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【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:2.3 第2课时 抛物线的简单几何性质

选修 1-1

第二章

2.3

第 2 课时

一、选择题 1.已知 P(8,a)在抛物线 y2=4px 上,且 P 到焦点的距离为 10,则焦点到准线的距离 为( ) A.2 C.8 [答案] B [解析] 根据题意可知,P 点到准线的距离为 8+p=10,可得 p=2,所以焦点到准线的 距离为 2p=4,选 B. 2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( 1 A. 2 C.2 [答案] C [解析] 本题考查抛物线的准线方程,直线与圆的位置关系. p p 抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程是 x=- ,由题意知,3+ =4,p=2. 2 2 3.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,点 P 在此抛物线上且横坐标为 4,则|PF|等于( A.8 C.4 [答案] B [解析] 抛物线准线 l:x=-2,P 到 l 距离 d=4-(-2)=6,∴|PF|=6. x2 y2 4.双曲线 - =1(mn≠0)离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,则 m n mn 的值为( A. 3 16 ) 3 B. 8 8 D. 3 B.6 D.2 ) B.1 D.4 ) B.4 D.16

16 C. 3 [答案] A

? m+n ? =2 m [解析] 由条件知? ? ? m+n=1



?m=4 解得? 3 ?n=4

1

3 .∴mn= ,故选 A. 16

x2 y2 5. (2013· 天津理, 5)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0) a b 的准线分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3, 则 p=( A.1 C.2 [答案] C [解析] 本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积. c p 3p ∵ =2,∴b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为 y=± 3x,不妨设 A(- , ),B(- a 2 2 p 3p p 1 p ,- ),则 AB= 3p,又三角形的高为 ,则 S△AOB= × × 3p= 3,即 p2=4,又 p>0, 2 2 2 2 2 ∴p=2. 6.P 为抛物线 y2=2px 的焦点弦 AB 的中点,A、B、P 三点到抛物线准线的距离分别是 |AA1|、|BB1|、|PP1|,则有( A.|PP1|=|AA1|+|BB1| 1 C.|PP1|> |AB| 2 [答案] B [解析] 如图, 由题意可知|PP1| = |AA1|+|BB1| , 2 ) 1 B.|PP1|= |AB| 2 1 D.|PP1|< |AB| 2 ) 3 B. 2 D.3

根据抛物线的定义,得 |AA1|=|AF|,|BB1|=|BC|, |AF|+|BF| 1 ∴|PP1|= = |AB|. 2 2 二、填空题 7.(2014· 长春市调研)已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物 线于 A,B 两点,设|FA|>|FB|,则 [答案] 3+2 2 |FA| =________. |FB|

[解析] 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),过 F 斜率为 1 的直线方程为 y=x-1,
? ?y=x-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 消去 y 得 x2-6x+1=0,求得 x1=3+2 2,x2 ?y =4x, ?

=3-2 2, |FA| x1+1 故由抛物线的定义可得 = =3+2 2. |FB| x2+1 8.沿直线 y=-2 发出的光线经抛物线 y2=ax 反射后,与 x 轴相交于点 A(2,0),则抛物 线的准线方程为________. [答案] x=-2 [解析] 由抛物线的几何性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行,及直线 y =-2 平行于抛物线的轴知 A(2,0)为焦点,故准线方程为 x=-2. 9.若抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,则点 M 的坐标为________. [答案] (-9,-6)或(-9,6) p ? p [解析] 由抛物线方程 y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为 F? ?-2,0?,准线方程为 x=2, p 设点 M 到准线的距离为 d,则 d=|MF|=10,即 -(-9)=10,∴p=2,故抛物线方程为 y2 2 =-4x. 将 M(-9,y)代入抛物线方程,得 y=± 6,∴M(-9,6)或 M(-9,-6). 三、解答题 10.一抛物线拱桥跨度为 52m,拱顶离水面 6.5m,一竹排上载有一宽 4m,高 6m 的大 木箱,问竹排能否安全通过? [解析] 如图所示建立平面直角坐标系, 设抛物线方程为 x2=-2py,则有 A(26,-6.5), 设 B(2,y),由 262=-2p×(-6.5)得 p=52, ∴抛物线方程为 x2=-104y. 1 当 x=2 时,4=-104y,y=- , 26 1 ∵6.5- >6,∴能安全通过. 26

一、选择题 11. 直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、 B 两点, 若 AB 中点的横坐标为 2, 则 k=( A.2 或-2 B.-1 )

C.2 [答案] C [解析] 则

D.3

?y2=8x ? 由? ,得 k2x2-4(k+2)x+4=0, ?y=kx-2 ?

4?k+2? =4,即 k=2. k2

→ → 12.过抛物线 y2=4x 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点 O 为坐标原点,则OA· OB的 值是( ) B.-12 D.-3

A.12 C.3 [答案] D

2 2 2 y2 y2 y2 → y1 → y2 → → y1 1 2 2 [解析] 设 A( ,y1),B( ,y2),则OA=( ,y1),OB=( ,y2),则OA· OB=( ,y1)· ( , 4 4 4 4 4 4

y2)=

2 2 y1 y2 +y1y2, 16

又∵AB 过焦点,则有 y1y2=-p2=-4,
2 ?-4?2 → → ?y1y2? ∴OA· OB= +y1y2= -4=-3,故选 D. 16 16

13.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,若 A、B 在抛物线准线上的射 影是 A1、B1,则∠A1FB1 等于( )

A.45° C.90° [答案] C

B.60° D.120°

[解析] 由抛物线的定义得,|AF|=|AA1|, |BF|=|BB1|,∴∠1=∠2,∠3=∠4, 又∠1+∠2+∠3+∠4+∠A1AF+∠B1BF=360° , 且∠A1AF+∠B1BF=180° ,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180° ,∴2(∠2+∠4)=180° ,即 ∠2+∠4=90, 故∠A1FB1=90° . 14.(2012· 四川文,9)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( )

A.2 2 C.4 [答案] B

B.2 3 D.2 5

p [解析] 由抛物线定义知, +2=3,所以 p=2,抛物线方程为 y2=4x.因为点 M(2,y0) 2
2 在此抛物线上,所以 y2 0=8,于是|OM|= 4+y0=2 3.故选 B.

二、填空题 15. 已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点, M 是这条抛物线上的一个动点, P(3,1)是一个定点, 则|MP|+|MF|的最小值是________. [答案] 4 [解析] 过 P 作垂直于准线的直线, 垂足为 N, 交抛物线于 M, 则|MP|+|MF|=|MP|+|MN| =|PN|=4 为所求最小值. 16.P 为抛物线 y=x2 上一动点,直线 l:y=x-1,则点 P 到直线 l 距离的最小值为 ________. [答案] 3 2 8

|x0-x2 0-1| [解析] 设 P(x0,x2 = 0)为抛物线上的点,则 P 到直线 y=x-1 的距离 d= 2 |x2 0-x0+1| 2 1 3 ?x0- ?2+ 2 4 1 3 2 = .∴当 x0= 时,dmin= . 2 8 2

三、解答题 17.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切. [解析] 如图,作 AA′⊥l 于 A′,BB′⊥l 于 B′,M 为 AB 的中心,作 MM′⊥l 于 M′,

则由抛物线定义可知|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|, 1 在直角梯形 BB′A′A 中,|MM′|= (|AA′|+|BB′|) 2 1 1 = (|AF|+|BF|)= |AB|, 2 2 即|MM′|等于以|AB|为直径的圆的半径.

故以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切. 18.已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点.

(1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 长度的最小值. [解析] 由 y2=4x,得 p=2,其准线方程为 x=-1,焦点 F(1,0).设 A(x1,y1),B(x2, y2). p (1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+ ,从而 x1=4-1=3.代入 y2=4x,解得 y1=± 2 3. 2 ∴点 A 的坐标为(3,2 3)或(3,-2 3). (2)当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-1).
? ?y=k?x-1?, 与抛物线方程联立,得? 2 ?y =4x, ?

消去 y 整理得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0. ∵直线与抛物线相交于 A、B 两点, 则 k≠0,并设其两根为 x1、x2, 4 ∴x1+x2=2+ 2. k 4 由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=4+ 2>4. k 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,与抛物线相交于 A(1,2),B(1,-2), 此时|AB|=4, ∴|AB|≥4,即线段 AB 长度的最小值为 4.


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