {x|x ≤ b}= {x|x<b}= . (2) { x | x ? 0 或 x ? 1} = (3)函数 y= 值域是 ※ 典型例题
x

、 x|x>a}= {

、 、

归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为,对 于数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在 数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应,记作: f: A ? B . 新知:函数定义. 设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对 应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集 合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么称
f: A ? B

.

的定义域 , . (观察法)

例 1 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 . (1)求 f (3) 的值; (2)求函数的定义域(用区间表示) ; 2 (3)求 f ( a ? 1) 的值.

为从集合 A 到集合 B 的一个函数

(function) ,记作: y ? f ( x ), x ? A . 其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域 (domain) ,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数 值的集合 { f ( x ) | x ? A} 叫值域(range). 试试: (1) 已知 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 , f () 、f (1) 、f ( 2 ) 、 求 0 f ( ? 1) 的值. 变式:已知函数 f ( x ) ? ( 2 ) 函 数 y ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? { ? 1, 0,1, 2} 值 域 是 . 反思: (1)值域与 B 的关系是 三要素是 、 、 (2)常见函数的定义域与值域. 函数 一次函数 二次函数
反比例函数 14
1 x ?1

.

(1)求 f (3) 的值; (2)求函数的定义域(用区间表示) ; 2 (3)求 f ( a ? 1) 的值.

;构成函数的 . 值域

解析式
y ? ax ? b (a ? 0)

定义域

y ? ax ? bx ? c ,
2

其中 a ? 0
y ? k x (k ? 0)

※ 动手试试 练 1. 已 知 函 数
f (? 2 )

f ( x) ? 3x ? 5 x ? 2 求 f ( 3 )、 ,
2

、 f ( a ? 1) 的值.

练 2. 求函数

f (x) ?

1 4x ? 3

的定义域.

2. 已知 y ? f (t ) ? t ? 2 , t ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 . (1)求 t (0 ) 的值; (2)求 f ( t ) 的定义域; (3)试用 x 表示 y.

三、总结提升 ※ 学习小结 ①函数模型应用思想;②函数概念;③二次函数 的值域;④区间表示. ※ 知识拓展 求函数定义域的规则:
① 分式: y ?
f (x) g (x)

,则 g ( x ) ? 0 ;
2n

② 偶次根式: y

?

f ( x ) (n ? N )
*

,则 f ( x ) ? 0 ;

③ 零次幂式: y ? [ f ( x )] 0 ,则 f ( x ) ? 0 .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知函数 g ( t ) ? 2 t 2 ? 1 ,则 g (1) ? ( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数 f ( x ) ? 1 ? 2 x 的定义域是( ).
A. [ , ? ? )
2 1

§1.2.1
学习目标

函数的概念(2)

B.

(

1 2

, ?? )

C. ( ? ? , ]
2

1

D. ( ? ? , )
2

1

1. 会求一些简单函数的定义域与值域, 并能用 “区 间”的符号表示; 2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.

3. 已 知 函 数 f ( x ) ? 2 x ? 3 , 若 f ( a ) ? 1 , 则 a= 学习过程 ( ). 一、课前准备 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 (预习教材 P18~ P19,找出疑惑之处) ? { ? 2 , ? 1 的 0值, 域 , 2 } x , 1 4. 函 数 y ? 2 x, 复习 1: 函数的三要素是 、 、 . 是 . 2 3x 函数 y ? 与 y=3x 是不是同一个函数?为何? 2 x 5. 函数 y ? ? 的定义域是 ,
x

值域是

.(用区间表示)

课后作业
1. 求函数 y
? 1 x ?1

的定义域与值域. 复习 2:用区间表示函数 y=kx+b、y=ax 2 +bx+

c、y= 的定义域与值域,其中 k
x

k

? 0

,a

? 0

.

用心

爱心

专心

15

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:函数相同的判别
讨论: 函数 y=x、 =( y 有何关系?
x

试试:求下列函数的定义域 (用区间表示).
x x
3 2

)2 、= y

、= 4 x4 、= x2 y y

(1) (2)

f (x) ?

x?2 x?3

?

?3x ? 4

; .

f (x) ?

9? x ?

1 x?4

试试:判断下列函数 f ( x ) 与 g ( x ) 是否表示同一个 函数,说明理由? ① f ( x ) = ( x ? 1) 0 ; g ( x ) = 1. ② f ( x ) = x; g ( x ) = ③ f (x) = x ; g ( x) =
2

x

2

.
2

( x ? 1)

. .

④ f (x) = | x | ; g ( x) =

x

2

小结: ① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致, 即称这两个函数相等(或为同一函数) ; ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关 系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无 关.

小结: (1)定义域求法(分式、根式、组合式) ; (2)求定义域步骤:列不等式(组) → 解不等 式(组). 例 2 求下列函数的值域(用区间表示) : (1)y=x 2 -3x+4; (2) (3)y=
?5 x?3
f (x) ? x ? 2x ? 4
2

※ 典型例题 例 1 求下列函数的定义域 (用区间表示).
(1)
f (x) ? x?3 x ?2
2





(4)

f (x) ?

x?2 x?3

.



(2) f ( x ) ? 2 x ? 9 ; (3)
f (x) ? x ?1 ? 1 x?2

.

16

变式:求函数 y

?

ax ? b cx ? d

(ac ? 0)

的值域.

( B.

) A. f ( x ) ? x , g ( x ) ? ( x ) 2
f ( x ) ? x , g ( x ) ? ( x ? 1)
2 2

C. f ( x ) ? 1, g ( x ) ? x 0 小结: 求函数值域的常用方法有: 观察法、配方法、拆分法、基本函数法. D.
? x ( x ? 0) f ( x ) ? | x |, g ( x ) ? ? ?? x ( x ? 0)

4. 函数 f(x) =

x ?1

+

1 2? x

的定义域用区间表 .

※ 动手试试 练 1. 若 f ( x ? 1) ?

2 x ? 1 ,求 f ( x )
2

.

示是 . 5. 若 f ( x ? 1) ? x 2 ? 1 ,则 f ( x ) =

课后作业
1. 设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,求它 的面积 y 关于 x 的函数的解析式,并写出定义域.
? 1 练 2. 一 次 函 数 f ( x ) 满 足 f [ f ( x ) ] ? f (x) . 2,求 x

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 定义域的求法及步骤; 2. 判断同一个函数的方法; 3. 求函数值域的常用方法. ※ 知识拓展 对于两个函数 y ? f ( u ) 和 u ? g ( x ) ,通过中间变 量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么称它为函数 y ? f ( u ) 和 u ? g ( x ) 的复合函数, 记作 y ? f ( g ( x )) .
例如 y
? x ?1
2

2. 已知二次函数 f(x)=ax +bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件 f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有等根,求 f(x)的解析式.

2

由 y ? u 与 u ? x 2 ? 1 复合.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1? x ? x ? 3 ?1 定 义 域 是 1. 函 数 f ( x )? 的 ( ). A. [ ? 3,1] B. ( ? 3,1) C. R D. ?
2. 函数 y A. C.
? 2x ?1 3x ? 2 1 3 (?? , ? 1 2 ) ? (?

§1.2.2
学习目标

函数的表示法(1)

的值域是(
1 3 1 2
f ( x )与 g ( x )

).
(?? , 2 3 )?( 2 3 , ?? )

(?? , ?

) ? (?

, ?? ) , ?? )

B.

D. R 的图象相同的是
用心

1. 明确函数的三种表示方法(解析法、列表法、 图象法) ,了解三种表示方法各自的优点,在实际 情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函 数; 2. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简 单应用.

3. 下 列 各 组 函 数

爱心

专心

17

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P19~ P21,找出疑惑之处) 复习 1: (1) 函数的三要素是 、 、 (2)已知函数
1 f( ) x f (x) ? 1 x ?1
2

. , .

,则 f (0 ) ?

=

,f ( x ) 的定义域为

(3)分析二次函数解析式、股市走势图、银行利 率表的表示形式. 变式:作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y (元). 试用三种方法表示此实例中的函数.

复习 2:初中所学习的函数三种表示方法?试举出 日常生活中的例子说明.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:函数的三种表示方法 讨论:结合具体实例,如:二次函数解析式、股市 走势图、 银行利率表等, 说明三种表示法及优缺点.
反思: 例 1 及变式的函数图象有何特征?所有的函数都 可用解析法表示吗?

小结: 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应 关系. 优点:简明;给自变量求函数值. 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势. 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关 系. 优点:不需计算就可看出函数值. ※ 典型例题 例 1 某种笔记本的单价是 2 元,买 x (x∈{1,2, 3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用三种表示法表 示函数 y ? f ( x ) .

例 2 邮局寄信,不超过 20g 重时付邮资 0.5 元,超 过 20g 重而不超过 40g 重付邮资 1 元. 每封 x 克 (0<x≤40)重的信应付邮资数 y(元). 试写出 y 关于 x 的函数解析式,并画出函数的图象.

变式: 某水果批发店,100 kg 内单价 1 元/kg, 500 kg 内、100 kg 及以上 0.8 元/kg,500 kg 及 以上 0.6 元/kg,试写出批发 x 千克应付的钱数 y (元)的函数解析式.
18

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 如下图可作为函数 y ? f ( x ) 的图象的是 ( ) .

试试:画出函数 f(x)=|x-1|+|x+2|的图象. A. B. C. 2. 函数 y ? | x ? 1 | 的图象是( D. ).

A. 小结: 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围 的 x,对应法则不同). 在生活实例有哪些分段函 数的实例? 3. 设 (

B.

C.

D. ,若 f ( x ) ? 3 ,则 x=

? x ? 2, ( x ≤ ? 1) ? 2 f ( x) ? ? x , (?1 ? x ? 2) ? 2 x, ( x ≥ 2) ?

) A. 1 B.
? 3

※ 动手试试
练 1. 已知 f ( x ) ? ?
f [ f ( ? 1)] 的值.
? 2 x ? 3 , x ? (? ? , 0 ) ? 2 x ? 1, x ? [0, ? ? )
2

C.

3 2

D.

3

,求 f ( 0 ) 、

4. 设 函 数 f ( x ) = ?

? x 2+ 2 (x ?

?

2)

? 2 x (x< 2 ) ?

, 则 f ( ? 1)

= . 5. 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2 ? x ) ? f (2 ? x ) ,且 图象在 y 轴上的截距为 0,最小值为-1,则函数 . f ( x ) 的解析式为

课后作业
练 2. 如图,把截面半径为 10 cm 的圆 形木头锯成矩形木料, 如果矩形的边长 为 x ,面积为 y ,把 y 表示成 x 的函数. 1. 动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始运动一周, 设沿正方形 ABCD 的运动路程为自变量 x, 写出 P 点 与 A 点距离 y 与 x 的函数关系式,并画出函数的图 象.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数的三种表示方法及优点; 2. 分段函数概念; 3. 函数图象可以是一些点或线段. ※ 知识拓展 任 意 画 一 个 函 数 y=f(x) 的 图 象 , 然 后 作 出 y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象,并尝试简要说明 三者(图象)之间的关系.

2. 根据下列条件分别求出函数 f ( x ) 的解析式. (1) f ( x ?
1 x )? x ?
2

1 x
2

; (2) f ( x ) ?

1 2 f ( ) ? 3x x

.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 (
用心

) .
爱心 专心 19

§1.2.2
学习目标

函数的表示法(2)

1. 了解映射的概念及表示方法; 2. 结合简单的对应图示,了解一一映射的概念; 3. 能解决简单函数应用问题.

新知:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果 按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任 意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集 合 B 的一个映射(mapping) .记作“ f : A ? B ” 关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. 试试: 分析例 1 ①~③是否映射?举例日常生活中 的映射实例?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P22~ P23,找出疑惑之处) 复习:举例初中已经学习过的一些对应,或者日常 生活中的一些对应实例: ① 对于任何一个 ,数轴上都有唯一的 点 P 和它对应; ② 对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的 和它对应; ③ 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积 和它对应; ④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确 定的座位与它对应. 你还能说出一些对应的例子吗?

反思: ① 映射的对应情况有 、 , 一对多是映射吗? ② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若 将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空 集合” ,按照某种法则可以建立起更为普通的元素 之间的对应关系,即映射.

讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点?

※ 典型例题 例 1 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则, 哪些是 映射,哪些是一一映射? (1)A={P | P 是数轴上的点},B=R; (2)A={三角形},B={圆}; (3)A={ P | P 是平面直角体系中的点}, B ? {( x , y ) | x ? R , y ? R } ; (4) A={高一学生},B= {高一班级}.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:映射概念 探究 先看几个例子,两个集合 A、B 的元素之间的 一些对应关系,并用图示意. ① A ? {1, 4, 9} , B ? { ? 3, ? 2, ? 1,1, 2, 3} ,对应法则: 开平方; ② A ? { ? 3, ? 2, ? 1,1, 2, 3} , B ? {1, 4, 9} ,对应法则: 平方;
③ A ? {30 ? , 45 ? , 60 ?} , 则:求正弦.
B ? {1, 2 2 , 3 1 , }, 2 2

变式:如果是从 B 到 A 呢?

对应法

试试:下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射 (1)A ? ?1, 2, 3, 4 ? , B ? ? 2, 4, 6, 8? , 对应法则是 “乘以 2” ; (2)A= R*,B=R,对应法则是“求算术平方根” ; (3) A ? ? x | x ? 0? , B ? R,对应法则是“求倒数”.

20

全,规定在此地段内,车距 d 是车速 v(千米/小 时)的平方与车身长 s(米)的积的正比例函数, 且最小车距不得小于车身长的一半.现假定车速为 50 公里/小时时,车距恰好等于车身上,试写出 d 关于 v 的函数关系式(其中 s 为常数).

※ 动手试试 练 1. 下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? (1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}, 对应法则 f : x ? 2 x ? 1 ;
(2) A ? N * , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x 除以 2 得的余数; (3) A ? N , B ? {0,1, 2} , f : x ? x 被 3 除所得的 余数; (4)设 X
? {1, 2, 3, 4}, Y ? {1, 1 1 1 1 , , } f :x? 2 3 4 x

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在映射 f : A ? B 中, A ? B ? {( x , y ) | x , y ? R } , 且 f : ( x, y ) ? ( x ? y, x ? y ) , 则与 A 中的元素 ( ? 1, 2) 对应的 B 中的元素为( ). A. ( ? 3,1) B. (1, 3) C. ( ? 1, ? 3) D. (3,1)
2.下列对应 f : A ? B : ① A ? R , B ? ? x ? R x ? 0? , f : x ? x ; ② A ? N , B ? N *, f : x ? x ? 1 ; ③A
? ? x ? R x ? 0? , B ? R , f : x ? x .
2



(5) A ? { x | x ? 2, x ? N }, B ? N , f : x ? 小于 x 的 最大质数.

不是从集合 A 到 B 映射的有( ). A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 3. 已知 A. 0 4. 若
? ? a , b ? , B ? ? ? 1, 0,1? , 从集合

? 0 ( x ? 0) ? f ( x ) ? ? ? ( x ? 0) ? x ? 1( x ? 0) ?

, f { [ (]) ? 则 f f }1 D.无法求 .
x ?1

= (



B. ?
1 x

C.

1??

f( )? x 1? x

, 则 f ( x) =
2

练 2. 已知集合 A

A到

5. 已 知 f(x)=x ?1 , g(x)= = .

则 f[g(x)]

集合 B 的映射,试问能构造出多少映射?

课后作业
1. 若函数 y ? f ( x ) 的定义域为[?1,1],求函数
y ? f (x ? 1 4 )? f ( x ? 1 4 )

的定义域.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 映射的概念; 2. 判定是否是映射主要看两条:一条是 A 集合中 的元素都要有对应,但 B 中元素未必要有对应;二 条是 A 中元素与 B 中元素只能出现 “一对一” “多 或 对一”的对应形式. ※ 知识拓展 在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安
用心

2. 中山移动公司开展了两种通讯业务: “全球通” , 月租 50 元,每通话 1 分钟,付费 0.4 元; “神州行” 不缴月租,每通话 1 分钟,付费 0.6 元. 若一个月 内通话 x 分钟,两种通讯方式费用分别为 y1 , y 2 (元). (1)写出 y1 , y 2 与 x 之间的函数关系式? (2)一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费 用相同?
专心 21

爱心

(3)若某人预计一个月内使用话费 200 元,应选 择哪种通讯方式?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:单调性相关概念 思考:根据 f ( x ) ? x ? 2 、 f ( x ) ? x 2 ( x ? 0) 的图象 进行讨论: x 的增大, 随 函数值怎样变化?当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样?

§1.3.1

单调性与最大(小)值 (1)

问题:一次函数、二次函数和反比例函数,在什么 区间函数有怎样的增大或减小的性质?

学习目标
1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数 的单调性及其几何意义; 2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调 性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义 域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区 间 D 上是增函数(increasing function). 试试:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P27~ P29,找出疑惑之处) 引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型, 那么能否发现变化中保持不变的特征呢?

新知: 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减 函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性,区间 D 叫 f(x)的单调区间. 反思: ① 图象如何表示单调增、单调减? ② 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调 区间有什么关系? ③ 函数 f ( x ) ? x 2 的单调递增区间是 , 单调递减区间是 . 试试:如图,定义在[-5,5]上的 f(x),根据图象说 出单调区间及单调性.

复习 1:观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律: ① 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ② 能否看出函数的最大、最小值? ③ 函数图象是否具有某种对称性?

复习 2:画出函数 f ( x ) ? x ? 2 、 f ( x ) ? x 2 的图象.

※ 典型例题 例 1 根据下列函数的图象, 指出它们的单调区间及 单调性,并运用定义进行证明.
(1) f ( x ) ? ? 3 x ? 2 ; (2) 小结:描点法的步骤为:列表→描点→连线.
22
f (x) ? 1 x

.

练 2. 指出下列函数的单调区间及单调性. (1) f ( x ) ? | x | ; (2) f ( x ) ? x 3 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 增函数、减函数、单调区间的定义; 2. 判断函数单调性的方法(图象法、定义法). 3. 证明函数单调性的步骤:取值→作差→变形→ 定号→下结论.
变式:指出 y ? kx ? b 、 y
? k x (k ? 0) ? k V

的单调性.

※ 知识拓展
函数
f ( x) ? x ? a x ( a ? 0 ) 的增区间有 [ a , ? ? )

例 2 物理学中的玻意耳定律 p

(k 为正常数) ,



告诉我们对于一定量的气体,当其体积 V 增大时, 压强 p 如何变化?试用单调性定义证明.

( ? ? , ? a ] ,减区间有 (0,

a ] 、 [ ? a , 0)

.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x 的单调增区间是( ) A. ( ? ? ,1] B. [1, ? ? ) C. R D.不存在 2. 如果函数 f ( x ) ? kx ? b 在 R 上单调递减,( ) 则 A. k ? 0 B. k ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 3. 在区间 ( ? ? , 0 ) 上为增函数的是( )
A. y ? ? 2 x B. y ? D. y
2 x
2

小结: ① 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判 别代数式的符号; ② 证明函数单调性的步骤: 第一步:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; 第二步:计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简; 第三步:判断差的符号; 第四步:下结论.

C. y ? | x |

? ?x

4. 函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性是 5. 函数 f ( x ) ? | x ? 2 | 的单调递增区间是 单调递减区间是 .

. ,

课后作业
1. 讨论
f (x) ? 1 x?a

的单调性并证明.

※ 动手试试
练 1. 求 证
[1, ? ? )
f (x) ? x ? 1 x

的 (0,1) 上 是 减 函 数 , 在

是增函数.

用心

爱心

专心

23

探究任务:函数最大(小)值的概念 思考:先完成下表, 函数 最高点
? 2. 讨 论 f ( x ) ? a x ? b x? c( a 0 )的 单 调 性 并 证 明.
2

最低点

f ( x) ? ?2 x ? 3 f ( x) ? ?2 x ? 3
2

, x ? [ ? 1, 2 ]

f (x) ? x ? 2 x ? 1
f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 , x ? [ ? 2, 2 ]
2

讨论体现了函数值的什么特征?

新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;存在 x0 ∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x) 的最大值(Maximum Value). 试试:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义.

§1.3.1

单调性与最大(小)值 (2)

反思: 一些什么方法可以求最大(小)值?

学习目标
1. 理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

※ 典型例题 例 1 一枚炮弹发射,炮弹距地面高度 h(米)与时 间 t(秒)的变化规律是 h ? 130 t ? 5 t 2 ,那么什么时 刻距离地面的高度达到最大?最大是多少?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P30~ P32,找出疑惑之处) 复习 1:指出函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0) 的单调 区间及单调性,并进行证明. 变式:经过多少秒后炮弹落地?

复习 2:函数 f ( x ) ? a x2 ? b x ? c ( a? 0 ) 的最小值 为 值为 , f (x) ? .
ax ? bx ? c ( a ? 0)
2

试试:一段竹篱笆长 20 米,围成一面靠墙的矩形 菜地,如何设计使菜地面积最大?

的最大

复习 3:增函数、减函数的定义及判别方法. 小结: 数学建模的解题步骤:审题→设变量→建立函数 模型→研究函数最大值.

二、新课导学 ※ 学习探究
24

例 2 求y?

3 x?2

在区
房价(元) 住房率(%)

间[3,6]上的最大值 和最小值.

160 140 120 100

55 65 75 85

练 2. 一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时 间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如 右: 欲使每天的的营业额最高,应如何定价?

变式:求 y

?

3? x x?2

, x ? [3, 6 ] 的最大值和最小值.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数最大(小)值定义;. 2. 求函数最大(小)值的常用方法:配方法、图 象法、单调法.
小结: 先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大 (小)值. 试试: 函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 2, x ? [0,1] 的最小值为 最大值为 . 如果是 x ? [ ? 2,1] 呢? ,

※ 知识拓展 求二次函数在闭区间上的值域,需根据对称轴 与闭区间的位置关系,结合函数图象进行研究. 例 如求 f ( x ) ? ? x 2 ? ax 在区间 [ m , n ] 上的值域, 则先求
得对称轴 x ?
m ?n ? a 2 ? n

a 2

,再分
a 2 ? n

a 2

? m

、m

?

a 2

?

m ?n 2



※ 动手试试 练 1. 用多种方法求函数 y



等四种情况,由图象观察得

2

? 2x ?

x ?1

最小值.

解.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 f ( x ) ? 2 x ? x 2 的最大值是( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数 y ? | x ? 1 | ? 2 的最小值是( ). A. 0 B. -1 C. 2 D. 3 3. 函数 y ? x ? x ? 2 的最小值是( ).
变式:求 y ? x ? 1 ? x 的值域. A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 4. 已知函数 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称,且在区间 ( ? ? , 0 ) 上,当 x ? ? 1 时, f ( x ) 有最小值 3,则在区 间 (0, ? ? ) 上 , 当 x ? 时 , f (x) 有 最 值 为 . 5. 函数 y ? ? x 2 ? 1, x ? [ ? 1, 2] 的最大值为 , 最小值为 .
用心 爱心 专心

25

课后作业
1. 作出函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的简图,研究当自变量 x 在下列范围内取值时的最大值与最小值. ? 0 (1) 1 ? x ? 0 ; (2) ? x ? 3 ; 3) ? ( ? ? , ? ? ) . ( x 复习 2: 对于 f(x)=x、 (x)=x 2 、 (x)=x 3 、 (x) f f f 4 =x ,分别比较 f(x)与 f(-x).

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:奇函数、偶函数的概念 思考:在同一坐标系分别作出两组函数的图象:
(1) f ( x ) ? x 、
f (x) ? 1 x

、 f ( x) ? x3 ;

2. 如图,把截面半径为 10 cm 的圆形木 头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x , 面积为 y , 试将 y 表示成 x 的函数, 并画 出函数的大致图象,并判断怎样锯才能 使得截面面积最大?

(2) f ( x ) ? x 2 、 f ( x ) ? | x | . 观察各组图象有什么共同特征?函数解析式在 函数值方面有什么特征?

新知:一般地,对于函数 f ( x ) 定义域内的任意一个 x ,都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ,那么函数 f ( x ) 叫偶函数 (even function). 试 试 : 仿 照 偶 函 数 的 定 义 给 出 奇 函 数 ( odd function)的定义.

§1.3.2
学习目标

奇偶性

1. 理解函数的奇偶性及其几何意义; 2. 学会判断函数的奇偶性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

反思: ① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别? ② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称, 图象关于 对称. 试试:已知函数
f (x) ? 1 x
2

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P33~ P36,找出疑惑之处) 复习 1:指出下列函数的单调区间及单调性. (1) f ( x ) ? x 2 ? 1 ; (2)
f (x) ? 1 x

在 y 轴左边的图象如图所 示,画出它右边的图象.

※ 典型例题
26

例 1 判别下列函数的奇偶性: (1) (3)
f (x) ?
3

x

4


4 2

(2) ; (4)

f (x) ?

4

x

3


1 x
3

f ( x) ? ?3x ? 5 x

f (x) ?

3

x ?

.

变式:已知 f(x)是偶函数,且在[a,b]上是减函数, 试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调性,并给出证明.

小结:设→转化→单调应用→奇偶应用→结论. 小结:判别方法,先看定义域是否关于原点对称, 再计算 f ( ? x ) ,并与 f ( x ) 进行比较. 试试:判别下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|+|x-1|; (2)f(x)=x+ (3) (x)= f
x 1? x
2

※ 动手试试 练 习 : 若 f ( x) ? f ( 7 ).

a x ? b x? 5 , 且 f ( ? 7 )? 1 7, 求
3

1 x





(4) (x)=x 2 , x∈[-2,3]. f

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征; 2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质. 3. 判断函数奇偶性的方法:图象法、定义法.
例 2 已知 f(x)是奇函数, 且在(0,+∞)上是减函数, ※ 知识拓展 定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由 判断 f(x)的(-∞,0)上的单调性,并给出证明. 图象对称性可以得到,奇函数在关于原点对称区间 上单调性一致,偶函数在关于原点对称区间上的单 调性相反.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
用心 爱心 专心 27

1. 对于定义域是 R 的任意奇函数 f ( x ) 有( ). A. f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 B. f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 C. f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 D. f (0) ? 0 2. 已知 f ( x ) 是定义 ( ? ? , ? ? ) 上的奇函数,且 f ( x ) 在 ? 0, ? ? ? 上 是 减函 数 . 下 列 关系 式 中 正确 的 是 ( ) A. f (5) ? f ( ? 5) C. f ( ? 2 ) ? f ( 2 ) 3. 下列说法错误的是( A.
f (x) ? x ? 1 x

§1.3 函数的基本性质(练习)
学习目标
1. 掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小 值、奇偶性) ; 2. 能应用函数的基本性质解决一些问题; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

B. f (4) ? f (3) D. f ( ? 8) ? f (8) ).

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P27~ P36,找出疑惑之处) 复习 1:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、 增函数、减函数、最大值、最小值?

是奇函数

B. f ( x ) ? | x ? 2 | 是偶函数 C. f ( x ) ? 0, x ? [ ? 6, 6] 既是奇函数,又是偶函数 D.
f (x) ? x ? x
3 2

x ?1

既不是奇函数,又不是偶函数

) x 2? | x ?|的 奇 偶 性 2 | 4. 函 数 f ( x? | ? 是 . 5. 已知 f(x)是奇函数, 且在[3,7]是增函数且最大 值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上是 函数,且最 值为 .

课后作业
1. 已 知 f ( x ) 是 奇 函 数 , g ( x ) 是 偶 函 数 , 且
f (x) ? g (x) ? 1 x ?1

复习 2:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函 数、减函数、最大值、最小值的定义?

,求 f ( x ) 、 g ( x ) .

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 作出函数 y=x 2 -2|x|-3 的图象,指出单调 区间及单调性.
f 2. 设 f ( x ) 在 R 上是奇函数, x>0 时, ( x ) ? x (1 ? x ) , 当 试问:当 x <0 时, f ( x ) 的表达式是什么?

28

小结: 利用偶函数性质, 先作 y 轴右边,再对称作. 2 变式:y=|x -2x-3| 的图象如何作?

小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决 有关最大值和最大值问题 ※ 动手试试 练 1. 判断函数 y= 反思: 如何由 f ( x ) 的图象,得到 f (| x |) 、| f ( x ) | 的图象?
x?2 x ?1

单调性,并证明.

例 2 已知 f ( x ) 是奇函数,在 (0, ? ? ) 是增函数,判 断 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上的单调性,并进行证明. 练 2. 判别下列函数的奇偶性: (1)y=
1? x



1? x

; (2)y= ?

?? x 2 ? x( x ? 0) ? ? x ? x( x ? 0) ?
2

.

反思: 奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系? (偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ; 奇函数在关于原点对称的区间上单调性 ) 例 3 某产品单价是 120 元,可销售 80 万件. 市场 调查后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万件, 写出销售金额 y(万元)与 x 的函数关系式,并求当 降价多少元时,销售金额最大?最大是多少? 练 3. 求函数
f (x) ? x ? 1 x ( x ? 0)

的值域.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数单调性的判别方法:图象法、定义法.
用心 爱心 专心 29

2. 函数奇偶性的判别方法:图象法、定义法. 3. 函数最大(小)值的求法:图象法、配方法、 单调法.

※ 知识拓展 形如 f (| x |) 与 | f ( x ) | 的含绝对值的函数,可以 化分段函数分段作图,还可由对称变换得到图象. f (| x |) 的图象可由偶函数的对称性,先作 y 轴右侧 的图象,并把 y 轴右侧的图象对折到左侧. | f ( x ) | 的图象,先作 f ( x ) 的图象,再将 x 轴下方的图象沿 x 轴对折到 x 轴上方.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ? x 2 ? b x ? c ( x ? ( ? ? ,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 ( ). A. b ? ? 2 B. b ? ? 2 C . b ? ? 2 D. b ? ? 2 2. 下 列 函 数 中 , 在 区 间 (0, 2 ) 上 为 增 函 数 的 是 ( ). A. y ? ? x ? 1 B. y ? x
C. y ? x 2 ? 4 x ? 5 3. 已知函数 y= A. a ? 0 C. c ? 0
ax ? b
2

第一章 集合与函数的概念(复习)
学习目标
1. 理解集合有关概念和性质,掌握集合的交、并、 补等三种运算的,会利用几何直观性研究问题,如 数轴分析、Venn 图; 2. 深刻理解函数的有关概念,理解对应法则、图 象等有关性质,掌握函数的单调性和奇偶性的判定 方法和步骤,并会运用解决实际问题.

D. y ?

2 x

x?c

为奇函数,则(

).

B. b ? 0 D. a ? 0 . ,

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P2~ P45,找出疑惑之处) 复习 1:集合部分. ① 概念:一组对象的全体形成一个集合 ② 特征:确定性、互异性、无序性 ③ 表示:列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P} ④ 关系:∈、 ? 、 ? 、 、= ⑤ 运算:A∩B、A∪B、 C U A ⑥ 性质:A ? A; ? ? A,?. ⑦ 方法:数轴分析、Venn 图示.

4. 函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域为 5. f ( x ) ? x 2 ? 4 x 在 [0 , 3] 上的最大值为 最小值为 .

课后作业
1. 已知 f ( x ) 是定义在 ( ? 1,1) 上的减函数,且 f (2 ? a ) ? f ( a ? 3) ? 0 . 求实数 a 的取值范围.

复习 2:函数部分. ① 三要素:定义域、值域、对应法则; ② 单调性: f ( x ) 定义域内某区间 D, x1 , x 2 ? D ,
x1 ? x 2
x1 ? x 2

时,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 f ( x )

的 D 上递增;

2. 已知函数 f ( x ) ? 1 ? x 2 . (1)讨论 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (2)讨论 f ( x ) 的单调性,并证明.

时, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 f ( x ) 的 D 上递减. ③ 最大(小)值求法:配方法、图象法、单调法. ④ 奇偶性:对 f ( x ) 定义域内任意 x, f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? 奇函数; ? 偶函数. f (? x) ? f ( x) 特点:定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称.

二、新课导学
30

※ 典型例题 例 1 设集合 A ? { x | x 2
2

? ax ? a ? 19 ? 0} ,
2 2

B ? { x | x ? 5 x ? 6 ? 0} , C ? { x | x ? 2 x ? 8 ? 0} .

(1)若 A ? (2)若 ? (3)若 A ?

= A ? B ,求 a 的值; A ? B ,且 A ? C = ? ,求 a 的值; B = A ? C ? ? ,求 a 的值.
B

例 2 已 知 函 数 f (x) 是 偶 函 数 , 且
f (x) ? 1? x 1? x

x?0

时,

.

(1)求 f (5) 的值; (2)求 f ( x ) ? 0 时 x 的值; (3)当 x >0 时,求 f ( x ) 的解析式.

※ 动手试试 练 1. 判断下列函数的奇偶性:
(1)
f (x) ? 2x ? 2x
2

x ?1

; (2) f ( x ) ? x 3 ? 2 x ;
? x (1 ? x ) ? ? x (1 ? x )

(3)f ( x ) ? a( x ? R) (4)f ( x ) ? ;

x ? 0, x ? 0.

例 3 设函数

f (x) ?

1? x 1? x

2 2



(1)求它的定义域; (2)判断它的奇偶性; (3)求证:
1 f ( ) ? ? f (x) ; x

(4)求证: f ( x ) 在 [1, ? ? ) 上递增.

练 2. 将长度为 20 cm 的铁丝分成两段,分别围成 一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面积之和 最小,正方形的周长应为多少?

用心

爱心

专心

31

(2)若 A 为单元集,求出 A 和 a .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的三种运算:交、并、补; 2. 集合的两种研究方法:数轴分析、Venn 图示; 3. 函数的三要素:定义域、解析式、值域; 4. 函数的单调性、最大(小)值、奇偶性的研究. ※ 知识拓展 要作函数 y ? f (x ? a) 的图象,只需将函数 y ? f ( x ) 的图象向左 ( a ? 0 ) 或向右 ( a ? 0 ) 平移 | a | 个单位即可. 称之为函数图象的左、右平移变换. 要作函数 y ? f (x) ? h 的图象,只需将函数 y ? f ( x ) 的图象向上 ( h ? 0 ) 或向下 ( h ? 0 ) 平移 | h | 个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.

2. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,设
g (x) ? f ( x) ? f (? x) 2

, h(x) ?

f ( x) ? f (? x) 2

.

(1)试判断 g ( x )与 h ( x ) 的奇偶性; (2)试判断 g ( x ), h ( x ) 与 f ( x ) 的关系; (3) 由此你猜想得出什么样的结论, 并说明理由?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 A ? ? x | x 2 ? 0 ? , 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是
( ). A. A ? 0 B. 0 A C. A ? ? D. ? A 2. 函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是( ). A.偶函数 B.奇函数 C.不具有奇偶函数 D.与 p 有关 3. 在区间 ( ? ? , 0 ) 上为增函数的是( ). A. y ? 1 B. y
? x 1? x ? 2

C. y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 D. y ? 1 ? x 2 4. 某班有学生 55 人,其中音乐爱好者 34 人,体 育爱好者 43 人,还有 4 人既不爱好体育也不爱好 音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人. 5. 函 数 f ( x ) 在 R 上 为 奇 函 数 , 且 x ? 0 时 ,
f ( x) ? x ? 1,则当 x ? 0

, f (x) ?

.

课后作业
1. 数集 A 满足条件:若 a ?
A , a ? 1 ,则
1 1? a ? A

.

(1)若 2 ? A ,则在 A 中还有两个元素是什么;
32


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