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2017-2018学年人教A版必修二 3.1.1倾斜角与斜率 课件(29张)


3.1

直线的倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角与斜率

直线的倾斜角
[提出问题] 在平面直角坐标系中,直线 l 经过点 P. 问题 1:直线 l 的位置能够确定吗?

提示:不能.

问题 2:过点 P 可以作与 l 相交的直线多少条?
提示:无数条.

问题 3:上述问题中的所有直线有什么区别?
提示:倾斜程度不同.

[导入新知] 1.倾斜角的定义:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准,x 轴 正方向 与直线 l 向上方 向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.如图所 示,直线 l 的倾斜角是∠APx,直线 l′的倾斜 角是∠BPx. 2.倾斜角的范围:直线的倾斜角 α 的取值范围 是 0°≤α<180° ,并规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角 为 0° .

3.倾斜角与直线形状的关系

倾斜角

α=0°

0°<α<90°

α=90°

90°<α<180°

直线

[化解疑难] 对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件: ①x 轴正向;②直线向上的方向;③小于 180°的非负角. (2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由 x 轴按逆时针方 向旋转到与直线重合时所成的角. (3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对 x 轴 的倾斜程度. (4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且 倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾 斜角不相等.

直线的斜率
[提出问题] 升高量 日常生活中, 常用坡度(坡度= ) 前进量 表示倾斜程度, 例如, “进 2 升 3”与“进 2 升 2”比较,前者更陡一些,因为坡度 2 > . 2 问题 1: 对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度, 可否借助于 坡度来描述直线的倾斜程度? 3 2

提示:可以.

问题2:上图中坡度为升高量与水平前进量的比值,那么对 于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量? 提示:可以.

问题3:通过坐标比,你会发现它与倾斜角有何关系?
提示:与倾斜角的正切值相等.

[导入新知] 1.斜率的定义:一条直线的倾斜角α的 正切 值叫做这条直 线的斜率.常用小写字母k表示,即k= tan α . 2.斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直

y 2 - y1 线的斜率公式为k= x2-x1 .当x1=x2时,直线P1P2没有斜率.
3.斜率作用:用实数反映了平面直角坐标系内的直线的

倾斜程度 .

[化解疑难] 1.倾斜角α与斜率k的关系 (1)直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率.当倾 斜角是90°时,直线的斜率不存在,此时,直线垂直于x轴(平 行于y轴或与y轴重合). (2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程 度.当0°≤α<90°时,斜率越大,直线的倾斜程度越大;当 90°<α<180°时,斜率越大,直线的倾斜程度也越大.

2.斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐 标在公式中的次序可以同时调换,就是说, 如果分子是y2- y1,分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,分母必须 y 1 - y2 y2 - y1 是x1-x2,即k= = . x1-x2 x2-x1 (2)用斜率公式时要一看,二用,三求值.一看,就是看所 给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;若 不相等,则进行第二步.二用,就是将点的坐标代入斜率公 式.三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有参数 时,应用斜率公式时要对参数进行讨论.

直线的倾斜角
[例1] 的倾斜角为 A.30° C.30°或150° B.60° D.60°或120° ( ) (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l ( )

(2)下列说法中,正确的是 A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α B.直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α C.若直线的倾斜角为α,则sin α>0 D.任意直线都有倾斜角α,且α≠90°时,斜率为tan α

[答案]

(1)D

(2)D

[类题通法] 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°; 当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.

[活学活用] 1.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是( A.0°≤α<90° C.90°<α<180° B.90°≤α<180° D.0°≤α<180° )

答案:C

2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方 向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为 A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α -135° ( )

答案:D

直线的斜率
[例2] (1)已知过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为

135°,则y=________; (2)过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为 ________; (3)已知过A(3,1),B(m,-2)的直线的斜率为1,则m的值为 ________.

[答案]

(1)-5

(2)1 (3)0

[类题通法] 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直, 因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的; (2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中 的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.

[活学活用] 若直线过点 (1,2),(4,2+ 3),则此直线的倾斜角是( A.30° C.60° B.45° D.90° )

答案:A

直线的斜率的应用
[例3] y 已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求 x 的最

大值和最小值.
[解 ] 如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x

+y=8,且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB上 移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为 A(2,4),B(3,2). y 2 由于 x 的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB= ,所 3 y 2 以可求得x的最大值为2,最小值为 . 3

[类题通法] y2 - y1 根据题目中代数式的特征,看是否可以写成 的形式, x2-x1 若能,则联想其几何意义(即直线的斜率),再利用图形的直观性 来分析解决问题.

[活学活用] y+ 1 点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,求 x+1 的取值范围. y+ 1 y-?-1? 解: = 的几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两 x+1 x-?-1?

点的直线的斜率. ∵点M在函数y=-2x+8的图象上,且x∈[2,5], ∴设该线段为AB且A(2,4),B(5,-2). 5 1 1 y+ 1 5 ∵kNA= ,kNB=- ,∴- ≤ ≤ . 3 6 6 x+1 3
? 1 5? y+ 1 ∴ 的取值范围为?-6,3?. x+1 ? ?

6.倾斜角与斜率的关系
[典例] 已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(1,0)的直线 l 与

线段 AB 有公共点,则 l 的倾斜角的取值范围________;直线 l 的斜率 k 的取值范围________.

[解析]

4-0 2-0 如图,由题意可知 kPA= =-1,kPB= =1, -3-1 3-1

则直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间, 又 PB 的 倾斜角是 45°,PA 的倾斜角是 135°, 所以直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 45°≤α≤135°. 要使 l 与线段 AB 有公共点, 则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k≤-1 或 k≥1. [答案]
? ? ? ? ?

α|45°≤α≤135°

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

k|k≤-1或k≥1

? ? ? ? ?

[易错防范] 1.本题易错误地认为-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角 应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间,要特别注意,当l的倾斜角 小于90°时,有k≥kPB;当l的倾斜角大于90°时,则有k≤kPA. 2.如图,过点P的直线l与直线段AB相交时,因为过点P且与x 轴垂直的直线PC的斜率不存在,而PC所在的直线与线段AB不相 交,所以满足题意的斜率夹在中间,即kPA≤k≤kPB.解决这类问题 时,可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边.

[成功破障] 已知直线l过点P(3,4),且与以A(-1,0),B(2,1)为端点的线段AB 有公共点,求直线l的斜率k的取值范围. 4-0 解:∵直线PA的斜率kPA= =1,直线PB的斜率kPB= 3-?-1?
4-1 =3, 3-2 ∴要使直线l与线段AB有公共点,k的取值范围为[1,3].

[随堂即时演练]
1.如图所示直线l与y轴垂直,则直线l的倾斜角为 ( A.0° C.180°
答案:A

)

B.90° D.不存在

2.经过下列两点的直线,其倾斜角是钝角的是
?3 ? A.?2,5?,(0,0) ? ?

(

)

B.(1,-1),(2,4) D.( 3,-2),(2,- 5)

C.(2,1),(-1,- 3)

答案:D
3.直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角为________.

答案:135°

4.已知三点A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线上,实数 a的值为________.

2 答案:2或 9

5.已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜 率等于直线BC的斜率的3倍,求m的值.
答案:4

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