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初等数论(四)-几个著名的数论定理


清北学堂 2013 寒假培训 初等数论(四)--几个著名的数论定理
一些常用概念

? 欧拉函数 ? (n) --介于 1 和 n 之间与 n 互质的自然数个数 ? 完全剩余系—设 m 为一个自然数, a0 , a1 ,..., am ?1 是 m 个自然数。如果这 m 个自然数中的任何两个关于 m 不同余,
则称它们是一个完全剩余系。

? 缩系---在 ? (n) 个剩余类中各取一个元素,它们形成一个模 n 的缩系
问题:为什么要介绍缩系这个概念呢?这是因为当我们确定一个缩系后,剩余类中的其它元素均可以由缩系生成。设

(a, m) ? 1 ,则有 s, t 使得 as ? mt ? 1 。任取一个不是缩系中的元素 b ,就有 b ? asb ? mtb 从而有 b ? asb(mod m) 。
即, b 可以表成 ka(mod m) 的形式(即,由 a 的若干倍生成) ,从而凡是与 b 有关的数论问题(在模 m 的意义下可以 转化为 a 的问题) 。这就是群论中的生成元的问题。在高中里面的复数理论中也是如此。 下面这个结果表明了一种构造缩系的方法: 例 1. 设 (m, n) ? 1 。如果 {a1 , a2 ,..., at },{b1 , b2 ,..., bs } 分别是模 m 和模 n 的缩系,那么

S ? {mbi ? na j 1 ? i ? s,1 ? j ? t} 就是模 mn 的缩系。
例 2.在 1, 2,3,..., p 中有多少个数与 p 互质? 下面介绍著名的费马小定理 例 2.设 m 是一个自然数, (a,m)=1 。证明: a 就成为了费马小定理。 例 3.设 p 是一个质数,证明数列 {2 ? n}(n ? 1) 中有无穷多个项被 p 整除。
n a
a

? (m )

? 1( mod m) 。这就是著名的欧拉定理。如果取 m ? p 为质数,那么

例 4.证明:数列 1,31,331,3331,... 中有无穷多个合数。

? 中国剩余定理 设 m1 , m2 ,..., mk 是 k 两两互质的正整数, M ? m1m2 ...mk , M i ? M / mi (i ? 1, 2,..., k ) 。 b1 , b2 ,..., bk 是

? x ? b1 ? mod m1 ? ; ? ? x ? b2 ? mod m2 ? ; * * * 任意 k 个自然数。则同余式方程 ? 有 唯 一 解 x ? M 1 M 1b1 ? M 2 M 2b2 ? ... ? M k M k bk , 其 中 ........ ? ? x ? bk ? mod mk ? ; ?
* * M i* M i ? 1(mod mi ), i ? 1, 2,..., k . 它的通解是 x ? M 1* M 1b1 ? M 2 M 2b2 ? ... ? M k M k bk ? Ml (l ? Z )

k . 而且 M i ? M i 具有双重意义:第一 , 在模运算下就是 1 : 注意:从解的构造上看,关键在于求 M i , i ? 1, 2, ...,
* *

M i* M i ? 1(mod mi ), i ? 1, 2,..., k . 第二,每一项 M i ? M i* 中含有因子 m j ( j ? i ) ,使得 Mi ? Mi* ? 0(mod mj ), j ? i .,
因此,在模运算下,这个通解公式具有“识别”功能,即,当你要选择第 i 个方程时, x (mod mi ) ? bi . 例 5.一个数除以 7 余 1,除以 8 余 2,除以 9 余 4.求这个数。 例 6.证明:对于任意给定正整数 n ,总有 n 个连续自然数,其中每一个都有大于 1 的平方因子。

例 7. 证明: 对于任意给定正整数 n , 总有 n 个连续自然数, 其中每一个都不是幂数。 例 8.设 n ? 1, n (2n ? 1), 证明: 3n。


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