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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第10节 函数模型及其应用


课时作业 一、选择题 1.设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟,在乙 地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原 地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为 ( )

D

[注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,用定性分析法不

难得到答案为 D.] 2.(2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积 不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位:m) 的取值范围是 ( A.[15,20] C.[10,30] C [设矩形另一边长为 y,如图所示. = 40-y ,则 x=40-y,y=40-x. 40 B.[12,25] D.[20,30] )

x
40

由 xy≥300,即 x(40-x)≥300, 解得 10≤x≤30,故选 C.]

3.(2014· 安徽名校联盟联考)如图,在平面直角坐标系中,AC 平行于 x 轴,四边形 ABCD 是 边长为 1 的正方形,记四边形位于直线 x=t(t>0)左侧图形的面积为 f(t),则 f(t)的大 致图象是 ( )

C

[由题意得,

? ? f(t)=? 2 -(t- 2) +1( <t< 2 ? ?1(t≥ 2),
t2? 0<t≤
2

? ?

2? ?, 2 ?

2),

故其图象为 C.] 4. 某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台, 第二个月销售 200 台, 第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是 ( A.y=100x C.y=50×2x C B.y=50x -50x+100 D.y=100log2 x+100
2

)

[根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.]

二、填空题 5.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月 份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 ________. 解析 七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2 ,则一月份到十
2

月份的销售总额是 3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%) ],根据题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2 ]≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%)2 ≥66, 令 t=1+x%,则 25t +25t-66≥0, 6 11 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去), 5 5 6 故 1+x%≥ ,解得 x≥20. 5 答案 20
2

6. (2013· 汕头模拟)鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行

一场足球义赛,预计卖出门票 2.4 万张,票价有 3 元、5 元和 8 元三种,且票价 3 元和 5 元的张数的积为 0.6(万张) .设 x 是门票的总收入,经预算,扣除其他各项开支后,此次 足球义赛的纯收入函数为 y=lg 2x ,则这三种门票分别为__________万张时为失学儿童 募捐纯收入最大. 解析 函数模型 y=lg 2 已给定,因而只需要将条件信息提取出来,按实际情况代入,
x
2

应用于函数即可解决问题. 设 3 元、5 元、8 元门票的张数分别为 a、b、c,

a+b+c=2.4, ? ? 则?ab=0.6, ? ?x=3a+5b+8c,

① ② ③

把①代入③得 x=19.2-(5a+3b)≤19.2-2 15ab =13.2(万元),当且仅当?
? ?5a=3b, ?ab=0.6, ?

时等号成立,

解得 a=0.6,b=1,c=0.8. 由于 y=lg 2x 为增函数,即此时 y 也恰有最大值. 故三种门票分别为 0.6、1、0.8 万张时为失学儿童募捐纯收入最大. 答案 0.6,1,0.8

三、解答题 7. (2014· 鹤壁模拟)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需 求,进行了 20 天的测试,人为地调控每天产品的单价 P(元/ 件):前 10 天每天单价呈直线下降趋势(第 10 天免费赠送品 尝),后 10 天呈直线上升,其中 4 天的单价记录如下表: 时间(将第 x 天记为 x)x 单价(元/件)P 1 9 10 0 11 1 18 8

而这 20 天相应的销售量 Q(百件/天)与时间 x 对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上. (1)写出每天销售收入 y(元)与时间 x(天)的函数; (2)在这 20 天中哪一天销售收入最高?此时单价 P 定为多少元为好?(结果精确到 1 元) 解析 (1)P=?
?10-x,x∈[1,10], ? ?x-10,x∈[11,20], ?

(x∈N * ),

Q= 100-(x-10)2 ,x∈[1,20],x∈N * ,
∴y=100QP=100 (x-10) [100-(x-10) ],x∈[1,20],x∈N . (2)∵(x-10)2 [100-(x-10)2 ] (x-10)2 +100-(x-10)2 2 ≤[ ] =2 500, 2
2 2 *

∴当且仅当(x-10)2 =100-(x-10)2 , 即 x=10± 5 2时,y 有最大值. ∵x∈N * ,∴当 x=3 或 17 时,

ymax =700 51≈4 999(元),
此时,P=7(元). 故第 3 天或第 17 天销售收入最高,此时应将单价 P 定为 7 元为好. 8.如图,已知矩形油画的长为 a,宽为 b.在该矩形油画的四边镶 金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁 画.设壁画的左右两边金箔的宽为 x,上下两边金箔的宽为 y, 壁画的总面积为 S. (1)用 x,y,a,b 表示 S; (2)若 S 为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕 总面积的最大值及对应的 x,y 的值. 解析 (1)由题意可得 S=2bx+2ay+4xy+ab,其中 x>0,y>0.

(2)依题意,要求四个矩形木雕总面积的最大值即求 4xy 的最大值. 因为 a,b,x,y 均大于 0, 所以 2bx+2ay≥2 2bx·2ay, 从而 S≥4 abxy+4xy+ab, 当且仅当 bx=ay 时等号成立. 令 t= xy,则 t>0, 上述不等式可化为 4t2 +4 ab·t+ab-S≤0, 解得 - S- ab S- ab ≤t≤ . 2 2

因为 t>0,所以 0<t≤ 从而 xy≤

S- ab
2 .



ab+S-2 abS
4

? ?x= ?bx=ay, ? 由? 得? ?S=2bx+2ay+4xy+ab, ? ? ?y=
所以当 x= -2 abS.

abS-ab , 2b abS-ab . 2a

abS-ab abS-ab , y= 时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值为 ab+S 2b 2a


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